2023年中考数学应用题特训《二元一次方程（组）的应用》含答案解析

一元一次方程（组）的应用由实际问题抽象出二元一次方程（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．TOC\o"1-1"\h\u题型一行程问题 3题型二工程问题 4题型三销售问题 5题型四和倍差问题 6题型五方案问题 7题型六其他问题 8

题型一行程问题1．小红家离学校米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了分钟，假设小红上坡路的平均速度是千米时，下坡路的平均速度是千米时，若设小红上坡用了分钟，下坡用分钟，根据题意可列方程组为（

）A． B．C． D．【解答】解：设小红上坡用了分钟，下坡用分钟，根据题意得：．故选：B．【点睛】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键,同时要注意统一单位．2．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从甲地走到乙地需要分钟，从乙地走到甲地需要分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，则所列方程组正确的是（）A． B．C． D．【解答】解：设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，根据题意得，，故选：C．3．甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程为（

）A． B．C． D．【解答】设甲每秒跑米，乙每秒跑米∵相向而行第一次相遇时两人的总路程为300米，同向行走第一次相遇时，甲比以多走了300米∴故选：C．4．已知某桥长850米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒，设火车的速度为x米/秒，车长为y米，下面所列方程组正确的是（

）A． B．C． D．【解答】解：设火车的速度为每秒x米，车长为y米，由题意得：，故选：C．5．一艘船顺流航行，每小时行30km，逆流航行，每小时行25km，设船在静水中的速度为xkm/h，水的流速为ykm/h，根据题意可列方程组为(

)A． B．C． D．【解答】由题意可得，，故选：A．6．从甲地到乙地有一段长xkm的上坡与一段长ykm的平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．根据题意，可列方程组为（

）A． B． C． D．【解答】解：设坡路长xkm，平路长ykm，由题意得：，故选：C．7．甲、乙两地相距880千米小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20千米，设大客车每小时行x千米，小轿车每小时行y千米，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【解答】设大客车每小时行x千米，小轿车每小时行y千米，由题意得：，故选：D．8．一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度是xkm/h，第二天行军的平均速度是ykm/h，根据题意列的方程正确的是（

）A． B．C． D．【解答】解：根据题意可得：，故选：A．9．A，B两地相距80km．一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，船在静水中的速度是__________km/h．【解答】解：设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，由题意得，解得．∴船在静水中的速度为18km/h，故答案为：18．10．小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？【解答】解：设小明上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意，得：，解得：，答：小明上坡用了5分钟，下坡也用了5分钟．11．为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．【解答】解：设自行车路段的长度为米，长跑路段的长度为米，根据题意得：，解得：．答：自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米．12．张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶的平均速度为40千米/时．客车从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时．(1)求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？(2)第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？【解答】（1）解：设平路的距离为x千米，坡路的距离为y千米，，解得：，时，时答：客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时．（2）解：由题意可知：第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，平路时间不变，去时的上坡路变成回程的下坡路，因此下坡路时间减少0.9时，千米/时答：客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时．13．小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？【解答】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，由题意可得，解得，答：小北需要骑行5千米到达学校．14．小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【解答】设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，依题意得：，解得：．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．15．一辆汽车从地驶往地，前路为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了，普通公路和高速公路各是多少？【解答】解：设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）．根据题意，得，解得，答：普通公路长为60km，高速公路长为120km．16．一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？【解答】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据题意得，解得答：快车每秒行米，慢车每秒行米．17．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？【解答】解：（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，∴共设置补给站（422）÷5+1+1=10（个），故答案为：10（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据题意得：，解得：，∴42÷（29-1）=1.5（千米），答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米．（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站，∴5m=1.5n，∴m=n，∵m、n是正整数，∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米），当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米），当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去，综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．18．甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？【解答】（1）解：设甲同学每分钟跑x圈，乙同学每分钟跑y圈．依题意列方程组得：，解方程组得：，答：甲同学每分钟跑圈，乙同学每分钟跑圈．题型二工程问题1．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（

）A． B．C． D．【解答】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，根据题意得：．故选：D．2．春末夏初，正是枇杷成熟之际，某枇杷基地的枇杷大量成熟，于是安排了20个工人分三个小组分别对三种枇杷进行采摘，每人每天固定只采摘同一品种的枇杷，每天采摘三种枇杷的时间之比为，采摘三种枇杷的速度之比为．第一次采摘用了5天时间；第二次采摘时，从原来采摘种枇杷的工人中抽调了部分工人加入采摘种枇杷的小组中，由于不熟悉种枇杷采摘，新加入的工人的采摘速度为原有采摘种枇杷工人采摘速度的，第二次采摘也用了5天时间，两次采摘的三种枇杷的总量比为；第三次采摘时，需要采摘的枇杷总量是前两次总量的和的．为了加快采摘速度，决定在第二次的采摘人员安排的基础上（此时第二次采摘时新加入种枇杷采摘组的工人采摘速度和种枇杷采摘组其他工人一样），在总人数20人以外另再添加人去采摘种枇杷，新加入的人的采摘速度是原来采摘种枇杷工人速度的2倍，最终，第3次用了整数天完成采摘任务．则的值至少为_____________．【解答】解：设初始每组人数分别为a、b、c，①,则第一次采摘总量为10a＋50b＋10c，设第二次采摘时从第三组抽调x人到第二组，则第二次采摘总量为10a＋50b＋25x＋10＝10a＋50b＋10c＋15x且整理得a＋5b＋c＝4.5x②两次采摘总量为10a＋50b＋10c＋10a＋50b＋10c＋15x＝20a＋100b＋20c＋15x则第三次采摘总量为设第三次采摘时间为n天，则有③将①②代入③整理得④∵x、y、n为整数，∴当n＝1时，④可化为23x＝2y，x＝2，y＝23；当n＝2时，④可化为29x＝8y，x＝8，y＝29；当n＝3时，④可化为x＝y，x＝1，y＝1；当n＝4时，④可化为－5x＝16y，不符合题意；故答案为：1．3．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．【解答】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），∴，解得，，经检验，是所列方程的根，且符合题意，故乙队单独施工30天完成全部工程；（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,∴，解得，，故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，则∵，∴，∴，∴，∵，且，∴∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．故答案为：70．4．某公司要生产件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款元．(1)求A、B两厂单独完成各需多少天；(2)若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？【解答】（1）解：设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，根据题意得：，解得：，∴，．答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，根据题意得：，解得：，∴选择A厂每天需付的工程款为元，选择B厂每天需付的工程款为元．∴A厂单独完成需要费用为（元），B厂单独完成需要费用为（元）．设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产天，根据题意得：当，即时，，此时，当时，w取最小值，最小值为；当，即时，，此时，当时，w取最小值，最小值为．∵，∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为元．5．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份．(1)求、两点各有多少名医护人员？(2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？【解答】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人，依题意得：，分解得：答：A检测队有6人，B检测队有7人；（2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人，依题意得：，解得：，解得：，，由于从B对抽调部分人到A检测队，则故，答：从B检测队中抽调了2人到A检测队．6．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【解答】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，依题意得：，解得：．答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．（2）设招聘y名新工人，依题意得：，∴．∵，且n，y均为正整数，∴或或或，∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．7．一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．【解答】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资由题意可得：，解得：答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．（2）解：设租用小货车a辆，大货车b辆，依题意得：，∴．又∵a,b均为正整数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．8．阅读理解：为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天.(1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：

乙：根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：表示___________________，表示_______________；乙：表示___________________，表示_______________；(2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【解答】（1）解：甲：，乙：；甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量．（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为：，则，，答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．9．某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料，该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨，则甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？【解答】解：设生产甲种产品x件，乙种产品y件，恰好使两种原料全部用完，根据题意，得：，解得：答：生产甲种产品15件，乙种产品20件，恰好使两种原料全部用完．10．某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？【解答】解：设x人去挖土，y人运土，根据题意得：，解得：．答：有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走．11．西溪中学计划对新教学楼外墙进行粉刷装饰．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，学校总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司单独完成剩下的装饰工作还需要8天，学校总共需要支付9.2万元．(1)求甲、乙两个装饰公司平均每天分别收取的费用．(2)若设甲装饰公司每天完成的工作量为a，乙装饰公司每天完成的工作量为b，现在仅指定一家装饰公司独立完成施工，选择哪家公司的总费用最低，并求出最低费用．【解答】（1）解：设甲装饰公司平均每天收取万元，乙装饰公司平均每天收取万元，根据题意，可得：，解得：，答：甲装饰公司平均每天收取万元，乙装饰公司平均每天收取万元；（2）解：根据题意，可得：，解得：，经检验：是方程组的解，符合题意，∴甲装饰公司独立完成施工的总费用为：万元，乙装饰公司独立完成施工的总费用为：万元，答：乙公司的总费用最低，最低费用为万元．12．年月开始，璧山区开始创建全国文明城区，在枫香路的绿化工程中，甲、乙两个施工队承担了这路段的绿化工程任务，甲队单独做要40天完成．若乙队先做30天后，甲、乙两队合作再做20天恰好完成任务，(1)乙队单独做需要多少天能完成任务？(2)因工期需要，将此项工程分成两部分，甲做x天，乙做y天完成，其中x，y均为正整数，且，问甲、乙两队各做了多少天？【解答】（1）解：设乙工程队单独做需要x天完成任务，由题意，得，解得：x=100，经检验，x=100是原方程的根．答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；（2）解：根据题意得．整理得y=100-x．∵y＜60，∴100-x＜60．解得x＞16．又∵x＜19且为整数，∴x=17或18．当x=17时，y不是整数，所以x=17不符合题意，舍去．当x=18时，y=100-45=55．答：甲队实际做了18天，乙队实际做了55天．13．西安地铁“十五号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨．10吨的卡车12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．(1)求该车队有载重量为8吨．10吨的卡车各多少辆？（请用二元一次方程组的知识解答）(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【解答】（1）解：设该车队有载重量为8吨的卡车辆，载重量为10吨的卡车辆，依题意得：，解得：，答：该车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．（2）解：设购进载重量为8吨的卡车辆，则购进载重量为10吨的卡车辆．依题意得：，解得：，则可取的最大值为2，答：最多购进载重量为8吨的卡车2辆．14．甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？【解答】解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得：，解方程组得：，答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．15．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若甲、乙两工程队合做20天可完成；若让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．(1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2)如果甲工程队施工每天需付施工费10000元，乙工程队施工每天需付施工费26000元，此项工程若由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，则甲工程队至少要独做多少天，才能使施工费不超过680000元？【解答】（1）解：设甲队单独完成此项工程需x天，由题意得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∵，∴乙工程队单独完成此项工程需要30天，答：甲队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．（2）解：设甲工程队要独做a天，乙工程队做了b天，由题意得：，整理得：a＋3b＝60，∴b＝20−a，∵施工费不超过680000元，∴10000（a＋b）＋26000b≤680000，∴10000（a＋20−a）＋26000（20−a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程队至少要独做20天．16．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【解答】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：，解得：．答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．17．草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．(1)求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？(2)该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．【解答】（1）解：设甲型号的割草机每小时割草x亩，乙型号的割草机每小时割草y亩．根据题意得：，解得：．答：甲型号的割草机每小时割草6亩，乙型号的割草机每小时割草8亩．（2）设租用m台甲型割草机，n台乙型割草机．根据题意得：6m+8n＝54，化简得：3m+4n＝27，∴m＝9n．∵m、n均为正整数（两种都要租，m、n均不能为0），∴或．答：可以租用5台甲型割草机，3台乙型割草机；或租用1台甲型割草机，6台乙型割草机．题型三销售问题1．被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，于2020年通过国家验收正式开放运行，这是南仁东教授率团队历时20多年，从追赶到建成了世界最大且最灵敏的射电望远镜．为进一步了解这一科技创举，班级计划购买《南仁东传》和中国天眼模型．若购买1本《南仁东传》和1个中国天眼模型需要860元，班级拿出2020元购买了7本《南仁东传》和2个中国天眼模型．若设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，则可列二元一次方程组为（

）．A． B． C． D．【解答】解：设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，由题意得：，故选A．2．疫情当前，口罩非常紧俏，某药店进货N95口罩和普通医疗口罩两种口罩共8000个惠民销售，已知15个普通医疗口罩与4个N95口罩的价格相同，3个N95口罩比5个普通医疗口罩贵2.5元．(1)求普通医疗口罩和N95口罩的单价分别是多少？(2)设进货N95口罩个，两种型号口罩的销售总价为元．①若两种型号口罩的销售总价不低于5400元，则至少进货N95口罩多少个？②请写出与之间的函数关系式；若根据实际需求，进货的普通医疗口罩不少于5000个，则该药店这一批口罩的销售总价最多是多少元？【解答】（1）设普通医疗口罩每个元，N95口罩每个元，根据题意得：，解得，∴普通医疗口罩每个0.4元，N95口罩每个1.5元．（2）①由题意得：，解得，∴至少进货N95口罩2000个．②，∵，∴，∴当时，（元），∴该药店这一批口罩的销售总价最多为6500元．3．北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元(1)求A，B两种品牌足球的单价；(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？【解答】（1）解：设A.，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，根据题意.，得，解得，答：A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；（2）解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，根据题意.，得，解得，∵a为整数，∴所以共有8种方案4．某文教用品商店欲购进两种笔记本，若购进本种笔记本与本种笔记本花元；若购进本种笔记本与本种笔记本花元．(1)求两种笔记本每本的进价分别为多少元？(2)若该商店种笔记本每本售价元，种笔记本每本售价元，准备购进两种笔记本共本，且这两种笔记本全部售出后总获利超过元，则最多购进种笔记本多少本？【解答】（1）解：设种笔记本进价为元，种笔记本进价为元，根据题意，得，解得：，答：种笔记本进价为元，种笔记本进价为元；（2）解：设购进种笔记本本，则，解得：，∵为正整数，∴，答：最多购进种笔记本本.5．某文教用品商店欲购进两种文具盒，若购买20个种文具盒和30个种文具盒共需1300元，买30个种文具盒和20个种文具盒共需1200元．(1)求两种笔记本每本的进价分别为多少元？(2)若该商店种文具盒每个售价24元，种文具盒每个售价35元，准备购进两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进种文具盒多少个？【解答】（1）解：设每本种笔记本的进价为元，每本种笔记本的进价为元，依题意得：，解得：，答：每本种笔记本的进价为20元，每本种笔记本的进价为30元；（2）解：设购进种笔记本本，则购进种笔记本（）本，依题意得：，解得：，∵为正整数，∴的最大值为19．答：最多购进种笔记本19本．6．为了养成学生良好的卫生习惯，学校决定采购一批某品牌A、B两种型号洗手液，经市场调查发现，若购买1个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需40元，若购买2个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需50元．(1)求A、B两种型号的洗手液的单价各是多少元；(2)学校购买两种品牌的洗手液共350瓶，总费用不超过4000元，那么至少需要购买A型号的洗手液多少瓶？【解答】（1）设A型号洗手液的单价是x元，B型号洗手液的单价是y元，依题意得：，解得：．答：A型号洗手液的单价是10元，B型号洗手液的单价是15元．（2）设购买A型号的洗手液m瓶，则购买B型号的洗手液瓶，依题意得：，解得：．答：至少需要购买A型号的洗手液250瓶．7．2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买，两种冬奥会纪念品，若购进种纪念品20件，种纪念品10件，需要2000元．若购进种纪念品10件，种纪念品8件，需要1150元．(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件种纪念品可获利润30元，每件种纪念品可获利润20元．设购进种纪念品件，请求出总利润最高时的进货方案．【解答】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意可知：，解得：．答：购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元．（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意可得：，解得：．销售总利润．∵∴w随a的增大而增大∴当时，获得利润最大，最大利润（元）．答：当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元．8．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进两种类型的头盔，已知购进3个类头盔和4个类头盔共需288元；购进6个类头盔和2个类头盔共需306元．(1)两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设类头盔每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．【解答】（1）解：设类头盔每个的进价是元，类头盔每个的进价是元，根据题意得：，解得，答：类头盔每个的进价是36元，类头盔每个的进价是45元；（2）解：根据题意得：∵，∴当时，有最大值，最大值为2048，∴关于的函数解析式为，最大利润为2048元．9．新冠抗疫物资供应至关重要，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售只型和只型的利润为元，销售只型和只型的利润为元．(1)求每只型口罩和型口罩的销售利润；(2)该药店计划一次性购进两种型号的口罩共只，其中型口罩的进货量不超过型口罩的进货量的倍，设购进型口罩只，这只口罩的销售总利润为元．①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②药店购进型，型口罩各多少只，才能使销售总利润最大?【解答】（1）解：设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元根据题意得：解得答：每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元（2）解：①根据题意得，化简得：；根据题意得解得∴②∵，∴随的增大而减小∵为正整数∴当时，取最大值，则，∴药店购进型口罩只，型口罩只，才能使销售总利润最大10．在新冠病毒防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：项目购进数量（件）购进所需费用（元）酒精消毒液测温枪第一次第二次(1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？(2)公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润．【解答】（1）解：设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元，∴，解方程组得，，∴酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元．（2）解：两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，∴，即，利润为，∵，随的值增大而增大，且有，∴当时，有最大值，最大值为：元，∴该公司销售完上述件商品获得的最大利润元．11．盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒4瓶，B种酒4瓶；乙盲盒中装了A种酒2瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件280元，乙盲盒的成本价为每件200元．请计算A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元？【解答】解：设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，由题意得：，解得：，答：A种酒的成本价为每瓶50元，B种酒的成本价为每瓶20元．12．某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润（元）与甲种羽毛球进货量（筒）之间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【解答】（1）解：设甲种羽毛球每筒的售价为元，乙种羽毛球每筒的售价为元，根据题意可得，解得，答：甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．（2）解：若购进甲种羽毛球筒，则乙种羽毛球为筒，根据题意可得：，解得，由（1）知利润，，随的增大而增大，且，又为整数，当时，最大，，答：当为78时，所获利润最大，最大利润为1390元．13．“冰墩墩”2022年北京冬奥会的吉祥物，深受人们的喜爱．某纪念品商店为了抓住商机，决定购进冬奥会吉祥物“冰墩墩”，若购进A种型号“冰墩墩”4件，B种型号“冰墩墩”2件，共需要400元；若购进A种型号“冰墩墩”8件，B种型号“冰墩墩”6件，共需要1100元．(1)求购进A，B两种型号的“冰墩墩”每件各需要多少元？(2)若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种型号的“冰墩墩”，考虑到市场需求，要求购进A种型号的“冰墩墩”的数量不少于B种型号的“冰墩墩”数量的6倍，且少于B种型号的“冰墩墩”数量的8倍，设购进B种型号的“冰墩墩”数量为a件，则该商店有几种进货方案？(3)在（2）的条件下，若每件A种型号的“冰墩墩”的售价为55元，每件B种型号的“冰墩墩”的售价为190元，该商店选用哪种进货方案获得利润最大，最大利润是多少？【解答】（1）设A种型号“冰墩墩”的单价为x元/件，B种型号“冰墩墩”的单价为y元/件，依题意得：，解得：．答：A种型号“冰墩墩”的单价为25元/件，B种型号“冰墩墩”的单价为150元/件．（2）设购进B种型号的“冰墩墩”数量为a件，则购进A种型号的“冰墩墩”数量为件，依题意得：，解得：．又∵a为整数，∴a可以为29，30，31，32，33,∴该商店共有5种进货方案，方案1：购进A种型号“冰墩墩”226件，B种型号“冰墩墩”29件；方案2：购进A种型号“冰墩墩”220件，B种型号“冰墩墩”30件；方案3：购进A种型号“冰墩墩”214件，B种型号“冰墩墩”31件；方案4：购进A种型号“冰墩墩”208件，B种型号“冰墩墩”32件;方案5：购进A种型号“冰墩墩”207件，B种型号“冰墩墩”33件．（3）设全部销售完获得的利润为w元，则．∵，∴w随a的增大而减小，∴当时，w取得最大值，最大值．答：当购进A种型号“冰墩墩”226件，B种型号“冰墩墩”29件时获得利润最大，最大利润是7940元．14．五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．(1)求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？(2)根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？【解答】（1）设采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是，元，根据题意得，，解得：答：采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元．（2）设采摘草莓每公斤应降价元，根据题意，得：，解得，（舍），∴．答：采摘草莓每公斤应降价6元．15．我校为打造智慧校园，计划购进希沃和鸿合两种不同的教学一体机，根据市场调查发现，若购买希沃2台、鸿合1台，共需资金5万元；若购买希沃1台、鸿合3台，共需资金7万元．(1)求每台希沃和鸿合教学一体机各多少万元？(2)若我校计划购进教学一体机共20台，其中希沃一体机的数量不大于鸿合一体机的数量，学校至多能够提供资金万元，通过计算说明学校共有哪几种购买方案？【解答】（1）解：设每台希沃一体机x万元，鸿合教学一体机y万元，则

解得答：每台希沃一体机万元，鸿合教学一体机万元．（2）设希沃一体机m台，鸿合教学一体机台，则

解得．∴或9或10∴有三种方案：方案一、希沃一体机8台，鸿合教学一体机12台，方案二、希沃一体机9台，鸿合教学一体机11台，方案三、希沃一体机10台，鸿合教学一体机10台．16．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．(2)该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．(3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是元，元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．【解答】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意得，，解方程组得，，∴“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元．（2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意得，，整理得，，∵、为正整数，∴或或，∴专卖店共有种采购方案．（3）解：当，时，利润为：（元）；当，时，利润为：（元）；当，时，利润为：（元）；∵，∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组与销售，利润的综合问题，掌握题意的数量关系列方程，判断最大利润，选择合适的方案是解题的关键．题型四和倍差问题1．在学校组织的图书跳蚤市场上，小明先以5元1本的价格买了x本书，后来同学们进行促销活动，小明又以1元2本的价格买了y本书，最后小明发现自己买了15本书，共花去43元，则可列方程组（

）A． B．C． D．【解答】解：根据题意，得．故选：A．2．1号仓库和2号仓库共存粮400吨，现从1号仓库运出存粮的60%，从2号仓库运出存粮的40%，结果1号仓库和2号仓库所余粮食之比是2：1，则1号仓库与2号仓库原来各存粮多少吨？设1号仓库和2号仓库原来各存粮x吨、y吨，下列方程组正确的是（）A． B．C． D．【解答】解：设1号仓库和2号仓库原来各存粮吨、吨，由题意得，．故选：B．3．在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各__只？【解答】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡，依题意得：，∴．又∵x，y，均为自然数，∴或或或，∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只．故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．4．某校购新书本，共付元，其中科技书每本元，文艺书每本元，则科技书买了_____本，文艺书买了______本．【解答】解：设科技书买了x本，文艺书买了y本，则由题意可得：，解之可得：，故答案为：180；140．5．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外人们的喜爱，在奥运期间非常畅销．某官方旗舰店销售的“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为大套装和小套装．已知购买3个小套装和购买2个大套装的价格一样，5个小套装和3个大套装共570元．求两种套装的单价分别是多少元？【解答】解：设大套装单价为x元，小套装单价为y元，则，解得：答：大套装单价为元，小套装单价为元，6．乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，求甲、乙两组原来各有多少人？（列方程组解决问题）【解答】解：设甲组原有x人，乙组原有y人，可列方程组为，解得，答：甲组原有人，乙组原有人．7．为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个垃圾箱共需180元．(1)求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？(2)根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【解答】（1）解：设一个温馨提示牌x元，一个垃圾箱y元，依题意得：，解得：，答：一个温馨提示牌30元，一个垃圾箱120元；（2）设购买温馨提示牌a个，垃圾箱（60﹣a）个，总费用为w元，则：a≤（60﹣a），解得：a≤20，，即：，∵，∴W随a的增大而减小，∴当a＝20时，W取最小值，，此时：垃圾箱：60﹣20＝40（个），答：应购买20个温馨提示牌和40个垃圾箱才能使得总费用最少，最少费用为5400元．8．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某冬奥会纪念品专卖店今年3月购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多70元，购买8个“冰墩墩”和15个“雪容融”的金额相同．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；(2)若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是200元、100元．该专卖店计划用不超过3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买）40只，请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．【解答】（1）解：设：每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，依题意得：，解得：，∴每个“冰墩墩”的进价是150元，每个“雪容融”的进价是80元．（2）解：设购买m件“冰墩墩”，则购买件“雪容融”，∵投入的费用不超过3500元，∴，解得，∴最多可购买4件“冰墩墩”；∵m的可以取1、2、3、4，设：全部售出后获得的利润是w元，∴，∴当时，，当时，，当时，，当时，，∴时，w取最大值，最大值为（元），∵，∴购买“冰墩墩”4件，购买“雪容融”36件，商品全部售出后获得的最大利润是920元．9．植树节期间，学校欲购进A、B两种树苗，若购入A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购入A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．(1)求购进A、B两种树苗的单价；(2)若学校准备用不多于8000元的金额购进两种树苗共30棵，求B种树苗最多可购进多少棵？【解答】（1）解：设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，根据题意得：，解得：．答：购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵．（2）解：设需购进B种树苗a棵，则购进A种树苗(30-a)棵，根据题意得：200(30-a)+300a≤8000，解得：a≤20．∴B种树苗最多购进20棵．10．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．建兰中学欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？(3)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【解答】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，依题意得：，解得：，答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）解：设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，依题意，得：10a＋25b＝2500，∴2a＋5b＝500，∴，答：这批消毒液可使用5天．（3）解：设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，依题意，得：200m＋500n＋10（m＋n）＝8400，∴，∵m，n均为正整数，∴和，∵要使分装时总损耗10（m＋n）最小，∴，即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．11．仁寿城区某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元？(2)某公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？(3)为了提高营业额，除了A、B两种型号，第三周、第四周专卖店新增了售价为12万元的C种型号的汽车．据统计，第三周第四周总营业额达到380万元，且A、B两种型号共卖出10辆，C不少于12辆，则A型车至少卖出了几辆？【解答】【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元．(2)2种购车方案，方案1：购买A型车2辆，B型车4辆；方案2：购买A型车3辆，B型车3辆．(3)A型车至少卖出了3辆．【解答】（1）解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，依题意得：，解得：．答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元．（2）解：设购买A型车a辆，则购买B型车（6−a）辆，依题意得：，解得：2≤a≤．∵a为整数，∴a可以取2，3，∴共有2种购车方案，方案1：购买A型车2辆，B型车4辆；方案2：购买A型车3辆，B型车3辆．（3）解：设A型车卖出了a辆，则B型车卖出了（10−a）辆，依题意，得：，解得：a≥3．答：A型车至少卖出了3辆．12．某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进甲、乙两种型号的节能灯，已知甲型号节能灯的单价比乙型号节能灯的单价贵5元，用1080元购买甲型号节能灯恰好与用900元购买乙型号节能灯的盏数相同．(1)甲、乙两种型号的节能灯的单价各是每盏多少元？(2)李老师购买这两种节能灯共60盏，且投入的经费不超过1700元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？(3)根据“节能减排”要求，为了更省电，学校对原灯泡进行了更换，发现李老师买的节能灯不够，又派出刘老师去购买，且两种型号的节能灯都要买，她一共花了300元，你知道她甲、乙两种型号的节能灯各购买多少盏吗？【解答】（1）解：设乙型号节能灯的单价为元，则甲型号节能灯的单价为（+5）元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，此时+5=30，答：则甲型号节能灯的单价为30元，乙型号节能灯的单价为25元.（2）解：设购买甲型号节能灯盏，则购买乙型号节能灯(60－a)盏，根据题意，得30a+25(60-a)≤1700，解得：a≤40，答：最多可购买甲型号节能灯40盏.（3）解：设购买了盏甲型号节能灯，盏乙型号节能灯，根据题意，得30m+25n=300,故.因为m，n均为正整数，所以，.答：购买5盏甲型号节能灯，6盏乙型号节能灯.13．某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要550元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要900元．(1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？(2)该茶叶店准备用不超过3500元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共20斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？(3)在（2）的条件下，已知该茶叶店销售甲型茶叶1斤可获利元，销售乙型茶叶1斤可获利元，若20斤茶叶全部售出的最大利润为792元，请直接写出的值______．【解答】（1）解：设甲种茶叶每斤是x元、乙种茶叶每斤是y元，根据题意得：，解得，答：甲种茶叶每斤是200元、乙种茶叶每斤是150元；（2）设购买乙种茶叶a斤，则购买甲种茶叶（20-a）斤，根据题意得：，解得10≤a≤12，∵a为整数，∴a=10，11，12，故该茶店有3种采购方案，方案一：购买甲种茶叶10斤，乙种茶叶10斤；方案二：购买甲种茶叶9斤，乙种茶叶11斤；方案三：购买甲种茶叶8斤，乙种茶叶12斤．（3）设茶叶全部售出的利润为w元，根据题意得：w=3m（20-a）+4ma=ma+60m，∵m＞0，∴w随a的增大而增大，∴a=12时w有最大值，即12m+60m=792，解得m=11．14．为了更好地引导在校学生知善、行善、扬善、乐善，并逐步实现“日行一善”到“善行一生”，某校计划组织师生共368人参加“日行一善”活动，若租用7辆大型客车和5辆中型客车恰好全部坐满，已知每辆大型客车的乘客座位数比中型客车的乘客座位数多20个．(1)求每辆大型客车和每辆中型客车的乘客座位数；(2)由于最后参加活动的人数增加了50，学校决定调整租车方案，在租用车辆总数不变的情况下，为了保证每一位参加活动的师生都有座位，求租用中型客车数量的最大值．【解答】（1）解：设每辆中型客车的乘客座位数是x个，大型客车的乘客座位数是y个，根据题意可得：，解得：，答：每辆中型客车的乘客座位数是19个，大型客车的乘客座位数是39个；（2）解：设租用a辆中型客才能保证每一位参加活动的师生都有座位，则，解得：，为整数，符合条件的a的最大整数为2，租用中型客车最多2辆．15．某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元．(1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？(2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？(3)哪种方案获利最大？最大利润是多少？【解答】（1）解：设空调采购了台，电风扇采购了台，根据题意得：，解得：，答：空调的每台采购价为2000元，电风扇每台采购价为100元．（2）解：设购进了台空调，电风扇购进了台，由题意得：，解得：，因为取整数解10，11，12…20，共11个，所以进货方案有11种．（3）解：设利润为，则，即，∵，∴随的增大而增大，∴当取最大值时，有最大利润，即当购进空调20台，电风扇30台时，最大利润为：元．16．某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买4个足球和3个篮球共需750元，购买3个足球和5个篮球共需920元．(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元？(2)根据该中学的实际情况，需从晨光体育用品商店一次性购买足球和篮球共90个，要求购买足球和篮球的总费用不超过8980元．这所中学最多可以购买多少个篮球？【解答】（1）解：设足球单价为x元、篮球单价为y元，根据题意得：，解得：，答：足球单价90元、篮球单价130元．（2）解：设购买篮球m个，则买足球（90−m）个，根据题意得：130m＋90（90−m）≤8980，解得：m≤22，∵m为整数，∴m最大取22，答：这所中学最多可以买22个篮球．17．凤凰单丛（枞）茶，是潮汕的名茶，已有九百余年的历史．潮汕人将单丛茶按香型分为黄枝香、芝兰香、桃仁香、玉桂香、通天香、鸭屎香等多种．清明采茶季后，某茶叶店准备购买通天香和鸭屎香两种单丛茶进行销售，已知若购买4千克通天香单丛和3千克鸭屎香单丛需要2500元，购买2千克通天香单丛和5千克鸭屎香单丛需要2300元．(1)求通天香、鸭屎香两种茶叶的单价分别为多少元？(2)茶叶专卖店计划购买通天香、鸭屎香两种单丛茶共80千克，总费用不多于26000元，并且要求通天香茶叶数量不能低于10千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？【解答】(1)解：设通天香茶叶每千克为元，鸭屎香茶叶每千克为y元，根据题意，得，解得∴通天香茶叶每千克为400元，鸭屎香茶叶每千克为300元．(2)解：设购买通天香茶叶m千克，鸭屎香茶叶（80－m）千克，总费用w元，根据题意，得，解得，∵，∴m的取值范围是：，总费用，∵，∴随着的增大而增大，∴当m＝10时，w最少，w最少＝1000＋24000＝25000（元），∴通天香茶叶购进10千克，鸭屎香茶叶购进70千克，总费用最少为25000元．18．物流公司用A型车和B型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨?(2)该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆且A型车数量少于B型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费．【解答】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意得：，解得：．答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．（2）依题意得：3a+4b=80，∴b==20-．∵a，b均为正整数，∴解得：或或或或或，∵a<b，∴共有2种租车方案，方案1：租用4辆A型车，17辆B型车；方案2：租用8辆A型车，14辆B型车；方案1所需租金为100×4+120×17=2440（元）；方案2所需租金为100×8+120×14=2480（元）；∵2480>2440，∴最省钱的租车方案是：租A型车4辆，B型车17辆，答：租A型车4辆，B型车17辆，最少租车费是2440元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．题型五方案问题1．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用180元购买A、B、C三种奖品（三种都买），A种每个10元，B种每个20元，C种每个40元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，共有几种购买方案（

）A．8种 B．9种 C．10种 D．11种【解答】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得，整理得：，∵m、n都是正整数，，∴，2，3，4，5，6；当C种奖品个数为2个时，根据题意得，整理得：，∵m、n都是正整数，，∴，2，3，4；∴有种购买方案，故C正确．故选：C．2．腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为，每袋夏威夷果和每袋纸皮核桃的成本价之比为．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是______元．【解答】解：设甲的成本价为x元/袋，由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”可得，，解得，所以，甲的成本价为114元/袋，设纸皮核桃的成本价为a元/袋，则夏威夷果的成本价为2a元/袋，腰果的成本价为4b元/袋，则开心果的成本价为5b元/袋，∴，即∴乙每袋成本价=，∵第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%，∴设甲乙总成本为y元，则有：，解得，，即甲乙总成本为7900元，设售出甲m盒，乙盒，则有：，解得，，即1袋开心果成本价为元，第二周：甲成本为元，乙成本=元，则第二周总成本价为：（元）故答案为：32203．现有球迷150人欲租用客车去观看足球赛，有A，B，C三种型号客车若干可供租用，载客量分别为50人，30人，10人，要求租用的车辆，每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有___________种．【解答】解：设B、C两种车分别租a辆、b辆，①当A型号租用0辆时，则有：，．又∵a，b是整数，则，或，或，或，或，或，；②当A型号租用1辆时，则有：，，又a，b是整数，则，或，或，或，；③当A型号租用2辆时，则有：，，又a，b是正整数，则，或，；综上所述，共有12种．故答案为：12．4．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：AB进价（万元/套）3售价（万元/套）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？【解答】解：设购进A种多媒体x套，B种多媒体y套，根据题意得：，解得：，答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套．5．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：日期款丝巾（条）款丝巾（条）销售总额（元）12月10日46216012月11日683040问：两款丝巾的销售单价分别是多少？(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．【解答】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意，可得，解得，经检验，是该方程的解，∴，∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意，可得，解得，∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意，可得，整理，可得，∴，∵均为正整数，∴；；，即有三种进货方案：方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，则利润为：元；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，则利润为：元；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，则利润为：元；综上所述，选择方案一利润最高．6．有、两种型号呼吸机，若购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元．若购买台型呼吸机和台型呼吸机共需万元．(1)求、两种型号呼吸机每台分别多少万元？(2)采购员想采购、两种型号呼吸机共台，预计总费用低于万元，请问型号呼吸机最多购买几台？【解答】（1）解：设型呼吸机每台万元，型呼吸机每台万元，，解方程组得，，∴型呼吸机每台万元，型呼吸机每台万元．（2）解：设型呼吸机购买了台，则型呼吸机购买了台，∴，解不等式得，，∴型呼吸机最多可以购买台．7．列一元一次方程（组）解应用题．入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨万元，B种物资每吨万元．(1)求A，B两种物资各购进了多少吨？(2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？【解答】（1）解：设购进A种物资x吨，则购进B种物资吨，根据题意得，解得，则，即购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨，答：购进A种物资60吨，则购进B种物资20吨；（2）设租用大货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得，解得，即租用大货车5辆，租用大货车4辆．答：租用大货车5辆，租用大货车4辆．8．商店有甲、乙两种型号的足球，已知购买2个甲型号足球和5个乙型号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元．(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元？(2)某学校在该店一次性购买甲、乙型号足球共100个，总费用为5900元，这所学校购买了多少个甲型号足球？【解答】（1）解：设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格为y元，依题意得：，解得：．答：甲型号足球的价格为50元、乙型号足球的价格为80元；（2）解：设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，依题意得：，解得：．答：这所学校购买了70个甲型号足球．9．某校准备组织七年级名学生参加北京夏令营，已知用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【解答】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据题意，得，解得，答：每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生．（2）根据题意，得，，、均为非负整数，，，租车方案有种．方案：小客车辆，大客车辆；方案：小客车辆，大客车辆；方案