届高考数学考点回归总复习《第四十七讲直线平面垂直的判定及其性质》课件

第四十七讲直线､平面垂直的判定及其性质1共71页回归课本2共71页1.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范围是3共71页

(2)直线与平面垂直①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面α互相垂直.②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.4共71页注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同于“无数条”.(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直线”.(3)直线与平面垂直是直线与平面相交的特例.5共71页2.二面角(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.二面角的平面角:一个平面垂直于二面角α—l—β的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足,则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.二面角的平面角的范围是:0°≤θ≤180°,当两个半平面重合时,θ=0°;相交时0°<θ<180°;共面时θ=180°.6共71页

(2)两个平面垂直两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)两个平面垂直的判定定理及性质定理①平面和平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②平面和平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.7共71页考点陪练8共71页1.(2010·改编题)在三棱锥V—ABC中,VA=VC,AB=BC,则下列结论一定成立的是()A.VA⊥BC B.AB⊥VCC.VB⊥AC D.VA⊥VB答案:C9共71页2.(2010·改编题)如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有()A.4对B.3对C.2对D.1对答案:B10共71页3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起,使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为()答案:A11共71页4.(2010·全国卷Ⅰ)正方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()12共71页解析:BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,在三棱锥D—ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,连接D1H,DH,则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为a,则cos∠DD1H=,故选D.答案:D13共71页5.(2010·滨州月考)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线14共71页解析:如果l⊂α,那么,α内的直线m不可能与l异面,所以,选项D不正确.如果l与α相交,那么,α内的直线m不可能与l平行,所以,选项A不正确.如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正确.在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l.答案:C15共71页类型拥一黄线线速垂直解题饭准备:判定阳直线蹈与直垮线垂涛直的滴方法:(1拴)计算凝两直钓线所党成的姓角为90州°(包括蒸平面匙角与射异面愉直线稼所成央的角).(2乌)线面示垂直葡的性言质(若a⊥扣α,行b⊂α,则a⊥楚b)连.(3界)a毒·b仇=0⇔a⊥对b.16共索71善页【典例1】如图,α庄∩β非=C汪D,神EA逆⊥α烘,垂足屑为A,柳EB杏⊥β赏,垂足铺为B,求证:C断D⊥铅AB伪.[分析]要证CD鸭⊥A专B,只需吃证CD栏⊥平面AB唱E即可.17共杂71脂页[证明]锯∵风α∩黑β=捏CD肆,∴闪CD⊂α,惧CD⊂β.又EA格⊥α狂,C僚D⊂α,例∴E毯A⊥侄CD橡,同理EB元⊥C友D.EA牌∩E卫B=薯E,∴C妄D⊥平面EA倍B.抗∵A意B⊂平面EA眠B,∴A仍B⊥菠CD帆.18共毅71其页[反思控感悟]证明慎空间英中两槐直线秒互相您垂直,通常利先观秋察两资直线册是否监共面.若两壁直线垂共面,则一鉴般用波平面黄几何塔知识痰即可脱证出,如勾伴股定克理,等腰棍三角茅形的副性质奥等.若两省直线缴异面,则转献化为钻线面告垂直显进行捧证明.19共番71县页类型肚二磨线面俗垂直夫的判金定和抛性质解题宗准备:1助.判定片定理肠可以州简单宇的记摄为“店线线鸦垂直⇒线面妻垂直获”,定理翁中的亚关键惨词语兼是“叨平面远内两烟条相破交直妻线”绒和“产都垂牙直”.2.如果娘两条问平行夏直线签中的广一条五垂直恭于一待个平玩面,那么鹊另一招条也盆垂直升于这禾个平毛面,即20共响71船页3.直线择和平用面垂姑直的拉性质:(1咳)垂直甜于同妄一个选平面为的两逃条直瓜线平勉行.(2坟)如果寇一条央直线萌垂直长于一守个平病面,则这鸟条直碑线垂示直于区这个慈平面展内的坛任意边一条御直线.(3棉)过一吹点有灾且只候有一善条直土线和撇已知马平面史垂直;过一趋点有景且只度有一绪个平送面和赌已知室直线悉垂直.(4菊)如果雾一条厚直线饥与两宜个平述面都红垂直,那么跟这两宪个平撕面平次行.21共慨71缝页【典例2】如图,已知PA垂直威于矩施形AB棋CD所在竹的平飞面,M界､N分别误是AB慕､P纷C的中蒜点,若∠PD搜A=柏45仪°,求证:M暖N⊥平面PC裳D.22共葬71萝页[证明]如图,取PD的中减点E,连接AE艳,N耀E.∵E欢､N分别化为PD耍､P怀C的中随点,∴E阁N又∵M为AB的中骆点,∴A品M∴E检N短A医M,推∴四边怜形AM肯NE为平因行四晌边形.∴M吼N∥纯AE迟.∵评PA闸⊥平面AB需CD梁,∠否PD束A=著45破°,∴△增PA项D为等鼓腰直密角三乎角形.∴显AE却⊥P勇D.23共跪71舰页又∵CD闹⊥A惕D,城CD蹦⊥P想A,惩AD锣∩P设A=还A,∴C串D⊥平面PA承D,而AE⊂平面PA警D,鸭∴C弹D⊥权AE框.又CD袄∩P攀D=住D,膨∴A症E⊥平面PC厕D.∴M灵N⊥平面PC秘D.24共乓71滤页[反思惊感悟]取PD的中助点E,连接AE咏,则有MN研∥A茎E,考虑睁证明AE胞⊥平面PC业D.25共午71净页证明似线面辜垂直笛的常钞用方嫂法:(1巡寿)利用牲线面踪蝶垂直巷的定鞭义:证一棵直线洋垂直女于平亭面内绢任一诊直线,这条滥直线舞垂直布于该汤平面.(2翁)用线钳面垂展直的颜判定渣定理:证一弃直线绿与一鸭平面拾内的扎两条偏相交迷直线趴都垂广直,这条狐直线响与平烈面垂帜直.(3毕)利用本线面浴垂直蔽的性术质:两平篮行线勤中的悼一条解垂直彼于平蚕面,则另他一条付也垂访直于抄这个赵平面.(4胶)用面赔面垂晒直的挖性质塔定理:两平负面垂求直,在一挡个平颂面内解垂直朴于交英线的争直线锅必垂昨直于出另一报个平妥面.26共害71药页(5进)用面雨面平堵行的申性质今定理:一直咽线垂烟直于森两平汇行平才面中娘的一将个,那么萌它必王定垂唉直于肌另一战个平偷面.(6暂)用面演面垂怖直的懒性质:两相劲交平馋面同客时垂锡直于慢第三奸个平愚面,那么纤两相尼交平暂面的册交线惕垂直训于第印三个古平面.27共盏71业页类型旗三么面面贼垂直扒的判安定和眠性质解题羡准备:利用忌面面牛垂直脂的判欧定定秤理证凉明面锅面垂降直时决的一豪般方旁法:先从冤现有判的直详线中绪寻找应平面津的垂乒线,若这膀样的银直线舟在图府中存猪在,则可受通过扶线面厘垂直偶来证析明面姻面垂代直;若这华样的孙直线携在图路中不耕存在,则可暑通过杯作辅静助线胸来解皇决,而作旬辅助羽线则鞋应有栏理论眯根据记并有武利于锹证明,不能举随意屡添加.28共惹71室页【典例3】如图,已知搜平行孔六面弯体AB球CD虹—A1B1C1D1的底话面为佛正方少形,O1,O分别也为上,下底饶面的历中心,且A1在底宝面AB迎CD的射博影是O.求证:平面O1DC祖⊥平面AB闷CD扰.29共因71历页[证明]如图.连接AC乳,B角D,过A1C1,B1D1,则O为AC忽,B某D的交镇点,O1为A1C1,B1D1的交怀点.由平裂行六眉面体敞的性行质知:A1O1∥O棒C,且A1O1=O榜C,瓣∴四边粉形A1OC充O1为平识行四虏边形,∴惰A1O∥磁O1C.∵A1O⊥平面AB尽CD叙,∴款O1C⊥平面AB余CD译.又∵O1C⊂平面O1DC嘱,∴平面O1DC破⊥平面AB训CD冷.30共密71厚页[反思熄感悟]证明姜面面沉垂直,可先敏证线西面垂焰直,即设云法先腹找到挺其中宵一平奸面的跃一条夺垂线,再证绕明这泛条垂维线在歼另一暖平面针内或亏与另子一平遗面内扔一直圈线平饭行.31共谅71麻页类型穴四只求直狐线和黑平面煤所成父的角解题蚂准备:斜线涂和平搅面所得成的趟角,简称渗“线圆面角晓”,它是丈平面壤的斜摘线与恳它在洒平面余内的鱼射影宫的夹沃角.求直招线和游平面盾所成块的角,几何万法一答般先心定斜面足,再作伙垂线淘找射型影,然后翅通过江解直妨角三蒸角形头求解,可以急简述临为“步作(作出假线面具角)→证(证所牢作为瓜所求)→求(解直蹦角三慈角形)”敞.通常,通过秃斜线肾上某咐个特库殊点乖作出个平面帐的垂芬线段,垂足域和斜滨足的挥连线哀是产蔑生线予面角报的关炉键.32共宁71纽奉页【典例4】已知疤三棱霞柱AB亩C-堂A1B1C1的侧横棱与肠底面烈边长来都相激等,A1在底煤面AB处C内的咽射影蛮为△AB匙C的中塑心,则AB1与底融面AB吧C所成五角的阳正弦循值等窗于(叛)33共辣71粪页34共浇71朝页[答案]迈B35共优71北页[反思晃感悟]求线乎面角示的关南键是露作出嘴这个要角.而作昨出这含个角闪就要胶过平玩面斜铁线上平的一祖点作脆平面藏的垂虎线,一般汁方法珠是有逗直接池法和煤根据奔面面吃垂直修的性闯质定宫理的的方法.36共悟71架页类型撕五满二面咳角解题懒准备:二面死角大究小的呼求法:由于纱二面滑角的签大小曲是用沙它的霸平面紧角的风大小葬度量肤的,因此粗求解蚀二面衣角的珠大小该的关族键是犹作出探它的得平面成角,将面飞面角匠的计性算转捆化为旅一个饮平面建上的钥线线惨角的杂计算.其基探本步离骤是悼作(作平杏面角)→证(证所喉作即臂所求)→算(计算削平面竿角的丈大小).37共恭71圆页作二彻面角椅的平山面角具的常耽用方桃法有:(1木)直接辩法:根据证平面筒角的尖概念惭直接筝作,如二田面角己的棱道是两映个等粒腰三火角形拘的公结共底拍边,就可暮以取膝棱的俗中心;(2弄)垂面有法:过二赞面角傍棱上帆一点食作棱贡的垂恰面,则垂希面与倾二面裳角的锅两个递半平鄙面的库交线肚所成赵的角研就是肤二面返角的腾平面犹角或引其补库角;38共沈71锄页(3放)垂线受法:过二魄面角哥的一号个半狂平面六内一既点A作另毒一个格半平升面的企垂线,再从鼻垂足B向二育面角呆的棱构作垂夺线,垂足屑为C,这样调二面托角的律棱就白垂直正于这扶两个鸦垂线胳所确拢定的街平面AB世C,连接AC刊,则AC也与段二面逃角的喘棱垂献直,∠餐AC异B就是色二面轻角的颠平面猛角或结其补棉角,这样勺就把美问题熟归结济为解创一个城直角竹三角办形,这是倘求解携二面厌角的耳最基阀本､最重梢要的蜻方法.39共拢71笛页【典例5】如图,已知PA垂直辩于正泪方形AB椅CD所在房诚平面,且PA扫=A典B.40共赏71胖页(1焦)求平促面PD探C与平勾面AB倦CD所成虾二面枪角的禽大小;(2塔)求二跨面角B-抚PC期-D的大蚊小;(3烟)求二烘面角A-动PB轰-C的大荣小;(4女)求平符面PA浙B与平师面PC童D所成裤二面灰角的微大小.[分析]根据获所求袜的二渡面角,选择四适当驶的作聚二面萝角的撕方法荷作出犹二面映角,然后咏求解.41共名71矮页[解]泼(个1)袍∵P假A⊥平面AB育CD醋.DC⊂平面AB脑CD熔,∴跨DC备⊥P陪A.由正滩方形AB粉CD芹,有DC宪⊥A丸D,∴D队C⊥您PD剂(三垂法线定鹅理),故∠PD小A即为扁平面PD怎C与平搅面AB世CD所成宰二面撑角的归平面偿角.∵P资A=激AB但,A动B=淹AD贵,∴△去PA乌D为等战腰直模角三绸角形.∴∠臭PD暑A=抵45茅°,即平遍面PD咸C与平帝面AB受CD所成蜜二面送角的填大小揉为45纱°.42共珍71迹页(2六)在Rt耳△P徒CB与Rt坛△P蛋CD中,B月C=叉DC捷,∠季PO仙C=管∠P墙BC纪=石,P狱C为公杆共边,∴△万PC培B≌惠△P傅CD塞.在平孝面PB誓C内作BE庄⊥P梳C于点E,连接DE贿,则DE砌⊥P家C.∠B饶ED即为装二面龙角B-弊PC届-D的平侦面角,且BE鱼=D霜E.又设PA拿=A仗B=饼a,则PB跳=P劳D=∴BE酒=D扬E=赏a×43共赵71毛页又BD雕=锦,在△BD健E中,co久s∠份BE番D=又0°船<∠挥BE我D≤宫18资0°素,∴睛∠B塞ED戒=1遮20救°.即二瓣面角B-昆PC躺-D的大汗小为12兼0°馋.44共液71炒页(3脸)解法怖一:∵迈PA自⊥平面AB本CD仙,B箩C⊂平面AB浮CD质,∴P厕A⊥泊BC热.又BC衡⊥A强B,且PA谋∩A君B=很A,∴B卷C⊥平面PA拥B.又BC⊂平面PB犯C,∴平面PB剂C⊥平面PA古B.故二势面角A-锻PB圈-C为直鲜二面封角.45共党71泪页解法弄二:∵百BC梯⊥A撑B,车BC写⊥P匪A,伐∴B叠C⊥平面PA僵B.点B为点C在平约面PA灾B上的番射影,线段PB为△PB欣C在平屿面PA型B内的券射影.∴二面兄角A-数PB值-C为直帝二面蓄角.46共真71趋页(4匀)∵轮PA芳⊥平面AB泊CD贩,∴倾PA锤⊥A偶D.又AB浪CD为正些方形,∴难AD术⊥A井B.从而裕有AD宪⊥平面PA搂B,同理CB例⊥平面PA办B.△P颜AB是△PC肤D在平京面PA芳B上的屈射影.设平桂面PA争B与平泛面PC饶D所成翁的二担面角洞为θ,则co弟sθ咏=47共泪71方页48共彼71蠢页[反思任感悟]二面陶角的欧作法代种数魔较多,要根搜据题忘设条签件和备所求,选择懂最优修方法交作角.在计农算中,适当充设棱剩长为元一个横字母棕表示矛长度,可简汇化计克算步旱骤.49共耕71阀页类型失六纸线面冤垂直诉中的猾探索叼性问伍题解题购准备:立体暑几何瓶中的傲开放熄题在特近几挖年的合各地和高考容试题繁中是游出现嚷较多抄的,开放西题很炮好地号考查袍了学葵生发统散思晒维和的探究袜学习捉的能锦力,解题码中常逃规作兼法一像是根辟据对缸题目炭的综原合分带析和僚观察朴猜想掉出点穴或线迫的位夫置,再加阀以证搅明,二是高假设所求骡的点止或线砌存在,并用尸设定敲的参奔数表猫示出潜来,再根订据其餐满足监的条去件确惜定参缺数.50共仆71析页【典例6】如图,四棱负锥P—黑AB额CD中,底面AB纸CD是∠DA氏B=似60朱°的菱巷形,侧面PA撤D为正产三角梨形,其所鞋在平匀面垂艰直于爷底面AB贪CD连.(1多)求证:A孔D⊥妻PB箩;(2飘)若E为BC边的忍中点,能否芬在棱PC上找别到一蚀点F,使平讨面DE档F⊥平面AB丧CD获,并证呜明你门的结价论.51共捧71偏页[解]稀(咽1)证明:取AD的中蜘点G,连接PG热,B遗G,冲BD科.52共泪71工页∵△PA沈D为等缴边三镰角形,∴判PG受⊥A令D,又∵赞平面PA佳D⊥平面AB旱CD钳,∴P认G⊥平面AB尼CD您.在△AB滚D中,∠朋A=较60则°,准AD堵=A率B,∴△休AB司D为等哪边三植角形,∴激BG毙⊥A安D,∴A赵D⊥平面PB母G,∴A见D⊥扬PB染.53共凳71唐页(2恼)连接CG五,D射E,且CG与DE相交到于H点,在△PG鄙C中作HF疫∥P掉G,交PC于F点,连接DF钉,∴F疲H⊥平面AB禽CD挤,∴平面DH引F⊥平面AB渴CD好.∵H是CG的中删点,∴迟F是PC的中有点,∴在PC上存岗在一香点F,即为PC的中滑点,使得纱平面DE容F⊥平面AB蚀CD养.54共燃71惑页[反思俗感悟]近年穿来开铺放型贱问题勺不断艳在高差考试宇题中土出现,这说澡明高马考对纺学生居的能蜜力要祥求越净来越牌高,这也兆符合概新课删标的哗理念,因而鬼在复省习过干程中惰要善殿于对色问题胳进行址探究.立体漫几何贩中结原合垂旬直关味系,设计独开放微型试犁题将充是新选课标蚀高考灵命题懒的一智个动娱向.55共柜71扁页错源饥一稼抓不疯住线者面垂演直的编本质【典例1】给出腿下面咏四个滤命题:(通1)若一献直线畜垂直宿于平雕面内崇的两戒条直返线,则这尝条直救线垂猪直于缝这个殃平面;(菊2)若一牵直线驶垂直项于平仇面内伏的无败数条党直线,则这蹲条直炒线垂齐直于蜜这个较平面;(涉3)若一泪直线恋垂直攻于平日面内么的任誓意一钢条直拾线,则这臭条直抢线垂鸣直于醉这个妹平面;(恢4)若一鸦直线勺垂直骂于梯度形的蜜两腰词所在纳直线,则这酷条直集线垂进直于森梯形茎所在顷平面.其中门正确务的命药题共率有(地)A.议1个B.苦2个C.蜓3个D.歇4个56共昨71炸页[错解]奥C糊((仁2)辽(3沸)(丽4)正确).[剖析]错解燃对于发线面菠垂直沃的概城念理走解不魄到位,没有夹抓住钱概念匹的本眉质.[正解]透B似((帆3)焰(4州)正确).57共震71方页错源性二说使用娃判定胃定理季时忽稼视条针件而肆致误【典例2】如图,a旱∥b齐,点P在a,郊b所确异定的喂平面葡外,P念A⊥还a于A,深AB腰⊥b于B.求证:P向B⊥阶b.[错证]因为a∥塔b,所以a,铃b确定曾一平魔面γ,因为PA四⊥a舌,a着∥b累,所以PA衬⊥b亚,所以PA舅⊥γ桨,所以PB滨⊥b盟.58共成71治页[剖析]本证陈法的凝错因商在于工没有热正确泰使用尸线面拘垂直术的判足定定俱理,由PA阔⊥a突,P扒A⊥域b得PA洁⊥γ扬,而忽沾略了a∩扰b≠∅.[证明]因为PA恐⊥a饶,a改∥b践,所以PA疮⊥b掉,又因签为AB帽⊥b械,P杯A∩工AB秒=A久,所以b⊥平面PA黑B,故PB消⊥b龟.59共休71拴页错源撇三苏防止博主观征臆断碑的失敏误【典例3】如图,四棱今锥S—退AB牛CD中,底面AB砌CD为平请行四较边形,侧面SB告C⊥底面AB展CD局.已知隔∠AB内C=愁45额°,崇SA捡=S鹅B.求证:S卷A⊥河BC透.60共堂71揉页[错解]作SO已⊥B古C,垂足坏为O.因为御侧面SB嗽C⊥底面AB想CD骄,侧面SB凯C∩底面AB锻CD险=B形C,所以SO城⊥底面AB为CD透.又SO⊂面SA鬼O,所以依面SA挂O⊥底面AB欺CD浅.因为SA⊂面SA代O,架BC⊂底面AB姜CD僚,所以SA领⊥B治C.61共垄71以页[剖析]错误胁原因屯在于功解答史到最侄后时苦无中虹生有乡丰地造细了一献个判灰定定论理:如果基两个普平面道垂直,那么召一个浪平面葵中任恒意一鸭条直犬线一饼定垂昆直于爪另一闭个平姓面中氧的任姿意一投条直桃线.因这拢个结虹论是等错误挣的,故而怎出错.62共星71厕页[正解]作SO絮⊥B被C,垂足禁为O,连接AO饭.由侧台面SB帝C⊥底面AB堪CD得SO养⊥底面AB盼CD济.因为SA屯=S燃B,所以AO闷=B懂O.又∠AB留C=阔45严°,故△AO泽B为等辆腰直扰角三晓角形,A废O⊥波BO朗.因为SO⊂平面SA翁O,拍AO⊂平面SA症O,拢SO值∩A裳O=陡O,所以BC狗⊥平面SA粱O.又SA⊂平面SA超O,所以SA枣⊥B择C.63共语71撤页技法谅一咬快速伤解题(利用眯三余焦弦公森式)【典例1】如图,过∠BO稳C的顶条点O作该母角所凉在平侄面的令斜线,使∠AO距B=侦∠A绑OC青=6掩0°阔,若OA睬=O扩B=易OC肉=1怜,B听C=捎,求OA与平态面BO踢C所成叹的角.64共抗71滔页[快解]由题封设易皮知△BO矮C是等铁腰Rt条△,裹∠B指OC孕=9驶0°注.由于状∠AO先B=嚼∠A负OC窝=6艳0°苦,故OA在平壤面BO箭C内的封射影灶是∠BO寒C的平兽分线,则∠BO搁D=药45嫁°,故co末s∠斩AO员D=,∴溉∠A煮OD法=4续5°即OA与平译面BO脊C所成去角为45物°.[另解瞎切入婆点]膝O尝B=宁OC影=1摸,B表C=昆,片△B举OC是等彻腰Rt蓄△,可以席证明盟△AB优C也是高等腰呢直角泻三角胳形.65共纪71经页[分析]摩△鸭BO准C与△AB宇C都是鞋等腰Rt畅△,取其警公共雀斜边批的中海点D,连接OD助､A摧D,则平慰面AO电D⊥平面BO恼C.在△AO悉D内求A到OD的距惠离或血直接悦求∠AO匠D即可.