【人教A版】高中数学 第二章 数列章末知识整合 新人教A版必修5

第章数章知整新教A版必修5一、等差数列1．定义：－＝(∈N)a－＝(∈N，≥．nn2．通项公式：a＝＋－dn∈N)．3如数{}通项公式是a＝An＋(是无的常数那数{a一定nn是等差数列．（＋）4．等差数列前n项和式：S＝，2

2b2bn（－）Sna＋.5．如果数{的通项公式是S＝n

＋(是n无的常数，么数一定是等差数列．6.、、等差数{a为、的等差中2＝＋.7．在等差数列{a}中，＝＋－m)n∈N)n8．在等差数列{a}中，由＋n＝＋a＋＝＋，若＋＝2p＋＝.nqm9.在等差数列{a}中S－－构等差数列2(SS)＋S－S．kkkkkkkkk10．已知{a{}等差数列，{－}{ca，＋，{＋kb}(中为n数，k∈)仍是等差数列．11．已知}为差数列，若k，k，，，为差数列，则，，，，ak仍是差数列．12.若三个数成等差数列，则设三个数为ad，，＋，可简化计算．13．证明等差数列的两种方法．(1)定义：a－a＝d(∈N．n(2)等差中项2＝a＋a(∈N，≥2)．二、等比数列a1．定义：＝(∈N)或＝(∈N，n≥2)．aa2．通项公式：a＝(∈N)．a（1q）3．等比数列前n项和＝(≠1)S＝na(＝．1－q1－qn4．，，成比数为a、的比中项＝.5．在等比数列{a}中，＝×(∈N．n6．在等比数列{a}中，由＋n＝＋aa＝a，npq若＋＝a＝.n7.在等比数列{a}中－－构等比数列(S)(S－)(Skkkkkkk≠．8．已{{}等比数列，{}{b}中为为0的数∈Nnn仍是等比数列．9．已知}为比数列，若k，，，…为差数列，则ak，，，…，ak仍是比数列．a10．若三个数成等比数列，则设三个数为，a，，简化计．q11．证明等比数列的两种方法．a(1)利用定义：＝＝(n∈N，≥．aa(2)等比中项：＝a(n∈N，≥2)三、通项公式的求法数列的通项公式是数列的重要内容之一把列各项的性质集于一身用求通项的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项作差法、辅助数列法．累加法：数列的基本形式为a－＝()(n∈N)的解析式，而f(1)＋＋……＋nf()的和可求出．

累乘法：数列的基本形式为

aa

＝)(∈N)解析关系，而f(2)·f(n)的积可求出．），前项作差法：利用＝能合则合．）待定系数法数列有形如a＝＋k≠1)的系可待定系数法求()为等n比数列，再求得a.四、特殊数列的前n项利用等差、等比数列求和公式是最基本最重要的方法．数列的求和除记住一些公式外，还应注重对通项公式的分析与整理据其特征求和常用的方法技巧有分组求和法序相加法、错位相减法、裂项相消法等．分组求和法：有一类数列，既不是等差数列是比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可．倒序相加法是推导等差数的前n项公式时所用的方法是一个数列倒过来排列反)，再把它与原数列加，就可以得到个a＋n错位相减法是推导等比数的前n项公式时所用的方法种法主要用于求数列{·的前项，其中a}、分别是等差和等比数列．nn裂项相消法是解与组合思在数列求和中的具体应用项的实质是将数列中的每项通)分解，然后重新组，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．题型1求列的通项公式(一)观察法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的在联系，从而归纳出数列的通项公式．1234例1数1，，，，的通项公式()491625nA．＝(2n－1)·（＋）nB．＝(2n－＋（＋）nC．＝(2n＋＋（＋）4＋D．＝（＋）

112233解析：＝1＋，3＝＋，＝＋，…，44991616n∴＝(2n－＋.（＋）答案：(二)公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列公法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．例2已数{}为无穷数列若＋＝2a(n且∈N)，且a＝，＝，

4＝－，13123n－4＝－，13123n－求通项a.解析：a＋＝，n∴，，成等差数列．n又∵n且∈N，∴数列}为等数列，设首项为，差为.由可∴通项a＝＋n－1)×1＝＋2.(三)利用a的系前项关系式有两种形式：一种是与n的系式，记为S＝(n，它可由公式an，＝直求通项a，但要意n＝与n≥2两种情况能否一；另一种是2与a的系式，记为(，＝0，求它的通项公式a.nnn例3已数{}前n项和为S，＝，求数列a}的项公式．nnn3解析：＝1时，5a3∴＝，当≥2时，∵＝－，∴＝－，n∴－＝5(S－)．n即－＝5，na1a431∴}是首项a＝，公q－的等数列．44n－1∴＝＝(∈N)．4(四)累加法、累乘法有些数列虽然不是等差数列或比数列是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性，这时，可考虑利用累加或累乘法，结合等差、等比数列的知识解决．an＋例4已a＝1，＝，求；a(2)已知数列{a}中，＝，＝＋n(n≥2)，求数列的通项公式．nna解析：(1)当≥2时a＝···…·345n＋＝1××××…×＝

n（＋）.2而＝适合上式．1故}的通项公a＝n(n＋1)(∈N．2(2)∵＝＋(n≥2)，a－＝＝，－a＝，＝，…an

aaa2222naaa2222n＝.将这－1个等两边分别相加得a＝＋＋…＋，n（＋）∴＝＋＋＋…n＝(n≥2)．21×（1＋）当＝，＝＝1成立．2n（＋）∴＝(n)．2(五)构造法有些数列直观上不符合以上各种形式时可对其结构进行适当变形以利于使用以上各类方法．形如已知a，＝＋(为数形式均可用构造等比数列法，即＋x＝(an＋)，＋}等比数列，或a－＝(a－)，{a－}为比数列．nn例5设数列{a}是项为的项数列，且a－a＋·＝0(n∈N)，求{a}的nn通项．解析：a－＋a·a＝0.n∴

11－＝n1又＝，∴项1，差为1的等数列，11故＝，＝(∈N)an1若数列}满足a＝，＝a＋，.n分析根递推公式求出前几项再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．1解析：法一∵＝a＋1，n1∴＝a＋，1两式相减得－＝(－)令＝－(＝，，，)，311则＝－＝－1，b＝b，22211∴数列}是以为首项，公比的等比数列．22∴＝＋－)＋(a－)＋－)n＝＋＋＋＋121n1＝＋＝－(∈N)11－2

222n221S＝＝SS－＋n＋24.3222n221S＝＝SS－＋n＋24.31方法二设－＝(－)，n11则＝a－＋，n11根据＝a＋可得：－＋A＝，A2221∴－2＝－．n1令＝－，b＝＝－，＝，1∴数列}是以1为首项，公比的等比数列．21∵＝·＝－1)·

n－1，∴＝＋－

n－1(∈N)题型2数求和的方法数列中求前n项是数列运算的重要内容考题中涉及此部分与通项的综合问题于等差数列与等比数列可依据公式求其和于些具有特殊结构的非等差比列可转化为利用等差或等比数列前n项公式能求和的形式用法有公式法组法项、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律，确定恰当的解题方法．111例7等数{}中，a＝，差d＝，S为前项和求＋＋＋.SSS解析：等差数{a}的项＝，公差d＝，n（n－）n（n－）∴前n项S＝＋d3n＋×22＝＋2n(n)，1∴＝

1111n＋n（n＋）2n＋111∴＋＋＋1111111113＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋－＋(－)]＝－232432＋32（＋）（＋）n例8设列}满足a＋＋＋…3＝(∈N

)．(1)求数列}的通项；n(2)设＝，求数列}的n项和.an解析：∵＋＋

na＋…3＝，①3

3nnnn13nnnn1∴当≥2时，＋＋＋…＋

n－＝，②由①－②得3

11，∴＝，331在①中，令n＝1，得a＝，31∴数列}的通公式a＝()．3n(2)∵＝＝·3，a∴＝＋2×3＋3×3＋＋×3，∴＝＋2×3＋3×3…＋×3④由④－③得2＝n×3－＋＋＋＋)3（1－）＝×3－，1－3（n－）×33∴＝＋44题型3数的应用问题2S12例9(2013·广东卷)设数列a}前项和S.已知，＝－n－－，n33n∈N.(1)求的值；(2)求数列}的通项公式．1117(3)证明：对一切正整数，有＋＋…＋＜.a4n12(1)解析：依题意，＝－，又S＝a1，所以a＝3312(2)解析：当≥2时2＝－n－－n，33122(n－a－n－1)－n－－－1)，3312两式相减得2＝na－－1)－(3n－n＋－(2－－，33aa整理得n＋＝－(＋1)，即－＝，－＝，n＋21故数列项＝，公差为的差数列，所以＝＋n－1)×1＝n，当＝时，上式显然成立．所以＝(n∈N)．17(3)证明：当＝时＝＜；a411157当＝，＋＝1＋＝＜；aa444

34naaa434naaa411111当≥3时，＝＜＝－，an（－）n－11111111111此时，＋＋＋＝＋＋＋＋＋＜＋＋－434n4n111717＝＋＋