【例题讲解】正余弦函数的图象和性质综合问题

正、余弦函数图象与性质的综合问题例（1）求m的值及取此最小值时的x值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．详解（1）由题意利用正弦函数最值的性质，求出m的值及取此最小值时的x值．（2）函数f（x）＝2sin（2x－

）＋m（m∈R）的最小值为－2＋m＝1，∴m＝3．求得x＝kπ－

，k∈Z．已知函数f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值为1．取此最小值时，2sin(2x－

)＝－1，2x－

＝2kπ－

，k∈Z．正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值为1．（1）求m的值及取此最小值时的x值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．详解（2）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（2）令z＝2x－

，因为x∈R，则z∈R，因为y＝2sinz＋3的最小正周期为2π，即2sinz＋3＝2sin（z＋2π）＋3正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值为1．（1）求m的值及取此最小值时的x值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．由此可得：可得f（x）＝2sin（2x－

）+3，它的最小正周期为π．因为y＝2sinz＋3，z∈R的单调递增区间为

，可得函数的增区间为．且由,k∈Z．解得：

；，k∈Z．正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝2sin（2x－

）+m（m∈R）的最小值为1．（1）求m的值及取此最小值时的x值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．3．正弦函数的单调区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减．1．正弦函数y＝sinx，当

，k∈Z时有最小值y＝－

1.

上单调递增；2．整体代换法求正弦函数的最小正周期；当

，k∈Z时有最大值y＝1；正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）在

上的单调递减区间．详解（1）令z＝4x－

，（1）令z＝4x－

，求出y＝4cosz＋1，z∈R的对称轴方程，进而求得f（x）的对称轴方程；因为x∈R，则z∈R，y＝4cosz＋1的对称轴为z＝kπ，k∈Z；即4x－

＝kπ，k∈Z解得：所以f（x）的对称轴方程为

；正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）在

上的单调递减区间．详解（2）令z＝4x

－

，（2）令z＝4x－

，求出y＝4cosz＋1，z∈R的单调递减区间，通过解不等式确定原函数的单调递减区间．原函数可化为：y＝4cosz＋1，z∈R单调递减区间为：2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ≤4x－

≤2kπ＋π，k∈Z，正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）在

上的单调递减区间．整理得：，当k＝－1时，函数的单调递减区间为：

；当k＝0时，函数的单调递减区间为：

，所以f（x）在

上的单调递减区间为

，

．正、余弦函数图象与性质的综合问题例已知函数f（x）＝4cos（4x－

）+1．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）求f（x）在

上的单调递减区间．1．余弦函数y＝cos