高考数学文真题分类汇编：立体几何

第十章立体几何

1.12015高考浙江，文4】设a,，是两个不同的平面，I,四是两条不同的直线，且/ua,

mu/31）

A.若1」尸,则B.若a",则

C.若〃//?,则a/少D.若a///，则///m

【答案】A

【解析】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时,

/,机可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，/〃，时，a,尸可以相交；选项D中，

a〃尸时,也可以异面.故选A.

【考点定位】直线、平面的位置关系.

【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的

位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题,

重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.

2.[2015高考新课标1,文6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的

数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，制

问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为-

个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的

体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率

约为3,估算出堆放的米有（）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r,贝八x2x3r=8,所以r=3，所以米堆的体积为

43

2

lxlx3x（—）x5=—,故堆放的米约为型+1.62心22,故选B.

43399

【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式

【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到

米堆是上圆锥，底面周长是两个底面半径与工圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的

44

方程，解出底面半径，是基础题.

3.[2015高考浙江，文21某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是

)

B.12cm3c.王面

3

:干:二圣

【答案】C

【解析】由三视图可知，该儿何体是一个棱长为2的正方体与个底面边长为2,高为2的正

17?

四棱锥的组合体，故其体积为V=2,+上x2?x2=丝。”3故选c

33

【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.

【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的

结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间

想象能力和基本的运算能力.

4.12015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

侧视图

1315冗

(B)—(D)y

O

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是山一个底面半径为1,高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：

其底面半径为1,高也为1,构成的一个组合体，故其体积为乃xl2x2+!x》xl2xl=史，

66

故选B.

【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.

【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利

用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.

5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.3）B.4乃C.27+4D.3万+4

俯视图

【答案】D

【解析】由几何体的三视图可知该儿何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为

^-xlx2+—x^-xl2x2+2x2=3^+4,故答案选。

2

【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.

【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、

空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各

个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.

6.12015高考广东，文6】若直线4和是异面直线，4在平面a内，（在平面/内，/是平

面a与平面月的交线，则下列命题正确的是（）

A./至少与/『4中的一条相交B./与小4都相交

C./至多与/],中的一条相交D./与小[都不相交

【答案】A

【解析】若直线4和6是异面直线，4在平面a内，4在平面夕内，/是平面2与平面夕的交

线，贝h至少与4中的一条相交，故选A.

【考点定位】空间点、线、面的位置关系.

【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题.解题时一定要注

意选项中的重要字眼“至少”、“至多”，否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置

关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，

也可作必要的合情推理.

7.12015高考浙江，文7】如图，斜线段AB与平面。所成的角为60°,B为斜足，平面a上

的动点P满足NPAB=30°,则点P的轨迹是（）

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的

一支

【答案】C

【解析】

由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆

锥高成60。角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.

【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.

【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据

给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60。角的平

面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线

的定义的理解.

8.12015高考湖北，文5】4,4表示空间中的两条直线，若P：44是异面直线；q：4，，2不相

交，贝IJ()

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】A.

【解析】若P：4是异面直线，由异面直线的定义知，/“4不相交，所以命题q：乙/不相交

成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：4,4不相交，贝"4可能平行，也可能异面，所

以不能推出4人是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选A.

【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.

【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关

系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，

注意考虑问题的全面性、准确性.

9>[2015高考新课标1,文11]圆柱被一个平面截去一部分।

后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的三视图中I_|t/

的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为X/

[6+20万，贝卜=()k---------4-J-I

(A)1(B)2r

(C)4(D)8—

0

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半

径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为+乃7'2厂+万厂2+2r*2尸=5万「2+4/=16+

2

2°不，解得r=2,故选B.

【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式

【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，

先看俯视图确定底面的形状，根据正视图利侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，

宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.

10.[2015高考福建，文9]某几何体的三视图如图所示，则该几何体

的表面积等于（）

A.8+272B.11+272C.14+28D.15

【答案】B

【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，

高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1,2,直角腰长为1,

斜腰为V2.底面积为2XLX3=3,侧面积为2+2+4+2啦=8+20,

2

所以该几何体的表面积为11+2拒，故选B.

【考点定位】三视图和表面积.

【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几

何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其

组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形

法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题.

11.12015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

（）2丘兀（）4立兀

【答案】B

【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为28,斜边上的高为后，所得旋转体为

同底等高的全等圆锥，所以，其体积为:万x（后=£号，，故选3.

【考点定位】1.旋转体的儿何特征；2.儿何体的体积.

【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解

所得旋转体的几何特征，确定得到计算体枳所需要的几何量.

本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时.，考查了考生的

空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的•道好题.

12.12015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个

体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料

的利用率为（材料利用率=新工件的体枳/原工件的体积）（)

8%824(近-Ip8(72-I)2

A、—C、D、

9兀n

侧视图

【答案】A

x2一〃

【解析】由题可得,问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有「丁C=2-2x,

所以长方体体积为/&=（2x门2-2用=4x・心（2-2xA4|"十"十’一八।,当且仅当

3)

32

2”16

x=2-2x,gPx=-时，等号成立，故利用率为二二^——=—>故选A.

39T

【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体

【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”

是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.

求组合体的体枳，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补

体法、转化法等方法求体积.

13.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）

C.垂）D.2

俯视图

【答案】C

【解析】四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知，5C_L平面ABCD,SA是四棱锥最长的棱，

SA=yJsC2+AC2=ylSC2+AB2+BC2=V5,故选C.

【考点定位】三视图.

【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题.解题时一定要抓住三视图的特点，否

则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的

棱长即可.

14【2015高考安徽，文9】•个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

正(主)«BA(£)

A

人

mtn

«(9)・明

(A)1+73(B)I+2V2(C)2+百(D)272

【答案】C

【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如卜一图所示：

其中侧面以CJ_底面A8C,且△P4CgAABC,由三视图中所给数据可知：

PA=PC=A8=8C=五，取4c中点0,连接P0,3。，则放AP08中，

20=8。=1=28=拒.,.S=2-"-2+L・2・2=2+石，故选C.

42

【考点定位】本题主要考查空间儿何体的三视图、锥体表面积公式.

【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几

何体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基

本运算能力.

[2015高考上海，文6]若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16百，则

a=.

【答案】4

i

【解析】依题意，一XQXIX——XQ=16百，解得a=4.

22

【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.

【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.

边长为。的正三角形的面积为—a2.

4

15.[2015高考天津，文10]一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为

m'.

【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积

为2x1x7txl+7ix2=S(m3).

33

【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何

题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三

视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键.

16.【2015高考四川，文14]在三楼住A8C—481G中，ZBAC=90°,其正视图和侧视图都

是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB,

BC,BiQ的中点，则三棱锥P—4MN的体积是.

【答案】—

24

【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的

等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为L

2

如图，因为A4〃PN,故A4〃面PMN,

AM

故三棱锥P—AiMN与三棱锥P—AMN体积相等,

三棱锥P—AMN的底面积是三棱锥底面积的一，高为1

4

故三棱锥P—AiMN的体积为』x'x4=J-

32424

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥

的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.

【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置,

结合条件，三棱锥P—4MN的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P—AMN的体积，使得计

算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.

17.[2015高考安徽，文19]如图，三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,

PA=1,AB=1,AC=2,ZBAC=60°.

(I)求三棱锥P-ABC的体积；

(II)证明：在线段PC上存在点M,使得并求工的PM值.

【解析】

(I)解：由题设AB=1,AC=2,ABAC=60"

1J3

可得S&BC=2，A8AC-sin60°=^-

22

由PAJ.面48c

可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA=1

1

所以三棱锥P-ABC的体积V=--S-PA=—

3MHC6

(H)证：在平面ABC内，过点8作8N1AC,垂足为N,过N作MNHPA交.PC于M,

连接8M.

由24J•面ABC知PA_LAC,所以MNJ,AC.由于BNc〃N=N,故AC上面M6N,

又BMu面MBN,所以

13

在直角A8AN中，AN=ABcosZBAC=-,仄而NC=AC-AN=3.由MN〃PA,得

22

PMAN_I

MCNC-3-

【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（H）

问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想

象能力、构造能力和运算能力.

18.12015高考北京，文18］（本小题满分14分）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VABJ.

平面ABC,AVAB为等边三角形，

AC_LBC且AC=BC=J5,O,M分别为AB,VA的中点.

（I）求证：VB〃平面MOC；

(II)求证：平面MOC，平面VAB；

(III)求三棱锥V-ABC的体积.

【答案】(I)证明详见解析；(II)证明详见解析；(IH)

【解析】

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体

积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力'空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计

算能力.(D在三角形ABV中，利用中位线的性质得,最后直接利用线面平行的判定得到结论;

(II)先在三角形ABC中得到。。，.旬，再利用面面垂直的性质得。C_L平面VAB,最后利用面面垂直

的判定得出结论，(HI)将三棱锥进行等体积转化，利用尸.；十=4_®,先求出三角形VAB的面积，由

于。平面VAB,所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.

试题解析：(I)因为。，迎分别为AB,Vh的中点，

所以。出”“力.

又因为P3U平面MOC,

所以「3"平面MOC.

(II)因为AC=8。，。为AB的中点，

所以。CJ_A8.

又因为平面VAB±平面ABC,且。Cu平面ABC,

所以。CJ_平面VAB.

所以平面MOCL平面VAB.

(HI)在等腰直角三角形AC8中，AC=BC=C,

所以AB=2,。。=1.

所以等边三角形VAB的面积SAVAB=G.

又因为。。_1_平面丫人8,

所以三棱锥C-VAB的体积等于-3xOCxSAVVAll=—3.

又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，

n

所以三棱锥V-ABC的体积为—.

3

考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公

式.

【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题.证明线

面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边

形.证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直

得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误.求几何体的体积的方法主

要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法.

19.12015高考福建，文20］如图，A8是圆。的直径，点C是圆。上异于4,8的点，PO垂

直于圆O所在的平面，且PO=OB=1.

(I)若。为线段AC的中点，求证AC_L平面PDO；

(II)求三棱锥P-A8C体积的最大值；

(III)若BC=正，点E在线段P8上，求CE+OE的最小值.

【答案】（I）详见解析；（II）（III）Y1±

32

【解析】解法一：（I）在AAOC中，因为OA=OC,D为AC的中点，

所以ACLOD.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO_LAC.

因为DOnPO=O,所以AC,平面PDO.

（II）因为点C在圆0匕

所以当COJ_AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.

又AB=2,所以AABC面积的最大值为，x2xl=l.

2

又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为-xlxl=-.

33

（川）在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90\所以PB=Jf+F=亚.

同理PC=J^,所以PB=PC=BC.

在三棱锥P—ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面，如图

所示.

当O,E,C'共线时，CE+0E取得最小值.

又因为0P=0B,C'P=C'B,所以0C'垂直平分PB,

即E为PB中点.从而0C'=0E+EC'=Y2+逅=诋+、,

222

解法二：（I）、（II）同解法一.

（川）在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90°,

所以NOPB=45°,PB=Vl2+12=V2.同理PC=J^.

所以PB=PC=BC,所以NCPB=60°.

在三棱锥P—ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面，如图

所示.

当O,E,C'共线时，CE+0E取得最小值.

所以在AOC'P中，由余弦定理得：

OC,2=l+2-2xlxV2xcos(45^+60°)

fV21V2

1+2-2V2-------X----------------X

222

=2+6

从而0C'=12+百=一.

所以CE+OE的最小值为&+

2

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积.

【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用

面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，

当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另••个量的最值；若两个量都不

确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空

间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离

最短求解.

20.【2015高考广东，文18](本小题满分14分)如图3,三角形PDC所在的平面与长方形

ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,

AB=6,BC=3.

(1)证明：BC〃平面PDA；

(2)证明：BC1PD；

(3)求点C到平面PDA的距离.

IK

'-----------------------H

国3

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）—.

2

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是长方形可证BC〃AD,进而可证BC〃平面PDA；（2）先

证BC1CD,再证BCJ•平面PDC,进而可证BC1PD；（3）取CD的中点E,连结AE

和PE,先证PE_L平面ABCD,再设点C到平面PDA的距离为/?,利用

V：极锥C-PDA=V枝锥P_ACD可得〃的值，进而可得点C到平面PDA的距离•

试题解析：（1）因为四边形ABCD是长方形，所以BC〃AD,因为BC（Z平面PDA,ADu

平面PDA,所以BC〃平面PDA

（2）因为四边形ABCD是长方形，所以BC_LCD,因为平面PDC_L平面ABCD,平面

PDCn平面ABCD=CD,BCu平面ABCD,所以BCJ.平面PDC,因为PDu平面

*3

（3）取CD的中点E,连结AE和PE,因为PD=PC,所以PEJ.CD,在RtAPED中，

PE=VPD2-DE2

=^42-32=V7,因为平面PDC_L平面ABCD,平面PDC口平面ABCD=CD,PEu平

面PDC,所以PE_L平面ABCD,由（2）知：BC_L平面PDC,由（1）知：BC//AD,

所以ADJ.平面PDC,因为PDu平面PDC,所以AD_LPD,设点C到平面PDA的距离

为h，因为V_：极锥c_PDA=V.：棱维P-ACD，所以§S^PDA•'=§S.ACD•PE，即

1x3x6x77

cDC—,所以点到平面的距离是亚

/LSAACD，PE：2CPDA

SAPDA-X3X422

2

【考点定位】1、线面平行：2、线线垂直；3、点到平面的距离.

【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中

档题.证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形

的中位线和构造平行四边形.证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂

直可山面面垂直得到，但山面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，

否则很容易出现错误.点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法

来解决.

21.12015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖腌.在如图所示的阳马

P-A8C。中，侧棱PO_L底面A8c。，且PO=CC,点E是PC的中点，连接DE,BD,BE.

(I)证明：平面P8C.试判断四面体EBC。是

否为鳖席，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；

V

(n)记阳马P-A8c。的体积为匕，四面体E8C。的体积为匕，求」的值.

*2

【答案】(I)因为PO_L底面ABC。，所以尸O_LBC.由底面A8CO为长方形，有8C_LCO,

而P£)nCO=。，所以8CJ.平面PC。.OEu平面PCO,所以8clOE.又因为PD=CD,

点E是PC的中点，所以DE1PC.而PCp|8C=C,所以。EJL平面P8c.四面体EBC。是一

个鳖麻(II)乜=4.

V,

【解析】(I)因为底面48C。，所以POLBC.山底面4BC。为长方形，有8C_LC。，

而PZ)nCO=。，所以BC_L平面PCO.CEu平面PCO,所以8C_LOE.又因为PZ)=C。，

点E是PC的中点，所以CEJ.PC.而PCD8C=C,所以£>E_L平面尸8c.由BC_L平面

PCD,OEJ_平面尸8C,可知四面体E8CO的四个面都是直角三角形，即四面体E8CO是一

个鳖腌，其四个面的直角分别是/BCD,ZBCE,/DEC,NDEB.

(II)由已知，尸。是阳马P-A8CD的高，所以K=1S“址/。=,8(7(。尸。；由(I)

133

知，OE是鳖腌D-BCE的高，8c_LCE,所以匕=15Ase£-DE=1BC-CE-OE.在RtAPOC

中，因为PO=CO,点E是PC的中点，所以DE=CE=—CD,于是

2

V,_gBC,CD,PD_20PD_4

匕-BCCEDECEDE

6

【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何

体的体积，属中高档题.

【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是

考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间

的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解.结合

数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几

何注入了新的活力.

22.[2015高考湖南，文18]（本小题满分12分）如图4,直三棱柱45C-4用6的底面是

边长为2的正三角形，E,尸分别是6c,cq的中点。

（I）证明：平面HEF,平面g8cC；

（II）若直线与平面A所成的角为45°,求三棱锥尸一AEC的体积。

【解析】

试题分析：（I）首先证明AE1BC,得到平面BfCC，利用面面垂直

的判定与性质定理可得平面AEFJ.平面A8CG；（II）设AB的中点为D,证明直线NC4Q直

线AC与平面所成的角，由题设知NC4Q=45。，求出棱锥的高与底面面积即可求

解几何体的体积.

试题解析：(I)如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以又E是正三角形ABC的边8C的中点，

所以AE_L8C,因此AEJ.平面B13CG，而AEu平面AEF,

所以平面AE尸!平面B.BCC,。

(II)设A8的中点为D,连接因为A48C是正三角形，所以CD_LA8,又三棱

柱ABC-A&G是直三棱柱，所以COLA4,因此81平面448#,于是NC4Q直线

4c与平面4A8g所成的角，由题设知ZCA,D=45°,

所以AQ=CO=—AB=V3,

3

_______________I万

在用A4AQ中，A4]=/厅_.02=厅^=0,所以尸。=544=手

故三棱锥尸-AEC的体积V=1SAECX尸C=」xY3xY2=如。

3we32212

【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质

【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形

中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础.由于''线线垂直线面垂

直"''面面垂直"之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是

化解空间垂直关系难点的技巧所在.求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.

23.【2015高考山东，文18]如图，三棱台OEF—A8C中，AB=2DE,G,H分别为

AC,8C的中点.

⑴求证：BD//平面FGH；

(II)若CFLBC,A8L8C,求证：平面8C。J"平面EG”.

【答案】证明见解析

【解析】

(I)证法一：连接。G,CD设。cGF=M，连接M”,在三棱台。环一48。中,

AB=2DE,G分别为AC的中点，可得DF//GC,DF=GC,所以四边形OECG是平行

四边形，则M为CO的中点，又“是8c的中点，所以HM//BD,

又“Mu平面FG",BDU平面FGH,所以8。//平面FGH.

证法二：在三棱台OEF—ABC中，由8C=2EF,”为8C的中点,

可得BHHEF,BH=EF,所以HBEF为平行四边形，可得BEIIHF.

在MB。中，G,H分别为AC,3c的中点,

所以GH//AB,又GHCHF=H,

所以平面FGH//平面ABE。,

因为BOu平面ABE。，

所以BD//平面FGH.

(II)证明：连接因为G,"分别为AC,BC的中点，所以G/7//48,由A8_LBC,得

GH1BC,又“为8c的中点，所以£尸//"(7,石/=”。,因此四边形石尸。”是平行四边

形,所以CF//HE.

又所以HE上BC.

又HE,GHu平面EGH,HEcGH=H,所以BCJ_平面EG",

又BCu平面BCD,所以平面平面EG".

【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.

【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的

平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键

是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一

步得到线面关系、面面关系.

本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关

系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函

数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.

24.【2015高考陕西，文18］如图1,在直角梯形43C。中，

JI1

AD//BC,ZBAD=-,AB=BC=-AD=a,E是AO的中点，。是OC与8E的交点，

22

将A48E沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥A,-BCDE.

(I)证明：。。_1_平面4。。；

(II)当平面ABE，平面8CDE时，四棱锥4—6COE的体积为36啦，求a的值.

【答案】(I)证明略，详见解析；(II)a=6.

【解析】

14

试题分析：(I)在图1中，因为A8=8C=-AO=a,E是AO的中点，ZBAD=-,所

22

以四边形ABCE是正方形，故又在图2中，BE1AtO,BE1OC,从而

BEJ.平面4。。，又DE//BCRDE=BC,所以CD〃BE,即可证得C£>J_平面

A,OC；

(II)由已知，平面48EJ,平面8CDE,且平面A18£n平面8C£>E=8E,又由(I)知，

At01BE,所以4。，平面8CDE,即4。是四棱锥4—8COE的高，易求得平行

四边形BCDE面积S=BCAB=a2,从而四棱锥A.-BCDE的为

1B5

V=—xSxA0=—a，,由—a3—36^2,得。=6.

3166

171

试题解析：⑴在图1中，因为==-40=a,E是AO的中点ZBAD=—，所以

22

BE1AC,

即在图2中，BELA{0,BELOC

从而BE±平面A0C

又CD//BE

所以CDJ_平面A0C.

(II)由已知,平面46EJ.平面8cDE,

且平面ABEfl平面BCDE=BE

又由(I)知，A}01BE,所以4。J_平面8cOE,

即4。是四棱锥A-BCDE的高，

由图1可知，A,O=—AB^—a,平行四边形BCOE面积5==

122

从而四棱锥4一8COE的为

V=—xSxA.O=-x(z2x^-a=^-«3,

31326

由注/=36&,得。=6.

6

【考点定位】1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间儿何体的体积.

【名师点睛】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定

理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割

补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.

25.[2015高考四川，文18]一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1)请按字母下，G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)

(II)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.

(III)证明：直线。FJ■平面BEG

【解析】(I)点F,G,H的位置如图所示

D

（II评面BEG〃平面ACH.证明如下

因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC〃尸G,BC=FG

又FG〃EH,FG=EH,所以BC〃EH,BC=EH

于是BCEH为平行四边形

所以BE//CH

又CHU平面ACH,BEZ平面ACH,

所以8E〃平面ACH

同理BG〃平面AC”

又BEdBG=B

所以平面BEG〃平面ACH

（HI）连接FH

因为ABCD—EFGH为正方体，所以DH_L平面EFGH

因为EGU平面EFGH,所以。”_LEG

又EGJLFH,EGCFH=O,所以£G_L平面BFHD

又OFU平面BFDH,所以DFLEG

同理DF1BG

又£GCBG=G

所以DF_L平面BEG.

【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基

础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.

【名师点睛】本题引入了几何体表面的折展问题，对空间想象能力要求较高.立体几何的

证明一定要详细写出所有步骤，列举（推证）出所有必备的条件，如在（H）中证明两个平面平行

时，除了找到两组平行线外，一定不能忘掉“相交”这个条件；同样，（III）中证明线面垂直，

也不能忘掉“EGnBG=G”这个条件.属于中档题.

26.[2015高考新课标1,文18]（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与

BD交点,BE1^^ABCD,

(I)证明：平面AEC，平面；

(II)若NABC=120°,AE1EC,三棱锥E—ACO的体积为逅，求该三棱锥的侧面积.

3

【答案】(I)见解析(II)3+2法

【解析】

试题分析：(I)由四边形A8CD为菱形知4cABD,由8£人平面A8CD知ACABE,由线面垂直

判定定理知ACA平面BED,由面面垂直的判定定理知平面A