向量的数量积(一)+课件【核心知识精研精讲】高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数量积(一)1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生

位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积.

“哼”老猪我偏要向右！我老沙喜欢天天向上八戒、沙僧把同样质量大宝箱拖动同样的位移进入白马寺，他们做的功是否一样？F2.

F1

.θ两向量的夹角与垂直1问题一如图所示，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosα.

(1)这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W(功)是

量；②F(力)是

量；③s(位移)是

量；④α是

量.(2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？数向向数提示：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.非零向量∠AOB知识梳理当θ＝0时，a与b

；

同向当θ＝π时，a与b

；

反向...θθ2.垂直：如果a与b的夹角是

，则称a与b垂直，记作

.知识梳理注意a⊥b.例1

已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？1.画出图形2.确定是否共起点a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°ab60°30°a＋ba－b..反思感悟求两个向量夹角的步骤和注意事项起点重合求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.系数正负决定方向特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.

√跟踪训练1两向量的数量积2知识梳理1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量

叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作

，即

.规定：零向量与任一向量的数量积为

.2.向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.|a|·|b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ0知识梳理两个向量平行注意同向和反向特别地，a·a＝|a|2或|a|＝

.≤向量数量积与模的关系两个向量的夹角公式知识梳理注意(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”.(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.(4)|a|2＝a2是求向量的长度的工具.(5)沟通了向量运算与数量之间的关系.例2已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解

(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.两个向量平行注意同向和反向(2)当a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.反思感悟求平面向量数量积的步骤求夹角求a与b的夹角θ，θ∈[0，π].求模分别求|a|和|b|标准写法求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.

(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则a·b＝____.10跟踪训练2解析如图，△ABC是边长为6的正三角形，－18跟踪训练2投影向量3

知识梳理投影投影知识梳理

.知识梳理注意(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.例3√例3分析

如图，取AC的中点D，连接OD.数量积的几何意义三角形外心的应用例3解析

如图，取AC的中点D，连接OD，因为O是△ABC的外心，所以OD⊥AC，－1反思感悟向量的投影①任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθ

e②θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量跟踪训练3解析

a在b上的投影向量为|a|cos120°·e＝－e.√跟踪训练3(2)已知|b|＝4，a与b的夹角θ＝60°，则向量b在向量a方向上的投影向量的模为_____.

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