西南交通大学振动力学I多自由系统的振动演示文稿

西南交通大学振动力学I多自由度系统的振动演示文稿2023/5/251《振动力学》目前一页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日中国力学学会学术大会‘2005’22023年5月25日2声明本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。不可用于任何商业目的。本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2023/5/252《振动力学》目前二页\总数一百六十五页\编于十二点kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动2023/5/253《振动力学》目前三页\总数一百六十五页\编于十二点k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动2023/5/254《振动力学》目前四页\总数一百六十五页\编于十二点m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动2023/5/255《振动力学》目前五页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统的振动用N个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统，称为N自由度系统，N≥2时的系统称为多自由度系统。多自由度系统和单自由度系统的振动固有性质区别：

1）单自由度系统受初始扰动，系统按固有频率作简谐运动；2）多自由度系统有多个固有频率；多自由度系统按某一固有频率所作自由振动，称为主振动，是一种简谐运动，多自由度系统有多个主振动。系统作某个主振动时，任何瞬时各点位移间具有一定的相对比值，即系统具有确定的振动形态，称为主振型（也称主模态）。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。目前六页\总数一百六十五页\编于十二点教学内容多自由度系统的振动2023年5月25日《振动力学》7教学内容两自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统固有特性的近似解法2023/5/257《振动力学》目前七页\总数一百六十五页\编于十二点教学内容多自由度系统的振动2023年5月25日《振动力学》8两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响2023/5/258《振动力学》目前八页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统的振动/两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统：用两个独立坐标可以完全描述其在空间位置的系统。2023/5/259《振动力学》目前九页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统的振动研究多自由度系统振动的目的：1）求系统的固有频率；2）了解系统的主振型。2023/5/25《振动力学》目前十页\总数一百六十五页\编于十二点两自由度系统的振动方程先看几个例子例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2511《振动力学》目前十一页\总数一百六十五页\编于十二点解：的原点分别取在的静平衡位置建立坐标：设某一瞬时：上分别有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2512《振动力学》目前十二页\总数一百六十五页\编于十二点建立方程：矩阵形式：力量纲坐标间的耦合项P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2513《振动力学》目前十三页\总数一百六十五页\编于十二点例2：转动运动两圆盘转动惯量轴的三个段的扭转刚度试建立系统的运动微分方程外力矩多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2514《振动力学》目前十四页\总数一百六十五页\编于十二点解：建立坐标：角位移设某一瞬时：角加速度受力分析：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2515《振动力学》目前十五页\总数一百六十五页\编于十二点建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2516《振动力学》目前十六页\总数一百六十五页\编于十二点两自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在两自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2517《振动力学》目前十七页\总数一百六十五页\编于十二点小结：可统一表示为：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为

n

维多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2518《振动力学》目前十八页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》19刚度矩阵和质量矩阵当M、K

确定后，系统动力方程可完全确定M、K

该如何确定？作用力方程：先讨论M多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2519《振动力学》目前十九页\总数一百六十五页\编于十二点使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M

和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2520《振动力学》目前二十页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》21影响系数法当M、K

确定后，系统动力方程可完全确定M、K

该如何确定？作用力方程：先讨论K加速度为零则：假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2521《振动力学》目前二十一页\总数一百六十五页\编于十二点使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M

和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2522《振动力学》目前二十二页\总数一百六十五页\编于十二点【例3-3】用刚度影响系数法，建立图3-6所示的两自由度系统的运动微分方程。【解】用力使质量块m1从静平衡位置移动一单位位移，同时用力制住m2不动。这时对m1沿x1正方向施加的是弹簧k1和k2的弹力之和。因位移为1，因此弹力之和为k1+k2，即k11=k1+k2，这时在质量块m2上施加的力的大小等于k2，方向与x1位移的方向相反，即k21=-k2。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2523《振动力学》目前二十三页\总数一百六十五页\编于十二点再用力使质量块m2离开静平衡位置单位位移，同时用力控制住m1不动，得k22=k2+k3，k12=-k2。

将所得刚度影响系数代入,有整理得多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/25《振动力学》目前二十四页\总数一百六十五页\编于十二点上式即式(3.1)。此式可用矩阵形式表示或式中,分别是系统位移、加速度列阵，M、K分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵。从刚度矩阵可知，刚度影响系数kij

即为刚度矩阵K中一个元素。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程25《振动力学》目前二十五页\总数一百六十五页\编于十二点例：双混合摆，两刚体质量质心绕通过自身质心的z轴的转动惯量求：以微小转角为坐标，写出在x-y平面内摆动的作用力方程两刚体质量h1C1C2h2lxy多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2526《振动力学》目前二十六页\总数一百六十五页\编于十二点受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2527《振动力学》目前二十七页\总数一百六十五页\编于十二点解：先求质量影响系数令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2528《振动力学》目前二十八页\总数一百六十五页\编于十二点令有：令有：质量矩阵：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2529《振动力学》目前二十九页\总数一百六十五页\编于十二点求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2530《振动力学》目前三十页\总数一百六十五页\编于十二点令有：令有：刚度矩阵：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2531《振动力学》目前三十一页\总数一百六十五页\编于十二点运动微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2532《振动力学》目前三十二页\总数一百六十五页\编于十二点例：求：以微小转角为坐标，写出微摆动的运动学方程每杆质量m杆长度l水平弹簧刚度k弹簧距离固定端akaO1O2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2533《振动力学》目前三十三页\总数一百六十五页\编于十二点解：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆O1、O2

求矩：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2534《振动力学》目前三十四页\总数一百六十五页\编于十二点刚度矩阵：aO1O2aO1O2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2535《振动力学》目前三十五页\总数一百六十五页\编于十二点令：则需要在两杆上施加力矩令：则需要在两杆上施加力矩质量矩阵：aO1O2kaO1O2k多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2536《振动力学》目前三十六页\总数一百六十五页\编于十二点运动学方程：kaO1O2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2537《振动力学》目前三十七页\总数一百六十五页\编于十二点例：两自由度系统摆长

l，无质量，微摆动求：运动微分方程xm1k1k2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2538《振动力学》目前三十八页\总数一百六十五页\编于十二点解：先求解刚度矩阵令：令：m1k1k2m1k1k2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2539《振动力学》目前三十九页\总数一百六十五页\编于十二点刚度矩阵：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2540《振动力学》目前四十页\总数一百六十五页\编于十二点求解质量矩阵令：令：m1k1k2惯性力m1k1k2惯性力多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2541《振动力学》目前四十一页\总数一百六十五页\编于十二点质量矩阵：xm1k1k2刚度矩阵：运动微分方程：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2542《振动力学》目前四十二页\总数一百六十五页\编于十二点位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反以一个例子说明位移方程的建立x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化）假设是常力以准静态方式作用在梁上梁只产生位移（即挠度），不产生加速度取质量的静平衡位置为坐标的原点多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2543《振动力学》目前四十三页\总数一百六十五页\编于十二点m1

位移：m2位移：时（1）时（2）m1

位移：m2位移：同时作用（3）m1

位移：m2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2544《振动力学》目前四十四页\总数一百六十五页\编于十二点同时作用时：矩阵形式：其中：柔度矩阵物理意义：系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i

个坐标上产生的位移柔度影响系数f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2545《振动力学》目前四十五页\总数一百六十五页\编于十二点当是动载荷时集中质量上有惯性力存在位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2546《振动力学》目前四十六页\总数一百六十五页\编于十二点位移方程：又可：作用力方程：

若K非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：或：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2547《振动力学》目前四十七页\总数一百六十五页\编于十二点对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在应当注意：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统m1m2k1k2m3原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵K奇异多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2548《振动力学》目前四十八页\总数一百六十五页\编于十二点例：求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程已知梁的抗弯刚度矩阵为x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2549《振动力学》目前四十九页\总数一百六十五页\编于十二点由材料力学知，当B点作用有单位力时，A点的挠度为：柔度影响系数：柔度矩阵：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2550《振动力学》目前五十页\总数一百六十五页\编于十二点质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A

正定并且等号仅在时才成立是指对于任意的

n维列向量y，总有成立如果时，等号也成立，那么称矩阵A

是半正定的根据分析力学的结论，对于定常约束系统：动能：势能：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2551《振动力学》目前五十一页\总数一百六十五页\编于十二点质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A

正定并且等号仅在时才成立是指对于任意的

n维列向量y，总有成立如果时，等号也成立，那么称矩阵A

是半正定的动能：除非所以，正定即：多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2552《振动力学》目前五十二页\总数一百六十五页\编于十二点质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n阶方阵A

正定并且等号仅在时才成立是指对于任意的

n维列向量y，总有成立如果时，等号也成立，那么称矩阵A

是半正定的势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值V>0当各个位移不全为零时，K正定K>0对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于不全为零的位移存在V

＝0K半正定多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2553《振动力学》目前五十三页\总数一百六十五页\编于十二点振动问题中主要讨论K阵正定的系统及K阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统多自由度系统的振动/两自由度振动系统/动力学方程2023/5/2554《振动力学》目前五十四页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》55教学内容多自由度系统的振动/两自由度系统的振动2023年5月25日《振动力学》55两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响2023/5/2555《振动力学》目前五十五页\总数一百六十五页\编于十二点无阻尼系统的自由振动图3-2示是一两自由度无阻尼系统的力学模型。若x1和x2分别为m1和m2的位移，k1、

k2

、k3分别是连接弹簧刚度，则系统的运动方程为多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/2556《振动力学》目前五十六页\总数一百六十五页\编于十二点或其矩阵形式为设系统每个质量作同一频率的谐振动且同时通过平衡位置,则式中振幅A1、A2，频率ω和相位角φ为待定常数。式（3.4）代入（3.2），有多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/2557《振动力学》目前五十七页\总数一百六十五页\编于十二点于是式（3.5）可简写为上述方程中A1，A2要有非零解，其充分必要条件为展开后得多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前五十八页\总数一百六十五页\编于十二点上式称为系统的频率方程或特征方程。显然，方程有两个特征根，即

ω12和ω22是两个正实根，它们反映系统本身的物理性质（质量和弹簧刚度），称为振动系统的固有频率。较低的一个称为一阶固有频率，简称基频；较高的一个称为二阶固有颇率。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前五十九页\总数一百六十五页\编于十二点分别将ω12

与ω22代回方程（3.6）。由于方程（3.6）的系数行列式为零，方程中的两式彼此不独立。由方程（3.6）不能求得振幅A1与A2的具体数值。但可将特征值ω12

与ω22

分别代回方程(3.6)中任一式，可求得对应于每一固有频率的振幅比,以μ1和μ2表示，即可见，虽然振幅的大小与初始条件有关,但系统按任一多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前六十页\总数一百六十五页\编于十二点固有频率振动时，其振幅比和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质，同时两个质量任一瞬时的位移比值x2/x1也是确定的，等于振幅比。

振幅比决定了整个系统振动形态，该振动形态对应的图形称为主振型(模态），称为第i阶振型列阵。与ω1对应的振幅比μ1，对应的主振型称为一阶主振型（主模态），与ω2对应的振幅比μ2，对应的主振型称为二阶主振型。将ω1与ω2代入（3.8），得多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前六十一页\总数一百六十五页\编于十二点可见，当系统以频率ω1振动时，质量块m1、m2总是按同一方向运动，而当系统以频率ω2

振动时,则两质量按相反的方向运动。系统以某一阶固有频率按其相应的主振型振动，称为系统的主振动。第一阶主振动为第二阶主振动为多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前六十二页\总数一百六十五页\编于十二点可见系统的每一阶主振动，都是具有确定频率和振型的简谐振动。

系统在一般情况下的运动即微分方程组（3.2）的通解是（3.10）和（3.11）两种主振动的叠加，即

在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/2563《振动力学》目前六十三页\总数一百六十五页\编于十二点【例3-1】车辆振动在简单计算中可简化为一根刚性杆（车体）支承在弹簧（悬挂弹簧或轮胎）上，作上下垂直振动和绕刚性杆质心的前后俯仰振动．如图3-3。设刚性杆质量为m，两端弹簧刚度为k1、k2,杆质心C与弹簧k1、k2

的距离为l1与l2,杆绕过质心并垂直于纸面轴的转动惯量为Jc。求此系统的固有频率，并分析k2l2>k1l1

时的主振型。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前六十四页\总数一百六十五页\编于十二点【解】以质心垂直位移x(向下为正）及杆绕质心的转角θ(顺针向为正)为两个独立坐标,x的坐标原点取在静平衡位置，前后弹簧作用在杆上的弹性力如图3.3(b)。由刚体平面运动方程得整理得记多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前六十五页\总数一百六十五页\编于十二点得系统的固有频率为振幅比将是角位移θ与垂直位移x的比值。当k2l2>k1l2

时，b>0，c>0,由式(3.8)可知

第一阶主振动时，x与θ同时朝正向或同时朝负向运动，而第二阶主振动时，x与θ是反向运动。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前六十六页\总数一百六十五页\编于十二点实际中，振幅比的绝对值，表明两种振动如以相同的角位移θ作比较，第一阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，也就是第一阶主振动以上下垂直振动为主，其振型如图3-4（a），第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振动如图3-4(b)。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/2567《振动力学》目前六十七页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》682023年5月25日《振动力学》68教学内容2023年5月25日《振动力学》68两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/2568《振动力学》目前六十八页\总数一百六十五页\编于十二点耦合与主坐标一般情况下两自由度系统振动方程如(3.2)，每个方程式中往往都有耦合项。这种坐标x1和x2之间有耦合的情况称为静力耦合或弹性耦合。

在例3-1中，若以弹簧支承处的位移x1与x2为独立坐标来建立振动方程，x1、x2与x、θ关系如下：

转换后得多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/25《振动力学》目前六十九页\总数一百六十五页\编于十二点将上式代入刚体平面运动微分方程有整理得多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/25《振动力学》目前七十页\总数一百六十五页\编于十二点上面的方程中不仅坐标x1和x2有耦合，而且加速度的项也有耦合，这种加速度之间有耦合的情况，称为动力耦合或惯性耦合。选取坐标使振动方程组中的耦合项全等于零（既无静力耦合，又无动力耦合），是系统相当于两个单自由度系统，这时的坐标就称为主坐标。

选取不同的独立坐标时，虽然振动方程形式不同，但坐标的转换并不影响固有频率的计算结果。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/25《振动力学》目前七十一页\总数一百六十五页\编于十二点在例3-1中，是以x与θ

为两个独立坐标。如果k1l1=k2l2,则b=c=0，则式(3.2)中的耦合项均为零，简化成

相当于两单自由度系统各自独立作不同固有频率的主振动:这时x与θ

就是主坐标。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/2572《振动力学》目前七十二页\总数一百六十五页\编于十二点【例3-2】长为l质量为m的两个相同的单摆。用刚度为k的弹簧相连，如图3-5(a)。设弹簧原长为AB，杆重不计，试分析两摆在图示平面内作微振动时的固有频率和主振型。【解】取两摆离开铅垂平衡的角位移θ1与θ2为独立坐标，以逆时针方向为正。任一瞬时位置，两个摆上所受的力如图3-5(b)。系统作微振动时，其运动微分方程为多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/25《振动力学》目前七十三页\总数一百六十五页\编于十二点或此方程组与式(3.1)形式相同，频率方程为固有频率为多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/25《振动力学》目前七十四页\总数一百六十五页\编于十二点相应有将(a)式两个方程相加和相减后得一组新的方程：取ψ1=θ1+θ2，ψ2=θ1-θ2上列方程可转换为或多自由度系统的振动/两自由度振动系统/耦合与主坐标2023/5/25《振动力学》目前七十五页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》762023年5月25日《振动力学》762023年5月25日《振动力学》762023年5月25日《振动力学》762023年5月25日《振动力学》76作业第94页3.1,3.2多自由度系统的振动/两自由度系统的振动2023/5/2576《振动力学》目前七十六页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》772023年5月25日《振动力学》77教学内容2023年5月25日《振动力学》77两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响多自由度系统的振动/两自由度系统的振动2023/5/2577《振动力学》目前七十七页\总数一百六十五页\编于十二点3.无阻尼系统的强迫振动如图3-7，设两质量是分别在简谐激振力F1sinωt和F2sinωt作用下运动。系统强迫振动方程多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/25目前七十八页\总数一百六十五页\编于十二点方程（3.16）写为由于阻尼的存在，其齐次方程解在一段时间以后就逐渐衰减掉。非齐次的特解则是稳态阶段的等幅振动，系统按与激振力相同的频率ω作强迫振动。设其解为式中振幅B1、B2为待定常数，代入式（3.17），有多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/2579《振动力学》目前七十九页\总数一百六十五页\编于十二点则系数行列式为式中ω1、ω2为系统的两个固有频率。有将B1、B2代回得系统在激振力作用下的稳态响应，是与激振力的频率相同的简谐振动。其振幅不仅多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/25《振动力学》目前八十页\总数一百六十五页\编于十二点取决于激振力的振幅F1与F2，特别与系统的固有频率和激振频率之比有较大关系。当激振频率ω等于ω1或ω2时，系统振幅无限增大，即为共振。两自由度系统的强迫振动有两个共振颇率。

两质量的振幅比为

可见在一定激振力的幅值和频率下，振幅比是定值，也就是说系统具有一定的振型。当激振频率等于第一阶固有频率ω1时，振幅比为多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/25《振动力学》目前八十一页\总数一百六十五页\编于十二点可进一步得表明系统在任一共振频率下的振型就是相应的主振型。其振幅频率响应曲线，同单自由度强迫振动一样，可用频率比作横坐标，振幅作纵坐标画出。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/25《振动力学》目前八十二页\总数一百六十五页\编于十二点【例3-4】在图3-7系统，已知m1=m,m2=2m,k1=k2=k,k3=2k。在质量m1上作用一激振力F1sinωt,而F2=0。(1)求系统的响应；（2）计算共振时振幅比；（3）作振幅频率响应曲线。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/25《振动力学》目前八十三页\总数一百六十五页\编于十二点【解】由式（3-17）可写出强迫振动微分方程为其中由方程（a）对应的齐次方程求得系统的两个固有频率为（1）系统的响应多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/25《振动力学》目前八十四页\总数一百六十五页\编于十二点于是系统的响应为（2）共振时的振幅比当多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/2585《振动力学》目前八十五页\总数一百六十五页\编于十二点（3）幅频响应曲线将振幅改写为以ω/ω1为横坐标,B1、B2为纵坐标，分别作出质量块m1与m2

的幅频响应曲线如图3-8(a),(b)。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/2586《振动力学》目前八十六页\总数一百六十五页\编于十二点从上图可以看到，当时，出现共振，且有两次共振。每次共振时，两个质量块的振幅同时达到最大值。当

时两个质量块运动方向是相同的，而在时两个质量块运动方向是相反的。当ω>>ω2时两个质量块的振幅都非常小而趋于零。而当时,B1=0,即在激振频率

时，第一质量静止不动，这种现象通常称为反共振。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/无阻尼强迫振动2023/5/2587《振动力学》目前八十七页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》882023年5月25日《振动力学》88教学内容2023年5月25日《振动力学》88两自由度系统的振动两自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动耦合与主坐标无阻尼系统的强迫振动阻尼对强迫振动的影响多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2588《振动力学》目前八十八页\总数一百六十五页\编于十二点4.阻尼对强迫振动的影响下面以图3-9两自由系统为例说明阻尼对强迫振动的影响。该系统是在动力减振器的两个质量之间加上一个阻尼器而成，称为阻尼减振器。系统的振动方程为多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/25《振动力学》目前八十九页\总数一百六十五页\编于十二点用复数解上述耦合联立微分方程。以F1eiωt

表（3.22）第一式右边的激振力。

两自由度系统的稳态响应是与激振力同频率的，但因阻尼响应落后于激振力一相位角。设其解形式：得可解出B1、B2

。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2590《振动力学》目前九十页\总数一百六十五页\编于十二点为讨论阻尼对主质量m1强迫振动的影响，计算B1。有多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2591《振动力学》目前九十一页\总数一百六十五页\编于十二点令则无量纲形式可见振幅B1

是4个参数μ、a、ζ、λ

的函数。μ、a是已知的，B1/δ为ζ和λ的函数。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2592《振动力学》目前九十二页\总数一百六十五页\编于十二点图3-10表μ=1/20，a=1的阻尼减振器，在不同的阻尼ζ下，主质量振幅的动力放大系数B1/δ随频率比λ=ω/ω01变化的幅频响应曲线。当ζ=0,即为无阻尼强迫振动情况，变为当λ=0.895，1.12时为两个共振频率多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2593《振动力学》目前九十三页\总数一百六十五页\编于十二点当ζ=∞，m1和m2间无相对运动，系统变为仅一个质量m1+m2和躺会k1组成的单自由度系统。共振频率多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2594《振动力学》目前九十四页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》95图3.10为ζ=0.1和ζ=0.32的两条响应曲线，表明阻尼使共振幅显著减小.且相同阻尼下,频率高的那个共振振幅降低的程度比频率低的那个大。

在激振频率ω<<ω1

或ω>>ω2的范围内，阻尼的影响是很小的，且所有的响应曲线都通过S和T两点。多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2595《振动力学》目前九十五页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》962023年5月25日《振动力学》962023年5月25日《振动力学》962023年5月25日《振动力学》962023年5月25日《振动力学》962023年5月25日《振动力学》96作业第94页3.4第94页3.6多自由度系统的振动/两自由度振动系统/阻尼强迫振动2023/5/2596《振动力学》目前九十六页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》97教学内容多自由度系统的振动/多自由度振动系统2023年5月25日《振动力学》97教学内容两自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统固有特性的近似解法2023/5/2597《振动力学》目前九十七页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》982023年5月25日《振动力学》982023年5月25日《振动力学》98教学内容多自由度系统的振动/多自由度振动系统/振动方程2023年5月25日《振动力学》98多自由度系统的振动多自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动主坐标与正则坐标无阻尼系统的多初始条件的响应多自由度系统中的阻尼系统对激励的响应2023/5/2598《振动力学》目前九十八页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统振动方程

牛顿定律影响系数法拉格朗日法多自由度系统的振动/多自由度振动系统/振动方程2023/5/2599《振动力学》目前九十九页\总数一百六十五页\编于十二点如图3-11（a），一个由n个质量,n个弹簧和n个阻尼器组成的链式平动系统，第i个质量受力如图3-11（b）由牛顿定律，得第i个质量块的运动方程多自由度系统的振动/多自由度振动系统/振动方程2023/5/25100《振动力学》目前一百页\总数一百六十五页\编于十二点矩阵形式为：其中

多自由度系统的振动/多自由度振动系统/振动方程2023/5/25101《振动力学》目前一百零一页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》102振动方程的一些规律：（1）各质量块静平衡位置作坐标原点，质量阵为对角阵。（2）刚度阵的第i个主对角元为（即连接质量块mi的弹簧刚度之和），刚度阵的非主对角元kij

为（即连接质量块mi和mj的弹簧刚度之和）。（3）阻尼阵和刚度阵规律相同。对于多自由度系统,可直接用上述“观察”法给出多自由度系统的振动/多自由度振动系统/振动方程2023/5/25102《振动力学》目前一百零二页\总数一百六十五页\编于十二点【例3-5】试写图3-12示系统的振动方程。【解】多自由度系统的振动/多自由度振动系统/振动方程2023/5/25103《振动力学》目前一百零三页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》1042023年5月25日《振动力学》1042023年5月25日《振动力学》1042023年5月25日《振动力学》104教学内容多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023年5月25日《振动力学》104多自由度系统的振动多自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动主坐标与正则坐标无阻尼系统的多初始条件的响应多自由度系统中的阻尼系统对激励的响应2023/5/25104《振动力学》目前一百零四页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》105无阻尼系统的自由振动无阻尼情况下，多自由度系统自由振动方程为

写为一般情况，则有(3.29)设（3.29）解为，则多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25105《振动力学》目前一百零五页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》106或式中，称为系统的特征矩阵。其系数矩阵的行列式称为特征行列式。方程称为系统的特征方程或频率方程。由固有频率多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25106《振动力学》目前一百零六页\总数一百六十五页\编于十二点展开（3-32）得ω2的n次代数方程解（3.33），得ω2的n个根（即特征值）；其算术平方根ω1,ω2,...,ωn

为系统的固有频率。对正定系统，n个固有频率通常互不相等(注意意义）；将ωj代入（3.31），不能求出各振幅值，但可得方程组：多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25107《振动力学》目前一百零七页\总数一百六十五页\编于十二点求解A1,A2,…,An-1

，得各Ai值(i=1,2,…,n-1)与An比值，得对应于固有频率ωj的n个振幅值A1(j),A2(j),…,An(j)

间的比例关系，称为振幅比。

表明系统按第j阶固有频率ωj作简谐振动时，各振幅值A1(j),A2(j),…,An(j)

间具有确定的相对比值，或者说多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25108目前一百零八页\总数一百六十五页\编于十二点系统有一定的振动形态，该振动形态对应的图形称为主振型（主模态）。将各ωi及Ai(j)(i,j=1,2,…,n)代回(3.30)，得n组特解，将这n组特解相加，得系统自由振动的一般解:

(3.35)包含2n个待定常数,除φ1,φ2

,…,φn

外，还有n个振幅值，如可取为An(1),An(2),…,An(n)

。2n个待定常数由系统初始条件决定。多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前一百零九页\总数一百六十五页\编于十二点在某一特殊的初始条件下，使待定常数中仅An(1)≠0，而其他An(2)=An(3)=…=An(n)=0因而与An(j)(j=2,3,…,n)成正比的Ai(2)=Ai(3)=…=Ai(n)=0(i=1,2,…,n-1),则（3.35）所表示的运动方程只保留第一项，即：多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前一百一十页\总数一百六十五页\编于十二点表明：（1）系统中各质量块以相同频率ω1和相位φ1作简谐

运动；（2）各质量块任一瞬时满足

可见，完全描述了系统振动形态，称一阶主振型列阵，对应的图形称为一阶主振型。由描述的系统运动，称为一阶主振动多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25111《振动力学》目前一百一十一页\总数一百六十五页\编于十二点同样有二阶、三阶、…n阶主振型和二阶、三阶、…n阶主振动。以A(j)的n个幅值A1(j),A2(j),…,An(j)为元素组成列阵A(j),称为第j阶主振型列阵，即n自由度系统，有n个固有频率、n个主振型。多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25112《振动力学》目前一百一十二页\总数一百六十五页\编于十二点[例3.6]在下图所示的三自由度系统中，设求此系统的固有频率和主振型。多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25《振动力学》目前一百一十三页\总数一百六十五页\编于十二点【解】取质量块偏离平衡位置的位移为广义坐标，系统质量矩阵M和刚度矩阵K为系统自由振动微分方程为令其解为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25114《振动力学》目前一百一十四页\总数一百六十五页\编于十二点得特征方程为整理有求得多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25115《振动力学》目前一百一十五页\总数一百六十五页\编于十二点将代入（a）中第一、二式，并取，可得再将代入（a）中第一、二式，并取

可得3个主振型列阵各主振型如图3.13（b）（c）（d）。（注意节点概念）多自由度系统的振动/多自由度振动系统/无阻尼自由振动2023/5/25116《振动力学》目前一百一十六页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》1172023年5月25日《振动力学》1172023年5月25日《振动力学》1172023年5月25日《振动力学》1172023年5月25日《振动力学》117教学内容多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023年5月25日《振动力学》117多自由度系统的振动多自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动主坐标与正则坐标无阻尼系统的多初始条件的响应多自由度系统中的阻尼系统对激励的响应2023/5/25117《振动力学》目前一百一十七页\总数一百六十五页\编于十二点2.主坐标和正则坐标（1）主振型的正交性n自由度的系统具有n个固有频率及n组主振型

,两组主振型之间关系如何？？固有频率ωi及ωj的主振型A(i)及A(j)满足：多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25118《振动力学》目前一百一十八页\总数一百六十五页\编于十二点式（3.38）左,（3.39）两端转置后右乘得（3.40）-（3.41）得当有代入（3.40）得多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25119《振动力学》目前一百一十九页\总数一百六十五页\编于十二点表明：不同固有频率的两主振型，关于质量阵M正交，也关于刚度阵正交，统称主振型的正交性。

式（3.38）左乘得因质量阵正定，设

为一正数，称为第i阶主质量。对正定系统，刚度阵K正定，令多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25120《振动力学》目前一百二十页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标也为一正数，称为第i阶主刚度。由式（3.44）得即第i阶特征值等于第i阶主刚度与第i阶主质量之比。关于正交性总结如下：2023/5/25121《振动力学》目前一百二十一页\总数一百六十五页\编于十二点（2）振型矩阵及正则振型矩阵将各阶主振型列阵，依序排成构成一个阶矩阵

，称为振型矩阵（模态矩阵）则

为对角阵，称为主质量阵多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25122《振动力学》目前一百二十二页\总数一百六十五页\编于十二点同样,

也是对角阵，称为主刚度阵多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25123《振动力学》目前一百二十三页\总数一百六十五页\编于十二点对每一阶主振动，定义满足下列条件的主振型，用列阵表示，使称为第i阶正则振型（振型列阵）。则由正交性有多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25124《振动力学》目前一百二十四页\总数一百六十五页\编于十二点将各阶正则振型列阵依次排列，构成的振型矩阵，称为正则振型阵（正则模态阵）。这时的主质量阵、主刚度阵称为正则质量矩阵MN，正则刚度阵KN,显然多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25125《振动力学》目前一百二十五页\总数一百六十五页\编于十二点可见：第i阶正则刚度等于第i阶固有频率的平方；多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25126《振动力学》目前一百二十六页\总数一百六十五页\编于十二点【例3.7】由例3.6的结果，求振型矩阵及与它对应的主质量阵、主刚度阵，并求正则振型阵及正则刚度阵。【解】例3.6中已求出各阶主振型为振型矩阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25127《振动力学》目前一百二十七页\总数一百六十五页\编于十二点主质量矩阵

主刚度矩阵多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25128《振动力学》目前一百二十八页\总数一百六十五页\编于十二点由得各正则振型列阵：

正则振型阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25129《振动力学》目前一百二十九页\总数一百六十五页\编于十二点正则刚度阵

多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25130《振动力学》目前一百三十页\总数一百六十五页\编于十二点（3）主坐标和正则坐标n自由度系统自由振动方程为通常M、K非对角矩阵，上式为耦合方程。用振型阵AP

,可使M、K变成对角形式的主质量阵Mp和主刚度阵Kp。用振型矩阵AP，将原坐标x变成一组新坐标xp

,即定义则有多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25《振动力学》目前一百三十一页\总数一百六十五页\编于十二点两边同左乘ATP,

因主质量阵Mp和主刚度阵Kp都是对角矩阵，则有（3.61）所描述的系统各方程互不耦合。新坐标xp称为主坐标，（3.59）称为主坐标变换式(坐标的模态变换）。可见，（3.61）中每一方程可单自由度系统的方法求解。

将（3.59）两边左乘ATPM得多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25132《振动力学》目前一百三十二页\总数一百六十五页\编于十二点正则振型是一组特定主振型，也可用正则振型阵AN进行坐标变换，即令坐标列阵xN各元素称为正则坐标，（3.63）称为正则变换式。得可见，用正则坐标描述系统振动，可使方程形式更简单。根据式（3.62），正则坐标xN的表达式多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25133《振动力学》目前一百三十三页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》1342023年5月25日《振动力学》1342023年5月25日《振动力学》1342023年5月25日《振动力学》1342023年5月25日《振动力学》1342023年5月25日《振动力学》1342023年5月25日《振动力学》134作业第94页3.9第94页3.11多自由度系统的振动/多自由度振动系统/主坐标与正则坐标2023/5/25134《振动力学》目前一百三十四页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》1352023年5月25日《振动力学》1352023年5月25日《振动力学》1352023年5月25日《振动力学》1352023年5月25日《振动力学》1352023年5月25日《振动力学》135教学内容多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023年5月25日《振动力学》135多自由度系统的振动多自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动主坐标与正则坐标无阻尼系统的对初始条件的响应多自由度系统中的阻尼系统对激励的响应2023/5/25135《振动力学》目前一百三十五页\总数一百六十五页\编于十二点

3.无阻尼系统对初始条件的响应对n自由度系统，选广义坐标，设t=0时，该广义坐标下的位移与速度初值为和。

用振型叠加法求系统对此初始条件的响应。在求出系统固有频率和主振型、正则振型后，用（3.63）进行坐标变换，得正则坐标表示的自由振动方程（3.64）。对正定系统，由（3.64）得正则坐标下的一般解多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25136《振动力学》目前一百三十六页\总数一百六十五页\编于十二点正则坐标（位移）及正则速度初值计算如下：由（3.66）计算出各XNi后，再由得系统响应。多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25137《振动力学》目前一百三十七页\总数一百六十五页\编于十二点

或可见，系统响应是由各阶振型按一定比例叠加得到的。多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25138《振动力学》目前一百三十八页\总数一百六十五页\编于十二点

【例3.8】在图3.14的系统中，令初始条件为.求系统的响应。【解】系统振动方程为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25139《振动力学》目前一百三十九页\总数一百六十五页\编于十二点设（a）的解为将（b）代入（a），得特征矩阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25140《振动力学》目前一百四十页\总数一百六十五页\编于十二点特征方程为解得相应地有将3特征值分别代入（c），并对第一个元标准化，即令，得3个振型列阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25141《振动力学》目前一百四十一页\总数一百六十五页\编于十二点

振型阵为主质量阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25142《振动力学》目前一百四十二页\总数一百六十五页\编于十二点由得各正则振型列阵为正则振型阵为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25143《振动力学》目前一百四十三页\总数一百六十五页\编于十二点正则坐标（位移）及正则速度初值为由多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25144《振动力学》目前一百四十四页\总数一百六十五页\编于十二点用原坐标表示的响应为多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25145《振动力学》目前一百四十五页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》1462023年5月25日《振动力学》146作业第95页3.12多自由度系统的振动/多自由度振动系统/初始条件响应2023/5/25146《振动力学》目前一百四十六页\总数一百六十五页\编于十二点2023年5月25日《振动力学》1472023年5月25日《振动力学》1472023年5月25日《振动力学》1472023年5月25日《振动力学》1472023年5月25日《振动力学》1472023年5月25日《振动力学》147教学内容多自由度系统的振动/多自由度振动系统/阻尼影响2023年5月25日《振动力学》147多自由度系统的振动多自由度系统的振动方程无阻尼系统的自由振动主坐标与正则坐标无阻尼系统的多初始条件的响应多自由度系统中的阻尼系统对激励的响应2023/5/25147《振动力学》目前一百四十七页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统的振动/多自由度振动系统/阻尼影响4.多自由度系统中的阻尼振动中，常将阻尼力简化为黏性阻尼力，其多自由度系统振动方程C是阻尼阵，为正定或半正定对称阵，P是激励力列阵。引入正则坐标xN得两边左乘ANT得2023/5/25148《振动力学》目前一百四十八页\总数一百六十五页\编于十二点多自由度系统的振动