第一章函数极限与连续3

研究的基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁第一章函数、极限与连续在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量称为变量。前者记为a,b,c等；后者记为x,y,t等。1.1函数1.1.1函数的概念一、常量与变量设在某个变化过程中存在两个变量x和y,若对于某一非空数集中的每一个x值,按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应,则称变量y是变量x的函数,记为二、函数的概念[定义1]自变量因变量使函数有意义的x取值范围称为函数的定义域，通常用D表示。y的取值范围称为函数的值域，通常记为R,即二是在定义域范围内,变量x与y有确定的对应关系,这两个要素决定值域R。理解：函数的定义有两个要素：一是自变量x必须有明确的定义域D；如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。思考：两个函数是否相等？例1求下列函数的定义域：解：即因此f(x)的定义域为:例3已知函数求。解：

令x+1=t，则x=t-1，将其代入原式，即得例2已知函数,求解：

邻域:所谓邻域是指如果x0是实数轴上一点，δ为正实数，则适合开区间x0-δ<x<x0+δ的x的全体称为点x0的邻域，记为单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。1.1.2函数的特性一、单调性设函数f(x)的定义域为D,如果在D中某一个子区间I中任意取两个值x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数在区间I上是单调增加(或单调减少)的。单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量x逐渐增大而下降。单调函数图像的特点是：设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一点x(-x∈D),都满足f(x)=f(-x),则称函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定义域D内任意一点x，都满足f(x)=-f(x),则称函数在D内是奇函数。二、奇偶性函数y=x2是在其定义域(-∞,+∞)上是偶函数;函数y=sinx是在其定义域(-∞,+∞)是奇函数;函数y=sinx+cosx在其定义域(-∞,+∞)上非奇非偶.偶函数yxox-x奇函数yxox-x偶函数的图像是关于y轴对称奇函数的图像是关于原点对称设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在一个正数M,使得对于D中某一个子区间I内任意一点x,总有|f(x)|≤M(即-M≤f(x)≤M),则称函数在I上是有界的，否则是无界的。三、有界性oyxM-My=f(x)I有界(2)函数有界与否是和I有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:如sinx、cosx对区间(-∞,+∞)上任意一点x,存在M=1,使得所以它们在区间(-∞,+∞)上都是有界函数。lnx在区间(0,+∞)上为无界函数,因为找不到那样一个正数M,使成立。如f(x)=1/x在开区间(0，1)上是无界的,但在闭区间[1,2]上却是有界函数,因为在此区间上能找到M≥1,使当x∈[1,2]时,成立。设函数的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意一点x∈D,f(x+T)=f(x)恒成立,则称f(x)在D上为周期函数,T称为f(x)的周期.通常所说的周期是指最小正周期.四、周期性周期命函数俘的图摄像特蒙点是桑在这葡函数阻的定贫义域葛内,每个假长度突为周齿期T的区杆间上,函数白所对童应的宇曲线掀有相缸同的免形状窄。xyT/镜2-T有/23T达/2-3被T/减2o1.夫1.麻3初等艺函数一、盐基本脉初等恒函数基本应初等阵函数骗通常州是指河幂函容数、伸指数爸函数捐、对浴数函波数、暂三角聋函数甚和反蹲三角费函数替。(1)幂函数α是常妄数,取值祝不同临函数映的定季义域衣不同y=抖xy=孙1/晃xy=俩x2(2)指数函数0<薪a<滥1a>甘112341-1(3)对数函数a>会10<特a<穴1(1漆,0宇)1345678223-123(4疫)三角陷函数正弦函数余弦函数正切函数10-1贼0-2号020(5作)反三车角函建数反正弦函数反余弦函数反正切函数二、搏复合劫函数例如自由落体运动的动能,其中m为质点的质量,v为质点的速度,而,其中g为重力加速度.我们称是由两个函数和复合而成的t的复合函数,v称为中间变量,t称为自变量。例如,函数合函数但函数可定愧义复不能架构成宜复合泄函数.设函位数y=f(惭u)和u=φ(适x)，且u=φ(菌x)的值窃域全先部在y=堤f(摧u)的定扭义域游内，矿则称y=f[摆φ(征x)]是由课这两萌个函傻数经朋过中蠢间变布量u而构良成x的复锡合函诞数，粉其中x为自泼变量院，简渡称函牵数y=f[臣φ(钥x)]是x的复绩合函黄数。【定义2】例如,函数可分解为函数又如函数也可分解成：理解皆：1.两个赖函数智复合过要满再足复眉合条委件；2.中间符变量夜可以矩多个诞；3.复合锻函数铃分解牲不唯辈一。【定义3】由常管数和标基本哄初等援函数罗经过醉有限始次的催四则凯运算答和复垫合运艇算而膝构成百并可屿以用六一个玩式子宗表示攀的函位数称什为初市等函洁数。三、馋初等蝇函数例如多项式函数双曲正弦函数、双曲余弦函数等等渐都是洗初等僻函数栋。又如,可表兴为故为初等足函数.非初勺等函娱数举誉例:符号赚函数当x>焦0当x=璃0当x<慰0在定量义域辱内不嫌同的确区间头上,由不踢同解倾析式鞋所表演示的敢函数久称为揭分段叉函数寒。1.浅1.厚4分段效函数毅和反切函数一、境分段堪函数分段果函数鞭通常节不是赠初等兆函数,不过,在不尿同段五内的篇表达轧式,通常习由初广等函敬数表学示。二、辞反函终数在一般情况下，如果y=f(x)在某个区间上有定义且是单调函数，就能保证它的反函数存在；

【定义4】设函数f(x)的定义域为D,值域为R,若对于任意一个y∈R，有唯一一个x∈D，使f(x)=y成立,则x与y的对应关系在R上定义了一个新函数,称为函数y=f(x)的反函数,记为。若把函数y=f(x)称为直接函数,则直接函数的定义域(或值域)恰好是它的反函数的值域(或定义域)。一般习惯上自变量用x表示,因变量用y来表示,这时y=f(x)的反函数就可以写成。例如,在定义域(-∞,+∞),上是单调函数,它的值域是(0,+∞),所以它的反函数存在,其定义域是(0,+∞),即y∈(0,+∞),值域是(-∞,+∞)。如函数的反函数一般不写成,习惯上写成.函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,与对钢数函扮数互为梅反函常数,它们侮都单魔调递革增,其图形昏关于辱直线对称.指数狸函数y=f(x)的图像与其反函数的图像相同,但与不同。内容捉小结定义挽域对应据规律2.函数旁的特秤性单调大性,奇偶油性,有界滴性,周期鸡性3.初等待函数疗的结叹构1.函数奔的定葵义及厌函数辉的二政要素且备用钳题证明证:令则由消去得时其中a,b,c为常返数,且为奇偏函数.为奇凉函数.1.设1.仍2函数蹄的极芒限引例:设有部半径幻玉为r的圆,逼近走圆面珠积S.如图腹所示,可知当n无限盏增大表时,无限家逼近S.用其巾内接头正n边形俩的面俩积刘徽(约22抬5踪蝶–检29莫5年)我国记古代恢魏末丙晋初添的杰杂出数它学家.他撰乞写的《重差》对《九章野算术》中的汇方法澡和公岸式作请了全恩面的稳评注,指出雅并纠盗正了弱其中佣的错狠误,在数连学方锋法和迟数学理论滨上作扛出了燃杰出厕的贡念献.他的厌“容割顶圆术宜”琴求子圆周秀率“疮割之甚弥细,所失途弥小,割之监又割,以至秒于不冤可割,则与趁圆合段体而康无所誉失矣堂”它包鉴含了“用谣已知怕逼近脸未知,用近蕉似逼撇近精嫁确”的重亿要极限涛思想.的方感法:数列墙极限当自变量按自然数1,2,3,…依次顺序增大时,函数值按一定的法则排列的一列数称为数列,记为。例4以下帐例子遥均为恨数列:1.歼2.望1数列明极限注意村：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是n的函数对于数列,如果当n无限增大时,数列无限接近某一个确定常数A,则称A为数列的极限,或称数列收敛于A,记为,否则称数列发散。【定义5】趋势漠不定收敛发散又如,收河敛例5讨论数列的极限。解:给定数列,即2,4,8,…,,…，当时，的数值无限增大，即它不趋向于一个确定的常数，所以数列是发散的。1.漫2.钥2函数粱极限一、时,函数f(x)的极限自变量变化过程的六种形式:对,注:Y=0为的水平渐近线.引例如果当x绝对值无限增大(记为)时,所对应的函数f(x)值无限趋近于某一个确定的常数A，则称A为函数的极限，记为或直线y=A为曲线的水平渐近线几何胳意义:【定义6】注意欧：如有水平渐近线y=π/2．有水平渐近线y=－π/2．y=围ar朋ct齐an馋x,昼x∈(-∞怠,∞索)如又如选：都有水平渐近线f(x)及g(x)都有水平渐近线再如执，二、时,函数f(x)的极限

【定义7】设函数f(x)在点x0的某个邻域(x0点可以没有定义)内有定义，如果当自变量x无限接近点x0(但)时,函数值无限接近某一个确定的常数A,则称A为函数f(x)的极限,记为或如果仅从x0点的左侧趋于x0,记,这时的极限称为f(x)在点x0的左极限,记为类似可以定义右极限,记为。当时,函数f(x)极限存在的充分必要条件是函数f(x)的左右极限同时存在且相等.即.如果涌函数f(蚂x)的左战右极馅限至荣少有朵一个道不存削在或章这两组个极愤限都嘱存在穿但不路相等,这时快函数f(烤x)的极符限就魂不存策在。定理例6设函数试讨论f(x)在点0的极限。解：所以桥函数f(殖x)在点0极限访不存嚼在。左极限:右极迹限:定理小结泰：思考港与练港习:1.若极敏限存在,是否吴一定轰有？2.设函划数且存在,则一、订无穷预小量常的概烂念1.杂2.蛾3无穷盼小量[定义8]如果,则称f(x)为(或)时的无穷小量,简称无穷小,此时也称函数f(x)收敛于0。言简亭之,以零茶为极溉限的营函数粪称为冲无穷习小量.如时,都是无穷小;当时,是无穷小;当时,是无穷小.注意创：1)无穷晕小量总是指倒无限扬接近济于零渔的一极个变目量,不能孩把很池小的笛数作颠为无享穷小国量。4)此概念对数列极限也适用,若,称数列为时的无穷小。3)无穷垃小量炊与自附变量艳变化钓过程房诚有关握。2)逐渐绵增大乖的量比也可盖能是伯无穷跃小量捷。二、满无穷船小量盏定理【定理2】有限有个无子穷小菊量的泪代数邻和仍减为无恐穷小妈量.【定理3】有界土函数急与无增穷小仙量乘楚积仍胡为无驾穷小庭量.如说明:无限适个无邮穷小歪之和颈不一拼定是楼无穷屋小!

【定理1】在自变量的同一变化过程（或）中,的充分必要条件是,其中.当再如:,函数时为无穷休小;【推论1】常数拍与无扩穷小挡量的阔乘积浪仍为问无穷析小量乔。【推论2】无穷喂小量谊与无附穷小暂量的钳乘积互仍为盏无穷酷小量牧。例如:例如:三、干无穷彻大量【定义9】如果当（或）时,无限增大(即）,则称f(x)为(或)时的无穷大量。类似可以定义:和如时,1/x、1/sinx都是无穷大量；时,lnx是无穷大量；时,tanx是无穷大量；无穷条小与迷无穷坑大的速关系若若为无穷大,为无穷小;为无穷小,且则为无穷大.则在(或时),注意大：(1朵)无穷免大是劲变量,不能喘与很稀大的谢数混邪淆;(2讨)无穷姨大是询一种喇特殊俭的无拍界变刮量,但是涨无界约变量骨未必倍是无穷纲大.内容窗小结1.无穷井小与嚷无穷诵大的正定义;2.无穷垮小定栽理;3.无穷例小与杆无穷踏大的奖关系.一、聪极限均的四保则运探算法拨则1.票2.仍4极限逢的运伍算则有设【定理4】其中B≠0证明:由无左穷小仅运算骡法则,得其中由定意理1可得:【推论3】(C为常搬数)【推论4】(n为正良整数)1.设n次多豆项式则结论:例7求解:例8求

解:例9求

解:由无坦穷小讲量和庆无穷诵大量尤之间迎的倒数关次系,得一般墙有如随下结孕果：为非损负常克数)例10求

解:内容究小结1.极限寨运算树法则(1鱼)无穷隔小运掌算法甩则(2水)极限椅四则赶运算后法则注意削使用捧条件2.求分正式函凡数极姜限求踪蝶法时,用代蜓入法(分母秒不为0)时,对型,约去燃公因护子时,分子驶分母够同除拉最高猫次幂思考浴及练韵习1.是否肉存在?为什辈么?答:不存栋在.否则任由利用头极限踩四则罪运算昨法则坦可知存在,与已知碎条件矛盾.解:原式2.问3.求解法1原式=解法2令则原式=4.试确定常数a使解:令则故因此二、童两个己重要刊极限【定理5】（两边夹定理）如果函数满足下列条件：(1)自变量x在点x0的某个邻域（可以不考虑点x0）内,不等式成立。(2)。则函数f(x)的极限存在且。例11证明因为对任意实数,都有成立又因时，均为无穷小，由定另理5和定上理1知，证:证明圆扇寸形AO身B的面耳积即△AO开B的面录积＜＜△AO完D的面陆积当x<生0时,－x>俱0,所以例12求解:例13求解:原式=例14求练习晃：求解:令则因此原式解：令则2.当n逐渐柴增大乌时，镜数列控的变披化趋克势见渴表1-冬4。从表1-虑4看出用，当n逐渐革增大巧时，也逐渐增大，当时，即,当n为任俭何实流数时光，结论业仍成痰立,即则令即例15求解:例16求解:2.两个偿重要况极限或注:代表相同的表达式内容锡小结1.数列欣极限遵存在截的夹伶逼准狡则函数彻极限倒存在赴的夹窝逼准灭则思考说与练垮习填空掌题(浇1～4颤)作业:4(4惯)澡,蒙(5盒)1.沸2.初5无穷雹小量末的比付较都是梢无穷呈小,引例:但不存谜在,不可引比.极限惠不同,反映屑了趋界向于障零的燥“快肿慢”垃程度着不同.而【定义10择】中,设在自变量同一变化过程为无穷小,且若则称是比高阶的无穷小,记作若则称(x)是比(x)低阶的无穷小;若,则称(x)与(x)的同阶无穷小;特别当c=1时,称(x)与(x)是等价无穷小,记作例如士，即当x→0时,x2是比3x的高阶无穷小.当x→0时,sinx与3x是同阶无穷小.当x→0时,sinx是比x2的较低阶无穷小.当x→0时,sinx与x是等价无穷小.即～例如,当时～～故时,是关于x的高篮阶无键穷小,～且又如,当x→姻3时,x2-9与x-浇3是同阶轿无穷拳小.内容搅小结1.无穷神小的挽比较设,对同颠一自视变量预的变境化过雀程为应无穷羞小,且是的高阶无穷斩小是的低阶无穷敌小是的同阶无穷掀小是的等价无穷冻小是的k阶无穷则小～～～～～作业:常用奋等价仙无穷说小:1.桶3函数诉的连饶续性1.渡3.帅1函数义的连哥续性设函程数y=庸f(庆x)在点x0的某窝一邻劳域内船有定返义,当自类变量鼠由点x0变到味另一崭点x时,称x-x0值为拜自变浓量的纷增量,记为Δx=x处-x0,相应粮地f(鼻x0+Δ处x)泰-f牌(x0)值为董函数尊的增傻量,记为Δy=f(扔x)岂-f考(x0).【增量秧定义】因为,故有【定义11羊】设函数y=f(x)在x0点的某一邻域内有定义,在x0点给自变量以增量Δx=x-x0,相应地函数的增量Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),如果,则称函数y=f(x)在点x0连续,并称点x0为函数f(x)的连续点.【定义12描】设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,若当时,函数f(x)的极限存在且等于f(x0),即则称函数y=f(x)在点x0连续.即函助数在点(1适)在点即(2驾)极限(3猾)连续翼必须驾具备霜下列林条件:存在;有定右义,存在;。由函数在一点x0处的连续定义及,有例17验证函数y=sinx在区间上是连续．在区间上任取一点x,当x有增量，证：对应器的函巴数增丘量为兄：当时，是无穷小量,且为有界函数,根据定理３可知仍为无穷小量,从而有,所以函数y=sinx在区间上连续．同样可证:函数在内连续.【定义13牧】设函数y=f(x)在点x0的左邻域内(x0+,x0］内有定义,若,则称函数y=f(x)在点x0处左连续。同理骂可定蜘义函佣数f(室x)在x0点右饼连续利，即函数f(窝x)在x０点连需续的休充分捧必要红条件叛是它炮在x０点即垮左连洞续又暮右连掏续，闹即如例7中,函数在x=0点有定义,但所以不存在。左连汽续。怎如图嚷所示子。因此f(等x)在0点不敲连续,但若f(x)在区间（a,b）上每一点都连续,则称f(x)在(a,b)上连续;如果f(x)在x=a点右连续,而在x=b点左连续,则称f(x)在区间[a,b]上连续．例如,在上连续,即:(有理男整函疲数)又如,有理宁分式戒函数义域内连沸续。在其定只要都有1.信3.内2间断谣点如果皇函数y=f(第x)在点x0处不散连续,则称x0点为种情协况之乔一时,点x0为函领数f(条x)的间梦断点:(1捷)函数f(净x)在无定想义;在在(2庸)函数f(费x)不存在;(3富)函数f(剥x)存在,但虽有骗定义,但虽有积定义,且f(谎x)的间男断点歼或不青连续狮点。根据安定义12可知,当函狼数f(灯x)在点x0有下唯列三例18函数在x=1点无意义,所以x=1是此函数的间断点,见图.如例7中,函数在x=0点有定义,但所以不存在,因此x=0是该函数的间断点,如图烦所示盘。例19函数在x=0处有定义,但,所以x=0是f(x)的间胞断点,所以x=次0是f(废x)的间乓断点,如图代所示尊。为其无穷呀间断静点.为其振荡四间断督点.例如:显然为其可去幅间断裤点。(4踏)(5)为其跳处跃间找断点陶。内容爱小结左连王续右连迈续在点连续的等价形式2.作业拣：思考脱与练弦习1.讨论丸函数x活=兔2是第劲二类筋无穷炮间断宣点。的间酸断点效。2.设时，提示:为连续遍函数汁。答案:鼻x读=体1是第家一类怨可去傍间断披点,一切侄基本裳初等帖函数性在其挣定义治域内广都是国连续物的。1.迟3.然3初等艘函数贿的连佣续性一、袖基本若初等晕函数厌的连狭续性二、孙连续成函数绪的运胸算【定理6】设函数f(x)、g(x)在点连续,则f(x)g(x)在点连续；f(x).g(x)在点连续；当时,f(x)/g(x)在点连续。例如,在内连续。在其定义域内连续。三、缠复合恩函数脏的连虽续性【定理7】设函数当时极限存在且等于,即;函数y=f(u)在相应点连续,即,则复合函数当时的极限也存在且等于,即。【推论5】设函数,当时连续,即,函数y=f(u)在相应点连续,则复合函数当时连续,即:理解烛：例20求极限。解：连续,根据定理7有函数可看作由复合而成,因为,而在相应点例21讨论函数的连续性。解：函数可看作由复合而成,因为在上连续,在上连续,根据推论5得在上连续。

练习1:求解:原式练习2:求解:令则原式说明:当时,有是由连续函数在上连续.练习4：讨论的连续性解：因此复合而成,练习3求解：初等孩函数责在其塔定义查区间忘内是舅连续给的,所谓始定义租区间所是只唐包含温在定穗义域腥内的胆区间那。四、鼻初等扔函数尚的连殊续性例22求函数的连续区间,并求当时,f(x)的极限。解：续区亭间就房诚是它该的定耽义区岂间,f(突x)在(-白∞,固-1田)及在因为是初等函数,所以f(x)的连(-灯1,哭1)犁∪(元1,蹈+∞心)上有章定义,故f(陕x)的连狼续区键间为(-窃∞-放1)福∪(引-1盆,1蓬)∪厅(1农,+歼∞)范.又因窃为x=润0为f(虎x)连续区间内一点,所以,即函数y=f(x)在区间上单值,单调增加(或单调减少)且连续,则其反函数在对应的区间上也单值、单调增加(或单调减少)且连续。例如,在上连续笋单调糊递增,其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.在上连续均单佛调灵递增,其反函浅数在上也站连续衡单调柿递增.又如,在(-∞,+∞)内单调且连续在(0,+∞)内单调且连续。1.初等届函数暮仅在钻其定滥义区递间内重连续,在其绸定义注意:2.初等年函数亿求极镜限的跳方法努代入患法:域内食不一已定连叮续;x∈定义奋区间以。内容险小结基本闸初等雀函数当在定牵义区鹊间内追连续连续骂函数金的四谈则运伴算的年结果去连续连续腔函数雁的反