第八章数学悖论及其意义

第八章数学悖论及其意义悖论的起源已久，至今是一个涉及自然与社会科学中许多学科的论题．由于数学的发展是充满着矛盾的历史，因此，数学中出现悖论是不可避免的，甚至还可以这样说，数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理．这里，首先给出悖论的定义并列举历史上重要的悖论，然后对数学史上所谓三次危机作一个简要介绍。§1悖论的定义和常见的悖论值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说。一、悖论的定义我们采用徐利治教授主张的弗兰克尔和巴-希勒尔的说法“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矿矛盾的命题，或是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说，这个理论包含了一个悖论。”简言之，

在这个定义中，首先指明了任何一个悖论总是相对于某一理论系统而言的。

比如，著名的罗素悖论是一个被包含在古典集合论系统中的悖论。其次又指出一个悖论可以表现为某一理论系统中两个互相矛盾的命题的形式。不过从悖论的起源以及历史上一些著名的悖论来说，不一定都符合我们这个定义，它们有的是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观念，例如希帕索斯无理数的发现。有的是在推理过程看上去是合理的，但推理的结果却又违背客观实际。例如芝诺悖论。二、常见的悖论1、理发师悖论

李家村上所有有理发习惯的人分为两类，一类是自己给自己理发的，另一类是由别人给他理发的。这个村上有一位有理发习惯的理发师自己约定：“给且只给村里自己不给自己理发的人理发。”现在问：这位理发师属于哪一类的人？2、罗素悖论（集合论悖论）这是罗素在1903年提出的悖论。叙述如下：3、康托悖论这个悖论是康托1899年发现的。现叙述如下：4、说蓬谎者姥悖论“我耕在说少这句立话时谢正在语说谎友”，忆试问晕这句虽话是等真话功还是居假话爬？分析笨如下警：若设睬它是贞真话猾，则穷因这庙句话卖（它掀是真侦话）宽也是乐出自肃我之所口，盐故按主此话简（我乏在说四这句仇话时觉正在护说谎抢）的钢论断验，可痛知这驰句话投（它夜是真韵话）锐也是逢说谎排，即粱这句宫话是娘假话叮；若都设它钱是假帮话，脏则因举这句哄话（告它是计假话煤）也硬是出叮自我冷之口投，故取按此杯话的海论断忘，可辩知这券句话班（它肿是假厘话）躁也是生说谎庄，即趣这句硬话是耗真话历。故怖由它亮的真愤（假新）导乡丰致它玩的假挠（真涛），泼总是干矛盾渗的，僵这就终是悖葱论。19既47年设脉计出龙了世咱界上烟第一坛台用库于解桥决逻喜辑问亦题的蔑计算盖机，校当用哭它来陵判断妹这个储“说白谎者构悖论踩”，汇即判庸断：哀语句系：“债我在例说这滤句话衣时正论在说仍谎”耍是真妖，是浑假时尤，这暂时只他见“誉计算镰机发历狂”柜了似拍的反快复不介断地简打出椒：对各、错霞、对擦、错……。关于腾这个变悖论都的由拉来是我这样垄的：公元毫前6世纪捉，希书腊的就克里巩特人恭发现抚一个孝实际唇上没江有构仍成现停代意琴义下冤的悖黎论的碰悖论嫌。其辫原始撑命题端是：烟一个扩克里摇特人亲说：门“所杜有的窄克里婚特人码所说深的每笑一句覆话都柄是谎奋话。超”由奋于从武假设拿这句阳话为廉真会液导出送它的蓬假，忘而由萝它的造假并计导不队出矛俭盾来渠。这装样构鹅不成隐现代需意义激下的美悖论笨，不宫过它筒的确腰是古模代著带名的盟悖论遍，连起西方丹的圣余经《新约》中也缩慧用这释个悖秧论。恐它是侵悖论酱的历泡史起帅源的浇典型逢例子愉。以上棵所举包是逻回辑（榨集合购论）指悖论僵和语嫩义学罚悖论露的典识型例乱子。触由于箭科学吉的发躺展，坏各个浓领域父中出学现许晶多思译维的逃、推扁理不膛清的浇问题掀，过专去人装们都京称之控为悖千论，恋现在扭看来订可能弟不一碗定是忠悖论延。5、梵沾学者坡的预刚言印度遥预言这家的粘女儿奖要想影捉弄现父亲崇，一爽天在币纸上虎写下霸一句瞧话（短一件忍事）临，让予她的刺父亲吐预言焰这件拼事在凤下午3时以棒前是翼否发祸生，殿并在轮一个预卡片葛上写照“是糠”或热“不启”。采这位岸预言修家果拖然在边卡片攻上写虑了一农个“怀是”泻字。辞他女惊儿在孟纸上暗写的么一句乱话是看：“林在下扇午3点钟各之前屯，你平将写霸一个己‘不陡’字稳在卡饿片上白”岁。事实葬上：他在锦卡片品上写脖“是窜”或汇“不倾”都究是错僚误的板，他题根本违不可艳能预跪言对筹。因苏为如屯果他束写个启“是殊”字纽奉，这槐就与偿他的泡女儿况在纸旱上说锈她的科父亲惑将写处一个颤“不骗”字阔不相刮符合犹，也附就是完说他兵预言星不对剃；如届果他钞写个易“不净”字恭，也北就是意说，洋在下甲午3点钟誓以前富，你半的确狱写了窗一个助“不听”字何在卡无片上唱，那躺怎么纠能说贼“不貌”呢骆？而谜应该贤说“赴是”停才对颜啊！6、蠕租虫爬肤橡皮糊绳一条样蠕虫诞在一km长的袭橡皮款绳一勤端以1c丘m/等s的匀退速向送另一摩端爬摘行，愉而橡杨皮绳或却以世每秒排（均织匀）靠伸长1k卵m,如此街下去色，试跌问蠕熊虫会锈不会芦看到闷橡皮锅绳的拌另一烤端点岗？7、上发帝全鞭能悖饭论8、芝繁诺悖村论公元轮前49符6—俩43建0年间颂埃利诉亚（匙意大悼利南锤部一恢个城烤市）猫学派听中心厘人物寺芝诺瘦，他掉反对扁毕氏椅学派角企图慌用“涌单子趋说”炎来解跑决“恨线段惜不可而通约秒”的剩问题细。（乎毕氏民对不枕可通闹约的恐线段收用一才种如识此之栽小的妄度量虑单位射，以抬致本间身是晴不可透度量脊的（虑即长给度为0）却克又要活保持丝式为一践种单线位，软称作中单子烫。用向单子经来度贝量它拨们，嚼也就迁是以扰无穷做小线积段去芝公度窑正方梅形的或边和币对角寻线）咽。芝滚诺提哪出“抗单子变本身阔是否坑有长津度”哗的问讯题，卫并认船为无智穷小椅若有俭长度食，则挠无限川个相推连接仅为无逗限大换；无夕穷小姨若无扑长度哀，则查无限仔个相甚连接改仍是朽没有做长度忙。芝事诺还症提出意了著撕名的权几个唐悖论装。（1）阿痒（基怕）里紧斯悖冠论阿里戴斯是扛荷马佛（公沟元前10充00年）亭史诗《伊里授亚特》中一喇位善倒跑的杰英雄皆。假蒜设阿挑里斯孙跑的戴速度鸣是乌娃龟的10倍，坑而乌留龟在棵阿里皮斯前鸭面10遥0米。职当阿买追到10崇0米时希，乌谈龟前半进了10米，蒸阿又鼠追上10米，喊乌龟躬又前易进1米。苹阿又眠追上1米，考乌龟芬又前僚进了0.蛋1米。精如此蒜下去搜，阿故里斯员只是乖越追亲越近贤，但撤始终泄追不例上乌想龟。（2）箭粪的悖芦论（尘飞矢日不动柴）“飞晃矢在屑每一耗个瞬答间都忧占有脖一个滥特定碑位置凤，它爪在这片一瞬侄间是浴不动炊的。层每个祖瞬间袭都不东动，拒无限蛾个不皱动的罢瞬间截总和兰还是诱不动焰的。判所以避飞矢振不动波”。§2悖论没的意扫义数学惹拥有避美的摩内容忌，也加存在智着“孝丑”畜的东理西，兆数学罢悖论慌就是样一种碎“丑贼”的魔表现胶，追默求数奖学美腐能促劣进数胸学发争展，执同样激地，查为了兼消除拜它的坐“丑秋”也哄必能当推动然数学反自身河的发乖展，屯数学然三次凭危机蜜的克陈服对涌数学铁发展题的推摘动作宴用，树就是竖历史籍的事厉实。一、两数学亚第一翅次危准机公元词前5世纪白左右怨为古定希腊栏毕达染哥拉仗斯学在派的潮兴盛屋时期脉，他予们认量为“杰万物外皆数滑”，戒“宇剑宙间寸的一副切现赔象都号能归拘结为雅整数奋或整身数之搅比”比。他迷们发脏现并罩证明拨了勾恐股定等理。约公使元前40续0年一垃个希肾腊人班，毕穷氏学虎派的右弟子殃希帕侍索斯耗发现钱了“或等腰义直角催三角闪形的士直角充边与极斜边散不可等通约留”。这个救发现盲，在罩当时命成为筒荒谬荷和违拳背常桨识的已事，帜不仅料触犯漆了毕臭氏学碧派的类信条央，而丹且也虽冲击蔽了当建时希夏腊人壮的普盆遍见还解。拔因此知在当冻时要网求人顶们接牧受这预种“浓荒谬纸”、央违背绳常识疲的事站实是嫌多么悠困难饲的事水啊！期于是糠也看岭作是腿一种垒悖论畜。这白个事干实以环及芝百诺疑裁难就帐成为炊数学伞史上阀的第腥一次旁危机击。危机怎的消贯除：二、遥数学怒第二微次危绒机在希内腊的器后期姓，除菌了研闻究直识线、冲折线寸的长重度、弃直线章形的虹面积出外，跨还讨努论过众曲线伞的长腰度和肚曲线阔形的扒面积上问题划。经淋过中婶世纪播和文砍艺复阅兴，尽直到慕十七捎、八唤世纪借，人死们发形现下刊列问蛇题需险要处秆理：①已豆知路得程函庄数，芬求速支度以倍及它掌的逆姓问题并；②求巴一曲厘线的董切线蚊；③求堪一函波数的樱极值促。在研泻究上酬述问乘题过捡程中巡寿逐步鲜产生逢了微甩积分同，特寄别是句牛顿枝和莱尘布尼袍茨的小功绩鞋，使痕得微露积分亮理论通和应蜡用得河以飞丑速发糕展。涨但是绍另一惜方面形，微纷积分钳理论覆却建值立在炼当时借还是昂含糊扁不清枣的无颗穷小摄概念之上。尝比如桐牛顿零的流直数（尘流数桨是指桑流量业生成赌的速多度——变化皆率）由法。在牛暴顿的斜流数煤法的锅整个扒过程剥中，伤人们宣到底弄把自乔变量庄的增那量看哭作零群还是队不看捏作零出？怎袜么能把用它状去作饺除法简运算浴呢？酷如果必它不末是零抱，又夫怎么朱能把渠包含巧它的具项去舒掉呢扎？所鹅以在倘牛顿袖的这中个推差导过迎程中岭存在刺着逻低辑上算的自透相矛雀盾。这样放由于桶微积达分当答时缺挡乏牢拴固的码理论陪基础识，英具国在般主教田贝克纺莱便农对微楼积分姻大肆况攻击伞：“既不忆是有袖限量丢，也饿不是飘无穷润小，北但又召不是亚无”抖、“值是消荣失了仰的量扭的鬼宣魂”波。贝既克莱河是出顶于恐构惧当居时自霸然科欢学发忆展所掀造成驰对宗睁教信标仰的停威胁误，确莫也是孝由于榴当时系的微习积分吃理论书缺乏煌牢固飘基础攻，所茫以当乡丰时的肉微积渔分遭域到攻宿击和编非难答在所途难免愈。历史习上，享人们刊就把紫微积骄分自般诞生诉以来览数学告界出姐现的盯混乱崖情形肿叫做袭第二听次数窜学危斗机，搁也把冻贝克虏莱的白攻击圈称为兔贝克亩莱悖致论。危机免的消透除：三、眯第三茂次数窃学危库机①实舰