高中数学北师大版一学案：第二章 2.2 函数的表示法（二） 2.3 映射

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．2函数的表示法（二)2．3映射学习目标1.会用解析法及图像法表示分段函数.2。给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．知识点一分段函数思考设集合A＝R，B＝［0,＋∞）．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x;若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义,这一对是不是函数？梳理（1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．（2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是________．(3)作分段函数图像时,应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．知识点二映射思考设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？梳理映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x，B中总有________的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f:A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f:x→y。函数一定是映射，映射不一定是函数．类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2eq\r（2)cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分,令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图像．反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图像也需要分段画．跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里）,票价2元；(2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．类型二研究分段函数的性质eq\x(命题角度1给x求y）例2已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1，x≤－2,，x2＋2x，－2〈x<2,,2x－1,x≥2.))试求f（－5)，f（－eq\r(3)），f（f（－eq\f(5,2））)的值．引申探究例2中f(x）解析式不变，若x≥－5,求f（x)的取值范围．反思与感悟分段函数求函数值的方法（1)确定要求值的自变量属于哪一区间．（2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值．跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋4,x≤0,,x2－2x，0<x≤4,，－x＋2,x〉4.)）（1）求f(f（f(5)））的值；(2)画出函数f(x)的图像．eq\x（命题角度2给y求x）例3已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x,x≤2，,x2＋2，x>2.）)(1)若f（x0）＝8,求x0的值；(2）解不等式f（x)〉8.反思与感悟已知函数值求x取值的步骤(1）先对x的取值范围分类讨论．（2)然后代入到不同的解析式中．（3）通过解方程求出x的解．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．(5）若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．跟踪训练3已知f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2，－1≤x≤1，,1,x>1或x〈－1.）)(1）画出f（x）的图像；(2)若f(x)≥eq\f(1，4），求x的取值范围；（3）求f(x)的值域．类型三映射的概念例4以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？（1）集合A＝｛P｜P是数轴上的点｝，集合B＝R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应；（2)集合A＝{P｜P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{（x，y)｜x∈R,y∈R｝，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x｜x是三角形｝，集合B＝{x|x是圆｝，对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆；(4）集合A＝{x｜x是新华中学的班级}，集合B＝｛x|x是新华中学的学生｝，对应关系f:每一个班级都对应班里的学生．反思与感悟映射是一种特殊的对应,它具有:(1）方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．（2）唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一,但不能一对多．跟踪训练4设集合A＝｛x|1≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤4｝，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是（)A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝3x－2C．f:x→y＝－x＋4D．f：x→y＝4－x21．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为（）A．3 B．4C．5 D．62．f（x）的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x）的解析式是()A．f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2,0≤x≤1,2，1<x<2，3,x>2）)B．f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x2，0≤x<1，2，1〈x<2，3，x≥2)）C．f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2,1<x≤2，3，x〉2）)D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x2,0≤x≤1，2，1<x<2，3,x≥2)）3．设f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1，x〉0,，1，x＝0，，－1，x〈0，))则f（f(0）)等于()A．1B．0C．2D．－14．已知函数y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋1，x≤0，，－2x，x>0，））则使函数值为5的x的值是（）A．－2或2B．2或－eq\f(5,2）C．－2D．2或－2或－eq\f（5，2）5．设f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1,x〉0，，0，x＝0，,－1，x〈0，))g（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，)）则f(g（π))的值为()A．1 B．0C．－1 D．π1．对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域"的并集,其值域是各段上“值域"的并集．(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．函数与映射的关系映射f：A→B,其中A、B是两个非空的集合；而函数y＝f(x)，x∈A，A为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．

答案精析问题导学知识点一思考是函数．因为从整体来看，A中任一元素x,在B中都有唯一确定的y与之对应．梳理（1）对应关系（2)并集空集知识点二思考因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．梳理唯一题型探究例1解过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2eq\r（2）cm,所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm,所以AD＝GH＝3cm.(1)当点F在BG上，即x∈［0，2］时，y＝eq\f(1,2）x2;(2）当点F在GH上,即x∈（2，5］时,y＝eq\f（1,2)×2×2＋2(x－2)＝2x－2；（3)当点F在HC上，即x∈(5，7］时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f（1,2）(7＋3）×2－eq\f(1，2)（7－x）2＝－eq\f(1，2）（x－7)2＋10。综合(1）（2)（3),得函数的解析式为y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)x2，x∈[0，2］，，2x－2,x∈2,5］,，－\f(1，2)x－72＋10，x∈5，7］。））图像如图所示：跟踪训练1解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20］．由题意得函数的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2，0〈x≤5，,3,5〈x≤10，,4，10<x≤15，，5,15〈x≤20。)）函数图像如图所示：例2解∵－5∈（－∞,－2],∴f(－5)＝－5＋1＝－4。∵－eq\r(3)∈（－2,2），∴f（－eq\r(3)）＝(－eq\r(3）)2＋2（－eq\r(3））＝3－2eq\r(3),∵－eq\f（5,2）∈（－∞，－2］,∴f（－eq\f（5,2))＝－eq\f(5,2）＋1＝－eq\f(3,2)∈(－2，2)，∴f(f(－eq\f(5,2)））＝f（－eq\f（3，2）)＝（－eq\f（3,2）)2＋2(－eq\f（3,2))＝－eq\f（3,4)。引申探究解当－5≤x≤－2时，f(x）＝x＋1∈[－4，－1］；当－2<x〈2时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1）2－1∈［－1,8)；当x≥2时,f(x）＝2x－1∈[3,＋∞)；∴x≥－5时,f(x）∈［－4,－1]∪［－1，8)∪［3，＋∞)＝[－4，＋∞)．跟踪训练2解(1)因为5〉4，所以f（5）＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f（f（5））＝f(－3)＝－3＋4＝1。因为0〈1<4,所以f（f（f（5)))＝f（1）＝12－2×1＝－1。(2)f(x)的图像如下:例3解(1）当x0≤2时,由2x0＝8,得x0＝4，不符合题意;当x0>2时,由xeq\o\al（2,0)＋2＝8，得x0＝eq\r(6）或x0＝－eq\r（6)（舍去)，故x0＝eq\r(6)。（2）f(x）>8等价于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,2x〉8，）)①或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x〉2,,x2＋2>8，）)②解①，x∈∅,解②得x〉eq\r(6)，综合①②，f(x）〉8的解集为{x｜x>eq\r(6)｝．跟踪训练3解（1）利用描点法，作出f（x)的图像，如图所示．（2)由于f(±eq\f(1，2））＝eq\f（1，4)，结合此函数图像可知，使f(x)≥eq\f(1,4）的x的取值范围是(－∞，－eq\f(1,2）]∪［eq\f(1，2），＋∞)．（3）由图像知，当－1≤x≤1时，f（x）＝x2的值域为［0，1］，当x>1或x<－1时,f（x)＝1。所以f(x)的值域为[0，1］．例4解（1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．（3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应f:A→B是