对偶理论与影子价格

1第六节

对偶理论与影子价格

对偶问题的提出对偶问题的形式对偶问题的基本性质影子价格2对偶问题的提出例1：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？

产品甲产品乙设备能力设备A3265设备B2140设备C0375利润15002500现在从另一个角度来讨论该问题：

如果工厂考虑不安排生产，而准备把所有设备出租（或用于外协加工），工厂收取租金（或加工费）。试问：设备A、B、C每工时各如何收费（租金或加工费）才最有竞争力？工厂为了获得最大利润，在为设备定价时，应保证生产某产品的设备工时所收取的费用不低于生产该产品的利润；同时，为了提高竞争力，应该使定价尽可能低。目标函数

设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数约束条件

设y1，y2，y3分别为每工时设备A、B、C的收费。目标函数

约束条件4

解：可以建立如下的线性规划模型：

目标函数

约束条件

化为标准型，利用单纯形法进行求解。最优解X=(5,25,0,5,0)，最优值（利润）为70000。

5

解：设y1，y2，y3分别为每工时设备A、B、C的收费。可以建立以下线性规划模型：

化为标准型，利用单纯形法进行求解。最优解Y=(500,0,500,0,0)最优值（收费）为70000。

6原问题对偶问题7原问题对偶问题目标函数

Max

Min

约束条件 ≤ ≥系数矩阵A AT资源常数 b c目标系数 cb2个变量 2个约束

3个约束

3个变量解 检验数检验数解可以看到，这两个问题关系密切，用同样的原始数据：线性规划有一个有趣的特性，就是对于任何一个求极大的线性规划问题都存在一个与其匹配的求极小的线性规划问题，并且这一对线性规划问题的解之间还存在着密切的关系。线性规划的这个特性称为对偶性。

对这两个线性规划问题，一般称前者为原问题，后者是前者的对偶问题

8对偶问题的形式9如果线性规划问题的变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极大值时均取“≤”，当目标函数求极小值时均取“≥”，则称具有对称形式。对称形式下原问题和对偶问题的形式：（LP）“Max——≤”s.t.（DP）“Min——≥”s.t.

一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系：

1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。

2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个约束，m个变量

3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置对换

4.两个规划模型中的变量皆非负

1011MaxzMinfx1x2…xnxi≥0y1a11a12…a1n≤b1y2a21a22…a2n≤b2……………≤…ymam1am2…amn≤bmyi≥0c1c2…cn≥≥≥≥一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式的对偶规划。

对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系进行处理并给出其对偶规划：

1.将模型统一为“max，≤”或“min，≥”的形式，对于其中的等式约束按下面的方法处理；

2.若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制；

3.若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问题中与此变量对应的那个约束为等式。

也可以直接给出其对偶规划。

12例2：写出下面线性规划的对偶规划模

13解：先化为对称形式（Max—≤）

“≥”的约束两端同乘以“–1”

“=”的约束等价转换为“≤”和“≥”的两个约束，再变换

变量≤0，用变量替换，如

变量无非负限制，用变量替换，如

14写出对偶问题：

15变量且替换怕，令16把对柿偶问相题和皇原问派题进钢行比卧较17Ma讨xz=x1+慌4x2+宜3x3s.叨t.摸2x1+驻3x2–耐5x3≤2原问建题3x1–x2+评6x3≥于1x1+x2+x3=鞠4x1≥0，x2≤资0，x3没有像非负含限制Mi乐nf=王2y1+y2+犬4y3s.月t.疯2y1+绒3y2+y3≥1对偶傅问题3y1–y2+y3≤4–弓5y1+喝6y2+y3=锦3y1≥蕉0，y2≤0，y3无非葵负限纪制由此染得到惯非对接称形鄙式的干线性恶规划瞧原问铅题和绸对偶衰问题举的对斑应关傅系（材对称咬形式且也适宿用）18原问题对偶问题A约束系数矩阵约束系数矩阵的转置b约束条件右端项目标函数中的系数C目标函数中的系数约束条件右端项目标函数Maxz=ΣcjxjMinz=Σbiyi变量n个

xj≥0(≤0，无限制)约束条件n个Σaijyj≥(≤，=)cj约束条件m个Σaijxj≤(≥，=)bi变量m个

yi≥0(≤0，无限制)对偶记问题层的基气本性距质对偶泡问题计的基语本性漫质对挑对称更形式装和非常对称陵形式合都是纠同样摸适用哄的，煤但为炎了方细便，米在说晒明或批证明现时以柳对称宾形式纱为例饭（非欺对称驱形式糖可以疏化为妹对称颜形式融）对称侍形式遮下原(P耐ri旷ma枣l)问题御和对递偶(D镜ua鸟l)问题乔如下释：(P鸽)微M泻ax污z烦=钓CX帖(嚼D)李M忍in政f席=咳YTbs.斧t.血A悦X叮≤件b狮s.钳t.退ATY命≥却CTX现≥循0击Y梅≥振0“M爬ax直-周-忘≤脆”以“M竹in旧--厦≥铸”191．对称织性。即滑对偶辆问题假的对疮偶是扯原问看题。202.（弱吊对偶损定理槽）若X，Y分别渣为（P)和（D）的护可行诞解，菜那么CX宝≤此YTb。衬证明撑：由哲变量誉的非爽负性霉限制摧，可章以得卡到21弱对抹偶定释理的赴推论哥：1.（P）任贺一可就行解蒸的目汗标函产数值途是其撑对偶鼻问题块目标庆函数桨值的概下界饿；（D）任滨一可元行解估的目霜标函砖数值膛是其烂原问口题目旁标函哭数值诸的上库界。2.若（P）可裂行，欠那么玻（P）无舞有限允最优定解的咸充分救必要崖条件薯是（D）无铲可行浸解。3.若（D）可叶行，眨那么块（D）无赏有限捷最优关解的妙充分猫必要扩条件丈是（P）无斗可行迟解。4.若（P）、个（D）可刮行，盟那么坏（P）、恋（D）都占有最饺优解夜。223.（最醋优性翅准则蔑定理简）若X’，Y’分别母为(P绪)，(D兼)的可肯行解堆，且CTX’份=Y扎’Tb，则X’，Y’分别担为(P器)和(D洽)的最膝优解劫。证明这：设X为(P艇)的可队行解狭，由判弱对松偶定好理可味得CTX苏≤惹Y’Tb戏=静CTX’因此X’为(P葬)的最商优解鞭。舰设Y为(D掉)的可初行解颠，由蛛弱对牢偶定曲理可邻得YTb订≥倚CTX’孔=猛Y镰’Tb因此Y’为(D拒)的最输优解肺。234.（主白对偶辜定理清）若(P缘瑞)和(D倦)均可愤行，跑那么(P趁)和(D刚)均有屯最优讲解，匆且最棉优值窜相等谣。证明顺：若(P移)和(D衬)均可箭行，涉则由奖弱对熔偶定议理的喝推论革知(P蛮)和(D厚)均有累最优存解。设(P辆)的最诞优基咽为B，令YT=牙CBB-1，由σ=亭C机-执CBB-1A耐≤隆0，对蒙于松杀弛变卷量部稿分，绍目标休函数汉系数枪为0，系简数矩省阵为押单位张阵，醋检验坟数为σ=率-猎CBB-1≤0，故Y≥择0，且YTA≥眯C，ATY鞠≥歼CT，因涨此Y为(D可)的可已行解脉。阵目蠢标YTb河=仿CBB-1b雪=温CX（原抗问题裂最优渡值）墙，由坟最优精性准亡则定标理知Y为(D福)的最撕优解录注僚：(P跨)松弛贩变量异的检头验数翻的绝荒对值齿是(D泡)的基茅可行心解鸦推论霉：(P橡)有最摔优解烟的充逢分必保要条温件是(D庙)有最跨优解24对称温形式裂下原灾问题哲和对械偶问浮题的肌标准勺形式似如下5.（互志补松园弛定秆理）棕若X和Y分别穴是(P挣)和(D她)的最中优解泡（对拾称形徐式的董标准告型下你），扁则有即约液束取听等式炕或对同应的斤变量肢为025证明万：由蒜弱对刻偶定胶理（CX留≤YTb）得由主缺对偶锡定理矩可知验最优客值相膝等，串上述岗不等户式取煤“=”，26对偶欧问题帐基本习性质略的应律用：利用倾单纯验形法喇，求暑得对虫偶问抹题最剥优解X=咏(1累,鞋0,工0适,甲2,揭0码)T，最僚优值z*度=光9。由互弃补松扶弛定霞理，拾得x1病y宫3麦=复0，x2量y揉4针=艘0，x3废y杆5缘瑞=树0，x4配y弱1由=照0，x5什y构2复=0，因币此有y1倡=音0，y3桨=长0，代供入第1个约达束得这到y2远=竞9，代尼入其差余约烂束得y4饥=竭4，y5自=捏6求4。对于墨变量角数量枣少、报约束店多的嫁问题馒，可臭以利其用基焦本性暴质简勿化求至解27例4：Mi茶nf=薄5y1+y2s.垄t.材3y1+y2≥9y1+y2≥衰5y1+捡8y2≥8y1，y2≥0Ma跌xz=国9x1+嚷5x2+只8x3s.委t.恩3x1+x2+x3≤5x1+x2+稻8x3≤1x1，x2，x3≥草0影子优价格影子顿价格(S骆ha伤do刚w列Pr驻ic迫e)的概帜念：若X*，Y*分别案为（P）和东（D）的伏最优纷解，简则z赌=重CX蓄*卵=抓Y*Tb不=秤f根据z谊=辱b1y1*+首b2y2*+底∙∙至∙+柴bmym*可知z/bi=yi*其中bi表示埋第i种资停源的锹拥有水量，yi*表示bi变化1个单号位对悬目标z产生尾的影进响，栏也是昆在资惊源最嘴优利友用条取件下网对该触资源谈的估延价，词称为志该资完源的枯影子愤价格例如蔽，在碰例1中yi*是对衣设备林租金响的估晨价注意忍：若B是最忧优基蝴，y*T=裤CBB-128影子故价格细的经亲济含醒义及催应用淋：壤资刚源的共市场泼价格枣是已察知的田，且签相对防比较怜稳定沃，而桑影子端价格镜有赖孟于资炎源的潜利用茄情况彼，是脑未知热数，单随着庭企业绞生产我任务晌、产雹品结雷构等期情况袄的变村化而验发生乱变化枯。币影肝子价硬格是蚁一种绸边际睬价格未，说呜明在汉资源波得到级最优轨利用势的条璃件下挎，增风加单砖位资守源量轿可以兵增加合的收轿益。逢影子统价格伍是对着现有厉资源批实现民最大消效益闯时的钻一种刷估价骂，实腐际上乔是一秘种机牲会成栽本。逃企业匪可以坡根据灵现有训资源忠的影矛子价库格，墨考虑练经营彩策略只：如爪果影叼子价嚷格高没于市挥场价座格，花可考顶虑买艺进设蜓备，骗以扩毕大生茧产能劳力，柴否则移不宜窝买进赞；若灿某设帮备的薯租费倡高于付影子著价格寒，可诉考虑叛出租纪该设化备，砖否则加不宜棋出租29由互君补松嗽弛定色理，等可知亩如果乞某种脏资源饰未得撤到充疤分利诞用时躲（松宴弛变烘量不境为0），怨则其语影子竭价格储为0（对浇应变炼量为0）；难当资片源的鸟影子风价格诞不为0，表孟明该盗资源狮在生怒产中锹已耗侍费完犁毕。亮从惕影子折价格穴的含播义上蛮来考倍察检晃验数j=cj-厉∑aijyi，敏其中cj表示佳产品倍的价姑值，保∑aijyi是生诞产该斩产品窃所消吸耗的志各项犹资源跟的影柄子价绑格的梦总和绿，即盯产品腹的隐泊含成会本。矩当产扫品的辣价值况大于令隐含视成本戚时，躁表明橡生产饿该产吼品有混利；始否则衡就不幕安排款生产虎。这骆就是宰检验提数的泡经济丢含义猾。袋影嘉子价斥格反翠映了谱不同验的局慎部或险个体昆的增懒量可臣以获叉得不经同的倚整体吉经济爸效益侵。如偿果为齿了扩夏大生饺产能薯力，类考虑带增加虾设备票，就鼻应该怕从影继子价劳格高疾的设随备入枪手，君以较扮少的钓局部士努力映，获谜得较押大的月整体电效益意。30一般密来说必，对喇线性易规划雷问题双的求觉解是晓确定串资源焰的最唯优分案配方兵案，物而对此于对筋偶问虚题的董求解皮则是高确定统对资少源的浩恰当垂估价疗。这谷种估常价涉糟及到端资源啊的最娘有效场利用钉，如躁在一竹个大仍公司匠内部视，可肉借助蝴资源墙的影楚子价族格确饱定内轿部结描算价熟格，暗以便窜控制扮有限寸资源酸的使惩用和感考核出下属售企业药经营组的好旦坏。哨需要固指出费的是请，影旅子价伏格不样是固泥定不伶变的址，当处约束捷条件灿、产爱品利迁润等盒发生聋变化初时，佣有可煮能使监影子改价格装发生吸变化偿。另晃外，谋影子阻价格股说明签增加驼单位速资源匙量可画以增既加的晃收益呢，是妇指资甩源在束一定乞范围免内增悬加时容的情淹况，染当某悠种资良源的袖增加尖超过波了一限定的那范围涌，总骂利润张的增洁加量炕就不熊是按爪照影炕子价间格给元出的凭数值葱线性狭地增雕加。骡这将且在灵姨敏度败分析信中讨妈论31影子朴价格逢的应粪用举块例：抄例5：某集外贸伤公司台准备搭购进月两种各产品A1，A2。购愁进产魂品A1每件伶需要10元，厅占用5平方帮米的昼空间弟，卖靠出1件可堡获纯省利润3元；毙购进遍产品A2每件犯需要15元，座占用3平方静米的捞空间等，卖啦出1件可捆获纯荡利润4元。气公司嫌现有押资金14游00元，塘有43澡0平方宝米的确仓库暮空间帐存放识产品序。根驾据这喷些条泡件可傅以建吐立求锋最大歇利润塌的线蛙性规寨划模漂型：Ma阻x侮z劝=疏3肉x1+张4污x2s.独t.帆1施0冶x1+熔1宫5提x2≤爹14哲00坚5与x1+遮3鼠x2≤倾43些0套x1,粉x2≥032求解脸后得屠到最温优单虑纯形们表如栽下所许示艇：因此穗，最促优方朽案是蓬分别莲购进开两种哥产品50件和60件，半公司术的最末大利稿润为39晕0元。同时译，从牢表中跨也可圣以看著到，埋资金急的影佩子价绍格为11美/4霞5，即彩增加1元用忙于购桐买产凤品，偿可以房诚多获巴利润11绘/4域5元；渠仓库卵的影专子价漏格为1/浆9，即扛增加1平方肠米的汇仓库武空间杠，可床以多恰获利款润1/欧9元。33CBXBbx1x2x3x44x260011/9-2/93x15010-1/151/3-z-39000-11/45-1/9假设她公司征现在袋另有韵一笔决资金58炒5元，角准备织用于眉投资原。当鸽然，程这笔剃资金止用于御购买慕产品带或者愿增加取仓库辈空间休都可及以使汽公司厨获得转更多大的利荡润。嫂问题歉是应脉该如养何合浓理安伐排投拦资，脏使公把司能臂够获陪得更饶多的终利润写。已知浑增加1平方忌米的疤仓库裳空间准需要0.