第03讲圆圆的对称性确定圆的条件（3大考点7种解题方法）（解析版）

第03讲圆、圆的对称性、确定圆的条件（3大考点7种解题方法）考点考点考向一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．六．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．七．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．考点精讲考点精讲一．圆的认识（共4小题）1．（2022•兴化市模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A．38° B．52° C．76° D．104°【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2021秋•东台市月考）如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．【分析】判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等求出圆的半径，再解答即可．【解答】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴OD＝EF＝3，∴AB＝6．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把EF转化为OD是解题的关键．3．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【分析】连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD＝OA＝OD，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DOC＝n，则利用三角形外角性质得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．4．（2021秋•邗江区校级月考）AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【分析】先作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆即可；【解答】解：这样的圆能画1个．如图：作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6cm为半径作圆，则⊙O为所求；故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．二．垂径定理（共5小题）5．（2021秋•如皋市期末）在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段MN的最小值为（）A．3 B．2 C．4 D．2【分析】根据N的坐标可确定其为直线y＝上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出MN的最小值．【解答】解：∵点N的坐标为（3a，4a+4），∴点N为直线y＝上任意一点，如下图，直线AB为函数y＝的图象，则N为直线AB上一点，M为⊙P上一点，由图象可知：过点P作AB垂线，当N、M分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最小，此时：sin∠BAO＝，由题意可知：B（﹣3，0），A（0，4），∴AB＝5，∵AP＝5，∴，∴NP＝3，此时MN＝NP﹣PM＝2，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．6．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2 B．4 C．5 D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．7．（2021秋•南京期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，垂足为P，若AP＝8，BP＝2．求CD的长．【分析】连接OC，求出OC、OP，根据勾股定理求出CP，根据垂径定理得出CD＝2CP，即可求出答案．【解答】解：连接OC，PA＝8，PB＝2，∴AB＝10，∴OB＝OC＝AB＝5，∴OP＝OB﹣BP＝5﹣2＝3，∵CD⊥AB，∴CD＝2PC，在Rt△OPC中，∵OC＝5，OP＝3，∴PC＝＝＝4，∴CD＝2PC＝8．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，关键是求出CP长．8．（2021秋•靖江市期中）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【分析】根据垂径定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．【解答】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，证得△AEO≌△ODC得到CD＝4是解题的关键．9．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，所以∠A＝∠G，从而得到结论；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．三．垂径定理的应用（共6小题）10．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是26寸．（1尺＝10寸）【分析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OA，如图：设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD＝AB＝5（寸），在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，解得：x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），即木材的直径CD是26寸，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．11．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是5cm．【分析】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE＝BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE＝BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．12．（2021秋•泰兴市期中）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是8cm．【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝24cm，∴BD＝AB＝12（cm），∵OB＝OC＝13cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度为8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．13．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD＝AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，∴MN＝2EN＝2m＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．14．（2021秋•玄武区校级月考）如图，弓形铁片所在圆的圆心为点O，半径为13cm，弓形的高（弧的中点到弦的距离）CD的长度为8cm，求弦AB的长度．【分析】利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝OB＝13cm，CD＝8cm，∴OD＝OC﹣CD＝5（cm），∴BD＝＝＝12（cm），∴AB＝2BD＝24（cm）．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，属于中考常考题型．15．（2021秋•灌云县月考）如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，∴，在Rt△AEO中，，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．四．圆心角、弧、弦的关系（共5小题）16．（2021秋•东台市月考）如图，在⊙O中，，A、C之间的距离为4，则线段BD＝4．【分析】利用等弧或同弧所对的弦相等进行解答．【解答】解：如图，连接BD，AC．∵，∴，∴，∴BD＝AC＝4，故答案为4．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题关键是掌握等弧或同弧所对的弦相等进行解答．17．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为2，AE的最小值为．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可知∠ACB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求CG；当AC＝BC时，可知，代入数据即可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵G是EF的中点，∴CG＝EF＝2，当AC＝BC时，此时AE＝BF最小，如图，则CE＝CF，AC＝BC＝，∴，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得：CE＝2，∴AE＝，故答案为：2，．【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这些定理和性质．18．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．19．（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是的中点．（1）求证AB＝AC；（2）连接DF，当DF∥AC时，若AB＝10，BC＝12，求CE的长．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠EDA＝90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠BAD＝∠CAD，进而证明∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接DF，DG，证明△AEC∽△DGC，根据相似三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出CE．【解答】（1）证明：连接AD，∵AE是⊙O的直径，∴∠EDA＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∵DF∥AC，∴＝，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF＝AB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴＝，即＝，解得：AE＝，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，∴DE＝＝，∴EC＝CD﹣DE＝．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据△AEC∽△DGC求出AE是解题的关键．20．（2021秋•建邺区期中）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．【分析】连接AC，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠A＝∠C；利用等腰三角形的判定定理得到PA＝PC，利用等式的性质即可得出结论．【解答】证明：连接AC，如图，∵AB＝CD，∴．∴．即．∴∠A＝∠C．∴PA＝PC．∴PA﹣AB＝PC﹣CD．即：PB＝PD．【点评】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定，等式的性质，连接AC，利用等弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠C是解题的关键．五．点与圆的位置关系（共5小题）21．（2021秋•沭阳县期末）若⊙O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定【分析】根据题意得⊙O的半径为5cm，则点A到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O内．【解答】解：∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，而圆心O的距离为6，∴点A在⊙O外．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．22．（2021秋•大丰区期末）已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（）A．⊙O的内部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部【分析】根据：①点P在圆外⇔d＞r．②点P在圆上⇔d＝r．③点P在圆内⇔d＜r，即可判断．【解答】解：∵r＝4，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．23．（2021秋•灌南县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，点D是AB的中点，若以点D为圆心，r为半径作⊙D，使点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．【分析】连接CD，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判断．【解答】解：连接CD，过点A作AE⊥BC于点E．过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，∵AB＝AC＝2，BC＝4，∴BE＝BC＝2，∴AE＝＝4，∵点D是AB中点，即DF是中位线∴DF＝AE＝2，BF＝BE＝1，∴CF＝3，∴CD＝＝，又DB＝AB＝，∴r的取值范围是＜r＜．【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（2022•苏州模拟）如图，点A，C，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（）A． B．3 C． D．【分析】当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM＝2，由A（﹣2，0），C（2，0），得出AC＝4，由切线的性质得出∠AMC＝90°，由勾股定理求出AM＝2，由等积法MH＝，进而求出CH＝1，OH＝1，得出M（1，），即可求出MN＝．【解答】解：如图，当AP与⊙C在第一象限相切时，MN有最小值，此时点P、Q、M重合，连接CM，过点M作MH⊥x轴与点H，则CM＝2，∵A（﹣2，0），C（2，0），∴AC＝4，∵AM与⊙C相切，∴∠AMC＝90°，∴AM＝＝＝2，∵S△ACM＝•AM•CM＝，∴MH＝＝＝，∴CH＝＝＝1，∴OH＝2﹣1＝1，∴M（1，），∵N（4，3），∴MN＝＝，故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，掌握勾股定理，两点间的距离公式，等积法，切线的性质等知识是解决问题的关键．25．（2022•睢宁县模拟）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．3【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM＝，求出A'C的最大值即可．【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM＝，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3．∴OM的最大值＝．故选：A．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．六．确定圆的条件（共3小题）26．（2021秋•建邺区期中）当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8．【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8，故答案为：n≠﹣8．【点评】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键．27．（2021秋•江都区校级月考）下列说法正确的是（）A．在同一平面内，三点确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．旋转会改变图形的形状和大小 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】根据确定圆的条件即可判断选项A；根据圆心角、弧、弦之间的关系即可判断选项B；根据旋转的性质即可判断选项C；根据垂径定理即可判断选项D．【解答】解：A．在同一平面内，不在同一条直线上的三点才确定一个圆（在同一直线上的三点不能确定一个圆），故本选项不符合题意；B．等弧所对的圆心角相等，故本选项符合题意；C．旋转后的图形与原图形全等，即旋转不会改变图形的形状和大小，故本选项不符合题意；D．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系和旋转的性质，能熟记确定圆的条件，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系和旋转的性质等知识点是解此题的关键．28．（2018秋•泉山区校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．【点评】求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．七．三角形的外接圆与外心（共7小题）29．（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长，由三角形面积公式可得出答案．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC＝2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，∴BD＝OB•cos∠OBD＝2×cos30°＝2×＝，OD＝OB＝1，∴BC＝2．∴等边△ABC的面积为3S△BCO＝3×BC•OD＝3××1＝3．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．30．（2021秋•泗阳县期末）下列说法正确的是（）A．一个三角形只有一个外接圆 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可．【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．31．（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．故选：D．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．32．（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面积＝3S△OBC，即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝r，∴BD＝＝r，∴BC＝2BD＝r，即正三角形ABC边长为r．∴正三角形ABC周长为．∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××BC×OD＝3××r×r＝．∴正三角形ABC面积为．【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．33．（2020•鼓楼区一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB；（2）连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据垂径定理求出DF，根据等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，结合图形计算得到答案．【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四边形OFDE为矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．34．（2021秋•海州区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论，（2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案．【解答】解（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB＝AC，∴弧AB＝弧AC，∵AE过圆心O，∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），∴AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAE，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）设∠ABD＝x，由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，∴∠BDC＝3x，△BCD是等腰三角形，①若BD＝BC，则∠C＝∠BDC＝3x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠BCD＝3x＝67.5°，②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，∴∠ABC＝∠ACB＝4x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∴4x+4x+2x＝180°，∴x＝18°，∴∠BCD＝4x＝72°，综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．【点评】本题考查圆及内接三角形，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用．35．（2021•苏州模拟）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．（1）用关于x的代数式表示BQ＝5x，DF＝3x．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH＝BH＝AB，求得CD，FD；（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M，则OM∥AB，由垂径定理得QM＝AM＝x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，过点B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP．【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，∴AB＝4x，∴BQ＝5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB＝OQ，∴AH＝BH＝AB＝2x，∴CD＝2x，∴FD＝CD＝3x，故答案为：5x，3x；（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，∴CQ＝6x+4，作OM⊥AQ于点M，如图1，∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，∴点O是BQ的中点，∴QM＝AM＝x∴OD＝MC＝x+4，∴OE＝BQ＝x，∴ED＝2x+4，S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，∴AP＝3x＝9；（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，如图2，过点B作BM⊥EG于点M，∵GM＝x，BM＝x∴∠GBM＝45°，∴BM∥AQ，∴AI＝AB＝4x，∴IQ＝x，∴NQ＝＝2，∴x＝2，∴AP＝6．【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·江苏泰州市·）的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（）A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系即可得．【详解】解：，点在外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．2．（江苏泰州市·八年级期中）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】当OM⊥AB时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，连接OA，根据垂径定理，得：BM=AB=3，根据勾股定理，得：OA==5，即⊙O的半径为5．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．3．（2020·射阳县第二初级中学）平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】A【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选A．【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．4．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定【答案】C【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．【详解】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5.给出下列4个命题，其中是真命题的是（）A．经过三个点一定可以作圆． B．等弧所对的圆周角相等．C．相等的圆周角所对的弧相等． D．圆的对称轴是直径．【答案】B【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，本选项说法是假命题；B、等弧所对的圆周角相等，本选项说法是真命题；C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本选项说法是假命题；D、圆的对称轴是直径所在的直线，本选项说法是假命题；故选：B．6.下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．7.下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及确定圆的条件可进行排除选项．【详解】解：完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定是等弧，故①错误；任意不共线的三点确定一个圆，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以③错误；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，所以④正确；∴真命题共有1个；故选B．8.下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据圆的定义、外心的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故A错误；三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故B正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误；平分弦的直径垂直于弦（不是直径的弦），故D错误；故选：B．9.下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆心角的性质、外心性质即可．【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；综上，错误结论的序号为：①②③，共有3个，故选：C．10．（2020·镇江市江南学校八年级月考）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标是分别为（0,3）、（4,3），在坐标轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．5个 B．6个C．7个 D．8个【答案】C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】解：如图：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x轴，∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．综上所述：符合条件的点C的个数有7个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．11．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，由垂径定理得：，∵⊙O的直径为，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度为，故选：．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．12．（2020·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（）A．10 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】根据点为平面内一点且满足，得到点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，可得当线段过圆心时，的值最大，据此求解即可．【详解】解：∵，，三点的坐标为：(0，1)，(0，3)，(0，-1)，则有：，又∵点为平面内一点且满足，则点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆，如图示，当线段过圆心时，的值最大，过点作轴，交轴于点，过点作，交于点，∵点的坐标是(4，4)，点的坐标是(0，1)，∴，，则：∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题13．（2020·射阳县第二初级中学）下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．【答案】①【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：直径是弦，但弦不是直径，故①正确；圆心相同但半径不同的两个圆是同心圆，故②错误；若两个半圆的半径不等，则这两个半圆的弧长不相等，故③错误；经过圆的圆心可以作无数条的直径，故④错误.综上，正确的只有①.故答案为：①【点睛】本题考查了圆的知识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大.14．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．【答案】12【分析】过P点作PH⊥AB于H点，根据垂径定理可知：HA=HB，根据勾股定理求出HB，即可求解．【详解】解：过P点作PH⊥A