高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题11数学方法第2讲Word版含解析

高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题11数学方法第2讲Word版含分析高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题11数学方法第2讲Word版含分析高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题11数学方法第2讲Word版含分析第2讲整体策略与换元法[题型分析·高考展望]整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看作一个整体，经过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上追求解决问题的新路子．换元法又称辅助元素法、变量代换法，经过引进新的变量，能够把分其他条件联系起来，隐含的条件展现出来；也许把条件与结论联系起来；也许变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．高考必会题型题型一整体策略例1(1)计算：(1－1－1－1－－1)×(1＋1＋1＋1＋＋1)－(1－1－1－1－1－－23420142345201523451－1)×(1＋1＋1＋＋1)；201420152342014(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.解(1)设1＋1＋1＋＋1＝t，2342014则原式＝(1－t)(t＋112015)－(1－t－2015)tt＋20151－t2－20151t－t＋t2＋20151t12015.2(2)设x＋5x＝t，则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7，∴t2＋8t＝0，解得t＝0或t＝－8，当t＝0时，x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，x1＝0，x2＝－5；当t＝－8时，x2＋5x＝－8，x2＋5x＋8＝0，2＝b－4ac＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x1＝0，x2＝－5.议论整体是与局部对应的，按老例不简单求某一个(或多个)未知量时，可打破老例，依照题目的构造特色，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题获取解决．变式训练1计算：11111111111111(1－－－)×(＋＋＋)－(1－－－－)×(＋＋)．23423452345234111解令2＋3＋4＝t，(1－t)(t＋11则原式＝5)－(1－t－5)tt＋1－t2－1t－4t＋t25551＝5.题型二换元法例2(1)已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是________________．(2)已知点A是椭圆x2＋y2→→＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且OA·OP＝48，259则点P的横坐标的最大值为________．答案(1)(－∞，2＋22)(2)10分析(1)令m＝2x(m>1)，则问题转变为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴上方，Δ≥0，即＝t2－4(t＋1)<0或t2<1，1－t＋t＋1>0，解得t<2＋22，即实数t的取值范围是(－∞，2＋22)．(2)当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k>0，设OA：y＝kx，k>0，与椭圆x2＋y2＝1联立解得x＝15，2599＋25k2→→＝xAxP＋k2xAxP＝48，又OA·OP48169＋25k2解得xP＝2＝521＋kxA1＋k169＋25k2＝51＋k22，t－9令9＋25k2＝t>9，即k2＝25，则xP＝16t＝16×25t5t＋1625t2＋162＋32t251≤80×1＝80264＝10，16＋32t＋t当且仅当t＝16，即k2＝257时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.(3)已知函数f(x)＝ax－ln(1＋x2)．4①当a＝时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x>0时，ln(1＋x2)<x；111*，n≥2，e为自然对数的底数)．③证明(1＋444)<e(n∈N2)(1＋3)(1＋n①解当a＝45时，f(x)＝45x－ln(1＋x2)，42x4x2－10x＋4f′(x)＝5－1＋x2＝51＋x2＝0，1x＝2或x＝2.f(x)和f′(x)随x的变化情况以下表：x(0，1)11，2)2(2，＋∞)22(2f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗125f(x)极大值＝f()＝－ln，2548f(x)极小值＝f(2)＝5－ln5.②证明令g(x)＝x－ln(1＋x2)，2x则g′(x)＝1－1＋x2≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，g(x)>g(0)＝0，ln(1＋x2)<x.③证明由②知，ln(1＋x2)<x，21111＝11令x＝442<nn－1－，n得，ln(1＋n)<nn－1n∴ln(1＋1112444)＋ln(1＋3)＋＋ln(1＋n)<1－11111112＋2－3＋3－4＋＋－nn－111－n<1，∴(1＋11124)(1＋34)(1＋n4)<e.议论换元法是解数学题时，把某个式子看作一个整体，用一个变量去代替它，使问题获取简化，变得简单办理，换元法的实质是转变，要点是构造元和设元，理论依照是等量代换，目的是经过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，能够把分其他条件联系起来，隐含的条件展现出来；也许把条件与结论联系起来；也许变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．主要观察运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、分析几何为背景的最值、值域或范围问题，经过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转变为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程．变式训练2(1)已知函数f(x)＝1＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为________．x－1答案2＋221分析f(x)＝＋2(x－1)＋2，1令x－1＝t，则f(t)＝t＋2t＋2(t>0)，1∴f(t)≥2×2t＋2＝2＋22.1当且仅当t＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋22，当且仅当1＝2(x－1)，x－12即x＝2＋1时等号成立．(2)已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝anSn－1.2①求Sn的表达式；②设bn＝Sn1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn<.2n＋12①解∵S2n－1n＝anS2，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，(*)由题意得Sn－1·Sn≠0，式两边同除以Sn－1·Sn，得1－1＝2，SnSn－1∴数列111＝1，公差为2的等差数列．Sn是首项为S1＝a11＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝1.Sn2n－1②证明∵bn＝Sn＝2n－112n＋12n＋1111＝－2n＋1，22n－1∴Tn＝b1＋b2＋＋bn＝1111112[(1－3)＋(3－5)＋＋(2n－1－)]2n＋111n1，＝1－1＝<22n＋2n＋121∴Tn<.2高考题型精练1．已知长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的体对角线长为________．答案5分析设长方体长，宽，高分别为x，y，z，由已知“长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24”，2xy＋yz＋xz＝11，得4x＋y＋z＝24，长方体的体对角线长为x2＋y2＋z2＝x＋y＋z2－2xy＋yz＋xz62－11＝5.2．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是________．答案3分析设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈(0°，180°)，mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)，故最大值为3.3．函数y＝3x＋2－42－x的最小值为________．答案－8x＋2≥0，分析由2－x≥0，解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．由于(x＋2)2＋(2－x)2＝4，故可设x＋2＝2sinθ，π(θ∈[0，2])，2－x＝2cosθ则y＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθπ34＝10sin(θ－φ)(φ∈(0，2)，cosφ＝5，sinφ＝5)，ππ，由于θ∈[0，－φ]2]，所以θ－φ∈[－φ，2所以当θ＝0时，函数获取最小值410sin(－φ)＝10×(－5)＝－8.34．已知不等式x>ax＋2的解集是(4，b)，则a＝______，b＝________.答案136823分析令x＝t，则t>at＋2，23即at－t＋2<0，其解集为(2，b)，12＋b＝a，故32·b＝2a，1解得a＝8，b＝36.5．已知y＝f(x)为偶函数，当2＋2x，则满足1x≥0时，f(x)＝－xf(f(a))＝的实数a的个数为2________．答案8x2＋2x，x≥0，分析由题意知，f(x)＝x2－2x，x＜0，其图象以下列图，令t＝f(a)，则t≤1，令f(t)＝12，解得t＝1－22或t＝－1±22，即f(a)＝1－22或f(a)＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．6．设f(x2＋1)＝loga(4－x4)(a>1)，则f(x)的值域是________．答案(－∞，loga4]分析设x2＋1＝t(t≥1)，∴f(t)＝loga[－(t－1)2＋4]，∴值域为(－∞，loga4]．7．已知m∈R，函数f(x)＝|2x＋1|，x<1，g(x)＝x2－2x＋2m－1，若函数y＝f(g(x))－mlog2x－1，x>1，有6个零点，则实数m的取值范围是________．答案(0，3)5分析函数f(x)＝|2x＋1|，x＜1，的图象以下列图，log2x－1，x>1令g(x)＝t，y＝f(t)与y＝m的图象最多有3个交点，当有3个交点时，0<m<3，从左到右交点的横坐标依次t1<t2<t3，由于函数有6个零点，t＝x2－2x＋2m－1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能够为最小值，函数t＝x2－2x＋2m－1的对称轴为x＝1，则最小值1－2＋2m－1＝2m－2，由图可知，2t1＋1＝－m，－m－1则t1＝，由于t1是交点横坐标中最小的，2m－1满足2>2m－2，①又0<m<3，②3联立①②得0<m<5.8．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y－x的最大值和最小值；22(2)求x＋y的最大值和最小值．解方程x2＋y2－4x＋1＝0变形为(x－2)2＋y2＝3，表示的图形是圆．(1)设x－2＝3cosθ，则y＝3sinθ，故x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ，则y－x＝3sinθ－3cosθ－2＝6sin(θ－π4)－2，∴当θ－ππ6－2，4＝2kπ－2(k∈Z)时，y－x有最小值－ππ当θ－4＝2kπ＋2(k∈Z)时，y－x有最大值6－2.(2)由(1)知x2＋y2＝(2＋3cosθ)2＋(3sinθ)27＋43cosθ.∴当θ＝2kπ(k∈Z)时，x2＋y2有最大值7＋43，当θ＝2kπ＋π(k∈Z)时，x2＋y2有最小值7－43.9．平面内动点P与两定点A(－2,0)，B(2,0)连线的斜率之积等于－直线l过点Q(－65，0)交曲线E于M，N两点．(1)求曲线E的方程，并证明：∠MAN是必然值；(2)若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值．解(1)设动点P坐标为(x，y)，yy1当x≠±2时，由条件得：·＝－4，x－2x＋2x22化简得4＋y＝1(x≠±2)，2x2曲线E的方程为4＋y＝1(x≠±2)，6由题意可设直线l的方程为x＝ky－5，6联立方程组可得x＝ky－5，x224＋y＝1，221264化简得(k＋4)y－5ky－25＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y12＝－64，y25k2＋4y1＋y2＝12k.5k2＋4又A(－→→＋2，y2)2,0)，则AM·AN＝(x1＋2，y1)·(x22416＝(k＋1)y1y2＋5k(y1＋y2)＋25＝0，所以∠MAN＝90°，所以∠MAN的大小