【教学】函数的单调性 省赛获奖

函数的单调性第2课时导入新课问题1

增函数和减函数的定义是什么？在函数y＝f（x）定义域内的一个区间A上，如果对于任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），就称函数y＝f（x）在区间A上是增函数；如果都有f（x1）＞f（x2），就称函数y＝f（x）在区间A上是减函数．导入新课追问：如果有两个函数y＝f（x）和y＝g（x），在同一个区间I上都是单增（单减）函数，那么函数y＝f（x）＋g（x）的具有怎样的单调性？能不能判断函数y＝f（x）－g（x）的单调性呢？函数y＝f（x）－g（x）的单调性不确定．函数y＝f（x）＋g（x）也是单增（单减）函数，新知探究问题2

画出函数f（x）＝－3x＋2的图象，通过图象判断函数在R上的单调性．1234-1-11234xyO-2-3-2-3y＝－3x＋2新知探究问题3

如何证明f（x）＝－3x＋2在R上单调递减，请给出证明．画出函数f（x）＝－3x＋2的图象，可以看出函数在R上是减函数；下面用定义证明这一单调性；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0，所以函数f（x）＝－3x＋2在R上是减函数．1234-1-11234xyO-2-3-2-3y＝－3x＋2f（x1）－f（x2）＝（－3x1＋2）－（－3x2＋2）＝－3（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），新知探究问题4

归纳一下用单调性定义证明一个函数在区间I上的单调性的基本步骤吗？（i）取值：任取x1，x2，且x1＜x2．（ii）作差：f（x1）－f（x2）（对其进行因式分解，要注意变形的程度）．（iii）判断：判断上述差的符号，即得到f（x1）－f（x2）＜0（或f（x1）－f（x2）＞0）．（iv）结论：若f（x1）－f（x2）＜0，则函数在区间D内为增函数；若f（x1）－f（x2）＞0，则函数在区间D内为减函数．新知探究

（2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax是区间[1，＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围？f（x1）－f（x2）＝

新知探究

因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，（2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax是区间[1，＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围？所以

所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＜f（x2）．故函数f（x）在区间[0，＋∞）上是减函数．新知探究

（2）任取x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞），（2）已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax是区间[1，＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围？

故实数a的取值范围是（0，3]．初步应用

画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数，下面给出证明；证明：设x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，则x1－x2＜0，

yxO941123

故f（x1）－f（x2）＝

∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

初步应用证明：设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则x1－x2＜0，故f（x1）－f（x2）＝

例2

试用定义证明：函数f（x）＝x＋

在区间（0，1）上是减函数，在区间[1，＋∞）上是增函数．

初步应用∵x1，x2∈（0，1），例2

试用定义证明：函数f（x）＝x＋

在区间（0，1）上是减函数，在区间[1，＋∞）上是增函数．

∴0＜x1x2＜1，即x1x2－1＜0，又x1－x2＜0，故f（x1）－f（x2）＞0，故函数f（x）＝x＋

在区间（0，1）上是减函数．

同理可证，函数f（x）＝x＋

在区间[1，＋∞）上是增函数．

初步应用例3

（1）已知函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，3）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的单调递减区间是（－∞，3），求实数a的取值范围．y＝f（x）的对称轴为x＝－（1－a）＝a－1，（1）a－1≥3a≥4；（2）a－1＝3a＝4．初步应用①函数y＝x＋

在区间（0，1]上是减函数，在区间[1，＋∞）上是增函数；

同理也可以得到x∈（－∞，0）时函数的单调性；画出该函数的图象，该函数又叫双曲函数或对勾函数．在区间（0，＋∞）上，由函数的单调性或由均值不等式x＋

≥2，

可得当x＝1时，函数y＝x＋

取得最小值2；

初步应用②形如f（x）＝ax＋

（a＞0，b＞0）的函数，

在区间（0，＋∞）上也具有类似的性质；

函数在区间

上是减函数，在区间

上是增函数．

初步应用③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，f（x）＝

而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性．例如：求函数f（x）＝

在区间[2，3]上的最值．

当x∈[2，3]时，随着x增大，

增大，所以函数f（x）增大，即函数单调增．

④区分y＝f（x）在区间D上递减和y＝f（x）的单调递减区间是D．所以f（x）min＝f（2）＝－3，f（x）max＝f（3）＝

．

初步应用１已知函数f（x）＝

，证明函数在（−2，＋∞）上单调递增．

因为x1＞x2＞−2，所以x1－x2＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，解答：

∀x1，x2∈（－2，＋∞），且x1＞x2＞−2，f（x）＝

则f（x1）－f（x2）＝

，

所以

＞0，所以f（x1）＞f（x2）．

故函数f（x）在（－2，＋∞）上单调递增．初步应用2所以函数y＝f（x）是R上的单调增函数，从而由f（m2＋1）＞f（2m），可得m2＋1＞2m，解得m≠1．故答案为｛m｜m≠1｝．函数y＝f（x）满足：对任意的x1，x2∈R总有

．则不等式f（m2＋1）＞f（2m）的解集为｛m｜m≠1｝．

解析：因为对任意的x1，x2∈R，总有

，

归纳小结1．判断函数单调性的方法：从图象上直观判断；根据单调性定义判定．2．利用定义证明单调性一般步骤：问题6

本节课我们学习了哪些内容？结合上一节课的学习内容，请总结一下判断函数单调性有哪些方法？做题过程中要注意什么问题？取值：任取x1，x2，且x1＜x2；作差：f（x1）－f（x2）（对其进行因式分解，要注意变形的程度）；判断：判断上述差的符号，即得到f（x1）－f（x2）＜0（或f（x1）－f（x2）＞0）；结论：若f（x1）－f（x2）＜0，则在区间D内为增函数；若f（x1）－f（x2）＞0，则在区间D内为减函数．3．判断动函数的单调性时，要注意参数的范围．作业布置作业：教材P60页练习1、2、3，P62页A组第3、4、5题，B组第1、4题．1目标检测如果函数f（x）＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f（2＋x）＝f（2－x），试比较f（－3）、f（2）、f（3）的大小．解答：根据题意，对任意实数x都有f（2＋x）＝f（2－x），则二次函数图象的对称轴为x＝2，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量对应的函数值越大，所以f（－3）＞f（3）＞f（2）．2目标检测

解答：函数在R上单调递增，则在x＞0时单调递增，且在分界点x＝0处右侧函数值不小于左侧函数值，即a＞0且a－1≥1，解得a≥2，故实数a的取值范围为a≥2．3目标检测（i）对任意x，y∈（0，＋∞），都有f（xy）＝f（x）＋f（y）；已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x），满足：（ii）当0＜x＜1时，f（x）＞0．①判断并证明f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性；②解关于a的不等式f（1－2a）－f（4－a2）＞0．解析：①设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝

－f（x2）

因为x1＜x2，故0＜

＜1，

所以

＞0，即f（x1）－f（x2）＞0，

故函数在区间（0，＋∞）上单调递减．3目标检测（i）对任意x，y∈（0，＋∞），都有f（xy）＝f（x）＋f（y）；已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x），满足：（ii）当0＜x＜1时，f（x）＞0．①判断并证明f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性；②解关于a的不等式f（1－2a）－f（4－a2）＞0．②不等式f（1－2a）－f（4－a2）＞0，即f（1