北师大版九年级数学中考压轴题训练（二）

第1页（共1页）北师大版9年级中考压轴题训练（二）1．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，动点E和F同时从点A出发，点E以每秒2cm的速度沿A→D的方向运动，到达点D时停止，点F以每秒4cm的速度沿A→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点F运动x（秒）时，△AEF的面积为y（cm2），则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或53．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝ax2+bx+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥14．如图，正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为（）A．2+2 B． C． D．5．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠EDB＝∠EFB；④AD2＝FQ•AC．其中正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．46．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A． B． C． D．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AMAF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②FK＝3NK；③∠AFN＝∠HFG；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的关系式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式．②当S取得最大值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．11．在同一平面直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．（1）求A、B两点的坐标；（2）对于抛物线C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．12．在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）如图1，∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；（2）如图2，求证：BE＝CF；（3）如图3，连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点G，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形CEBD的面积最大？求出四边形CEBD的最大面积及此时P点的坐标；（3）坐标轴上是否存在点G，使得以A，C，G为顶点的三角形与△BCF相似？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．17．点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．（1）【操作发现】如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM＝PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系；．（直接写出结论即可）（2）【类比探究】如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明．（3）【拓展应用】如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB＝8，AD＝6，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．18．中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC＝3，斜边AB＝5，则中间小正方形的边长CD＝，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC＝90°，BP＝时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．（1）已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF＝BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB＝10，CF＝2时，直接写出线段DE的长．19．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．20．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在边AD，CD上，且∠ABE＝∠CBF，延长BE交CD的延长线于点G，H为BG中点，连结CH分别交BF，AD于点M，N．（1）求证：BF⊥CH．（2）当FG＝9时．①求tan∠FBG的值．②在线段CH上取点P，以E为圆心，EP为半径作⊙E（如图2），当⊙E与四边形ABMN某一边所在直线相切时，求所有满足条件的HP的长．22．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一动点（不与B、C重合），连结AE，将△ABE沿AE翻折，使点B落在点F处，延长EF交DC于点G，连结AG，过点E作EH⊥AE交AG的延长线于点H，连结CH．（1）观察猜想：∠EAG是否为定值，若为定值，则∠EAG＝°；（2）尝试探究：如图2，用等式表示线段CH与BE的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，连结BD，分别与AE、AG交于点M、N．若AB＝5，，求DN的长．23．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）若⊙M经过A，B，C三点，N是线段BC上的动点，求MN的取值范围．（3）点P是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若，求点P的坐标．

2022-2023学年北师大版9年级中考压轴题训练（二）1．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，动点E和F同时从点A出发，点E以每秒2cm的速度沿A→D的方向运动，到达点D时停止，点F以每秒4cm的速度沿A→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点F运动x（秒）时，△AEF的面积为y（cm2），则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，∴y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，AE＝2x，AF＝4x，∴y＝•2x•4x＝4x2，这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，AE＝4，此时y＝×4×8＝16，③当3＜x≤5时，y＝×4×（8+4+8﹣4x）＝40﹣8x，由此可排除选项C．故选：B．2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（3，0）与（﹣1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为3和﹣1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣3，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，如图，∵0＜n＜m，∴﹣m＞﹣m，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴直线y＝﹣n与y＝ax2+bx+c的交点的横坐标为﹣2，4，∴这关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，是﹣2或4，故选：A．3．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝ax2+bx+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1．如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n＝1，解得：n＝．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，故选：A．4．如图，正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为（）A．2+2 B． C． D．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，在△EDO与△FDM中，，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，∴OC＝2，∴，∴，∵OF+MF≥OM，∴，∴线段OF长的最小值为．故选：C．5．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠EDB＝∠EFB；④AD2＝FQ•AC．其中正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵FG⊥CA，∠ACB＝90°，四边形ADEF为正方形，∴∠FGA＝∠FAD＝∠ACD＝90°，AF＝AD，∴∠GAF+∠CAD＝90°，∠GFA+∠GAF＝90°，∴∠GFA＝∠CAD，在△GFA和△CAD中，，∴△GFA≌△CAD（AAS），∴GF＝CA，∵CB＝CA，∴GF＝CB，∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴GF∥CB，∴四边形CBFG是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形CBFG是矩形；∵△GFA≌△CAD，∴AC＝FG，故结论①正确；∵四边形CBFG是矩形，∴S四边形CBFG＝BF•CBF，S△FAB＝BF•CB，∴S△FAB：S四边形CBFG＝1：2，故结论②正确；∵四边形ADEF为正方形，四边形CBFG是矩形，∴∠DBQ＝∠QEF＝90°，∵∠DQB＝∠FQE，∠EDB＝180°﹣（∠DQB+∠DBQ），∠EFB＝180°﹣（∠QEF+∠FQE），∴∠EDB＝∠EFB，故结论③正确；∵四边形ADEF为正方形，四边形CBFG是矩形，∴∠ACD＝∠ADE＝∠FEQ＝90°，AD＝FE，∴∠CAD+∠CDA＝90°，∠EDB+∠CDA＝90°，∴∠CAD＝∠EDB，由结论③可得∠EDB＝∠EFB，∴∠CAD＝∠EFB，∴△CAD∽△EFQ，∴，∵AD＝FE，∴，∴AD2＝FQ•AC，故结论④正确；综上所述，正确结论为①②③④，∴正确结论个数为4．故选：D．6．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a﹣2b+c＞0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m≠）．正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，又可知b＝﹣a，∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），且对称轴为直线x＝，∴点（2，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），∴当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故③不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，且﹣（﹣）＝1，﹣＝2，∴y1＞y2，故选④正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝，a＝﹣b，∴当x＝时，抛物线y取得最大值ymax＝a+b+c＝b+c，当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠，∴ymax＞ym，故⑤正确，综上，结论①②④⑤正确，故选：C．8．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AMAF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②FK＝3NK；③∠AFN＝∠HFG；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有①②④．【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故③错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK，∴FK＝3NK，故②正确；方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GD交AM于点P，则根据勾股定理GD＝2，∵点P为对称中心，∴GP＝，又∵NK也是△AGP的中位线，∴NK＝，在Rt△FGN中，FN＝，∴FN＝2NK，∴FK＝3NK，故②正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN•FG＝×2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4，故④正确，故答案为：①②④．9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的关系式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式．②当S取得最大值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）．∵令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6．∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点，∴．∴S与m之间的函数关系式为；②∵∴当m＝3时，S有最大值为，此时PD＝m＝3把y＝3代入y＝﹣2x+6，得，∴，∴当m＝3时，S有最大值为，此时．（3）存在满足条件的点P，点P的坐标为或．理由如下：设P（t，6﹣2t），则C（0，3），D（t，0），所以|PD|＝|6﹣2t|，，，若|PD|＝|CD|，即，解得（舍去），所以点P；若|PD|＝|PC|，即，解得（舍去），所以点P；若|CD|＝|PC|，即，解得t＝0或t＝3，均不合题意，故舍去，所以点P的坐标为或．10．如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．【解答】（1）证明：如图1，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PD，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PD，∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△ABD∽△DCP；（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝5，由（2）知：△ABD∽△DCP，∴＝，即＝，∴CP＝，∴AP＝AC+CP＝8+＝，∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，∴△BAD∽△DAP，∴＝，即＝，∴AD2＝6×＝98，∴AD＝7，∵OE⊥AD，∴DE＝AD＝，∴OE＝＝＝，即点O到AD的距离是．解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，∵A，B，D，C四点共圆，∴∠DBM＝∠DCN，∴△DCN≌△DBM（AAS），∴CN＝BM，同理得：AM＝AN，∵AB＝6，AC＝8，∴AM＝DM＝7，∴AD＝7，由解法一可得：OE＝．即点O到AD的距离是．11．在同一平面直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．（1）求A、B两点的坐标；（2）对于抛物线C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝﹣3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝﹣1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；在C2的函数表达式为y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）∵点E、E′关于直线PD对称，∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，∴∠E′PD＝∠PDE′，∴PE′＝DE′，∴PE＝DE＝PE′＝DE′，即四边形PEDE′是菱形．当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝﹣x﹣3，∠ADO＝45°，设P（a，a2+2a﹣3），E（a，﹣a﹣3），∴DE＝﹣a，PE＝﹣a﹣3﹣a2﹣2a+3＝﹣a2﹣3a，∴﹣，解得a1＝0（舍去），a2＝，∴．（3）存在．∵AB的中点为（﹣1，0），且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，当AB为平行四边形的一边时，∴GQ∥AB且GQ＝AB，由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴GQ＝4，设G（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t＝﹣2，∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，∴G（﹣2，5），Q（2，5）；②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t＝2，∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），当AB为平行四边形的对角线时，设G（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2+2n﹣3），∴，解得m＝，n＝﹣2﹣或m＝﹣，n＝﹣2+，∴G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G（﹣2，5），Q（2，5）或G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）或G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．12．在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．【解答】（1）证明：如图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四边形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠EMF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；（2）如图②，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；如图③，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB＝AN＝2+2，在Rt△ABC中，BC＝AB＝2+2，∴AC＝AB＝4+2，∴CN＝AC﹣AN＝4+2﹣（2+2）＝2，在Rt△CMN中，CM＝CN＝2，∴BM＝BC﹣CM＝2+2﹣2＝2，在Rt△BME中，tan∠BEM＝＝＝，∴BE＝，∴①由（1）知，如图1，BE+CF＝BM，∴CF＝BM﹣BE＝2﹣．②由（2）知，如图2，由tan∠BEM＝，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE＝BM，∴CF＝BM+BE＝2+，综上所述，CF的长度为2﹣或2+．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．14．如图，P是正方形ABCD边BC上一个动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）如图1，∠BAP＝20°，直接写出∠AFE的大小；（2）如图2，求证：BE＝CF；（3）如图3，连接CE，G是CE的中点，AB＝1，若点P从点B运动到点C，直接写出点G的运动路径长．【解答】解：（1）∵∠BAP＝20°，∴∠DAP＝70°，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴∠DAP＝∠EAP＝70°，AD＝AE，∴∠BAE＝50°，AB＝AE，∴∠E＝∠ABE＝65°，∴∠AFE＝180°﹣70°﹣65°＝45°；（2）设∠BAP＝x，∴∠DAP＝90°﹣x，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴∠DAP＝∠EAP＝90°﹣x，AD＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2x，AB＝AE，∴∠E＝∠ABE＝45°+x，∴∠AFE＝180°﹣（90°﹣x）﹣（45°+x）＝45°；如图2，连接DF，DE，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝CD，∠CDB＝45°，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴DF＝EF，∠DFA＝∠AFE＝45°，∴∠DFE＝90°，∴∠FDE＝45°＝∠CDB，DE＝DF，∴∠CDF＝∠BDE，＝，∴△CDF∽△BDE，∴＝，∴BE＝CF；（3）如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，又∵G是CE中点，∴OG＝AE＝AD＝，∴点G在以O为圆心，为半径的圆上运动，∴点P从点B运动到点C，点G的运动路径长＝＝．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点G，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形CEBD的面积最大？求出四边形CEBD的最大面积及此时P点的坐标；（3）坐标轴上是否存在点G，使得以A，C，G为顶点的三角形与△BCF相似？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴，解a＝1，把a＝1和点A（1，0）代入y＝ax2+2x+c中，得c＝﹣3，∴抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3；（2）由（1），可知抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3，∴E（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．设直线BC的解析式y＝kx+b，把点B，C分别代y＝kx+b中，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，∵点P在线段BC上，点D在抛物线上，PD⊥x轴，∴设P（m，﹣m﹣3），则D（m，m2+2m﹣3）．∴PD＝﹣m2﹣3m．＝，∴当，四边形CEBD的面积最大，最大面积为，此时点P的坐标为；（3）存在，连接AC，BF，CF，如图所示，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴F（﹣1，﹣4），∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，，，，OC＝3，∴BC2+CF2＝BF2，∴△BCF为直角三角形．∵∠AOC＝90°，OA＝1，OC＝3，∴，∴△BCF∽△COA，∴当点G与点O重合时，△BCF∽△CGA，∴此时点G的坐标为（0，0），过点A作AG1⊥AC交y轴正半轴于点G1，如图所示，此时△BCF∽△COA∽△CAG1．∴，即，∴，∴，∴，过点C作CC2⊥AC交x轴负半轴于点G2，如图所示，此时△BCF∽△COA∽△G2CA，∴，即，∴G2A＝10，∴G2（﹣9，0），综上所述，点G的坐标为．16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝1，∴，解得b＝2，将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，可得﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0，解得c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将C（0，3），B（3，0）代入，可得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，如图，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线BC于点K，设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点K的坐标为（m，﹣m+3），∴MK＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵MH⊥x轴，OC⊥x轴，∴MH∥OC，∴∠OCN＝∠MKN，∠CON＝∠KMN，∴△OCN∽△MKN，∴，∴当最大时，，，∴点M的坐标为；（3）∵一次函数过点A（﹣1，0），∴，解得，∴点Q是一次函数图象上一点．∵点P为抛物线上一点，且在x轴上方，∴设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），﹣t2+2t+3＞0，∵四边形OAPQ为平行四边形，∴OA∥PQ，OA＝PQ＝1，分两种情况，当点P在点Q的左侧时：点Q的坐标为，∵OA∥PQ，∴点P与点Q的纵坐标相等，∴﹣t2+2t+3＝，解得t＝0或，当t＝0时，﹣t2+2t+3＝3，∴P（0，3），Q（1，3），当时，，∴，；当点P在点Q的右侧时：点Q的坐标为，∴﹣t2+2t+3＝，解得t＝2或，当t＝2时，﹣t2+2t+3＝3，∴P（2，3），Q（1，3），当时，，不合题意；综上可知，存在，P（0，3）、Q（1，3），或、，或P（2，3）、Q（1，3）．17．点P在四边形ABCD的对角线AC上，直角三角板PEF绕直角顶点P旋转，其边PE、PF分别交BC、CD边于点M、N．（1）【操作发现】如图①，若四边形ABCD是正方形，当PM⊥BC时，可知四边形PMCN是正方形，显然PM＝PN．当PM与BC不垂直时，判断确定PM、PN之间的数量关系；PM＝PN．（直接写出结论即可）（2）【类比探究】如图②，若四边形ABCD是矩形，试说明．（3）【拓展应用】如图③，改变四边形ABCD、△PEF的形状，使四边形ABCD内接于圆，其他条件不变，且满足AB＝8，AD＝6，∠EPF＝∠BAD＞90°时，求的值．【解答】（1）解：PM＝PN．理由如下：过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴，∵PG∥AB，PH∥AD，∴，∴，∴PM＝PN，故答案为：PM＝PN；（2）证明：如图，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴，∵PG∥AB，PH∥AD，∴，∴，∴；（3）解：如图，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，∵PG∥AB，PH∥AD，∴∠CPG＝∠CAB，∠CPH＝∠CAD，∴∠HPG＝∠DAB，∵∠EPF＝∠BAD，∴∠EPF＝∠GPH，即∠EPH+∠HPN＝∠EPH+∠GPM，∴∠HPN＝∠GPM，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠B+∠D＝180°，∴∠PGC+∠PHC＝180°，又∵∠PHN+∠PHC＝180°，∴∠PGC＝∠PHN，∴△PGM∽△PHN，∴①，∵PG∥AB，PH∥AD，∴，∴②，由①②可得，．18．中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC＝3，斜边AB＝5，则中间小正方形的边长CD＝1，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC＝90°，BP＝时，△PAB的面积为5．拓展延伸：如图③，已知∠MBN＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．（1）已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF＝BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB＝10，CF＝2时，直接写出线段DE的长．【解答】解：问题发现：如图①，连接BD，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∵图①中的四个直角三角形全等，∴AD＝BC＝3，∴CD＝AC﹣AD＝4﹣3＝1；∵BC⊥AC，∴S△ABD＝AD•BC＝×3×3＝，故答案为：1，．知识迁移：如图②，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，将△PCB绕点B沿逆时针方向旋转90°，得到△EAB，∵∠PBE＝90°，∠AEB＝∠CPB＝90°，∴∠PBE+∠AEB＝180°，∴AE∥PB，∵BE＝BP＝，∴S△PAB＝S△PEB＝BE•BP＝××＝5，故答案为：5．拓展延伸：（1）BE＝DE+GF，理由如下：如图③，作GH⊥BE于点H，∵BE⊥CD于点E，GF⊥CD于点F，∴∠GFE＝∠FEH＝∠GHE＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，EH＝GF，∵EF＝BE，∴GH＝BE，∵∠GHB＝∠BED＝∠ABC＝90°，∴∠GBH＝∠BDE＝90°﹣∠DBE，∴△GBH≌△BDE（AAS），∴BH＝DE，∴BE＝BH+EH＝DE+GF．（2）当点D在线段AB上，如图③，设EF＝BE＝x，∵CF＝2，∴CE＝x+2，∵BE2+CE2＝CB2，且CB＝AB＝10，∴x2+（x+2）2＝102，解得x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴EF＝BE＝6，CE＝6+2＝8，∵∠BED＝∠CEB＝90°，∠BDE＝∠CBE，∴△BED∽△CEB，∴＝，∴DE＝＝＝；当点D在线段BA的延长线上，如图④，设EF＝BE＝x，∵点F在线段EC的延长线上，且CF＝2，∴CE＝x﹣2，∴x2+（x﹣2）2＝102，解得x1＝8，x2＝﹣6，∴BE＝8，CE＝8﹣2＝6，∵△BED∽△CEB，∴＝，∴DE＝＝＝．综上所述，线段DE的长为或．19．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．【解答】解：（1）连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴OA⊥PA，∴直线PA为⊙O的切线．（2）EF2＝4OD•OP．证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OPA，∴△OAD∽△OPA，∴＝，即OA2＝OD•OP，又∵EF＝2OA，∴EF2＝4OD•OP．（3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3（三角形中位线定理），设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC＝90°，又∵AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝＝．∵OA2＝OD•OP，∴3（PE+5）＝25，∴PE＝．20．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝＝10，过点Q作QE⊥BC于E点，则sin∠ACB＝＝＝，∴＝，∴QE＝（10﹣m），∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，∴当m＝5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当∠FDQ＝90°时，F1（，8），当∠FQD＝90°时，则F2（，4），当∠DFQ＝90°时，设F（，n），则FD2+FQ2＝DQ2，即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，解得：n＝6±，∴F3（，6+），F4（，6﹣），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在边AD，CD上，且∠ABE＝∠CBF，延长BE交CD的延长线于点G，H为BG中点，连结CH分别交BF，AD于点M，N．（1）求证：BF⊥CH．（2）当FG＝9时．①求tan∠FBG的值．②在线段CH上取点P，以E为圆心，EP为半径作⊙E（如图2），当⊙E与四边形ABMN某一边所在直线相切时，求所有满足条件的HP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠G，∵H为BG的中点，∴CH＝GH，∴∠G＝∠HCG＝∠CBF，∴∠CFB+∠C