2017届师范附属中学高三上学期第二次模拟考试文科数学详细答案版

2017101．设全集𝑈={−1234,0},集合𝐴={−12,0𝐵={−34,0},则(𝐶𝑈𝐴𝐵= 【答案】【解析】本题主要考查集合的基本运算.由全集𝑈1234,0},集合𝐴{−12,0𝐵={−34,0},则𝐶𝑈𝐴={−34}，则(𝐶𝑈𝐴𝐵={−34}2．函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−𝑥) C.(−∞,0]∪[1, D.(−∞,0)∪(1,【答案】【解析】本题主要考查函数的概念.要使函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−𝑥)有意义，则𝑥2−𝑥>0，得𝑥<0或𝑥>1D.3．已知函数𝑓(𝑥)=

e𝑥,𝑥≤

则𝑓(3)=𝑓(𝑥−1),𝑥> 【答案】【解析】本题主要考查分段函数.依题意，函数𝑓(𝑥)=

e𝑥,𝑥≤

则𝑓(3)==𝑓(𝑥−1),𝑥> √√𝑓()=24．“𝑚=1”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6𝑚𝑥+6在区间3]上为减函数” 【答案】【解析】本题主要考查二次函数及充分条件与必要条件.若函数𝑓(𝑥)=𝑥26𝑚𝑥+6在区间（−∞，3]上为减函数，则3𝑚≥3，得𝑚≥1，故“𝑚=1”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6𝑚𝑥+6在区间(−∞,3]上为减函数”C.5．若函数f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中a,b(a>0a≠1)为常数, 【答案】问题的能力.解题时先根据已知的函数图象得出a,b的取值范围,再根据指数函数的性质由图可知,f(x)=loga(x+b)是单调递减函数,0<a<1,又因为f(x)=loga(x+b)的图象x轴的交点的横坐标在(0,1)内,0<b<1,a,b的特点,g(x)=ax+b的B项所示.6．已知𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑥𝑔(𝑥)=ln𝑥𝑥+1,命题𝑝𝑥∈𝐑,𝑓(𝑥)>0,命题𝑞𝑥0∈(0,+∞),使得𝑔(𝑥0)=0,则下列说法正确的是A.p是真命题:¬𝑝𝑥0∈𝐑,𝑓(𝑥0)<B.p是假命题:¬𝑝𝑥0∈𝐑,𝑓(𝑥0)≤C.q是真命题:¬𝑞𝑥∈(0𝑔(𝑥)≠D.q是假题:¬𝑞𝑥∈(0𝑔(𝑥)≠【答案】【解析】本题主要考查全称量词与存在量词.𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1,由𝑓′(𝑥)>0得𝑥>0,𝑓′(𝑥)<0得𝑥<0，即当𝑥=0时,函数𝑓(𝑥)取得极小值,同时也是最小值𝑓(0)=e00=10=1>0，得∀𝑥∈𝐑,𝑓(𝑥)>0成立，即𝑝是真命题。𝑔(𝑥)=ln𝑥𝑥+1在(0上为增函数,当𝑥→0时,𝑔(𝑥)<0𝑔(1)=0+1+1=2>0，则∃𝑥0∈(0,使得𝑔(𝑥0)=0成立，即命题𝑞是真命题。则￢𝑝𝑥0∈𝐑,𝑓(𝑥0)⩽0，￢𝑞𝑥∈(0,+∞),𝑔(𝑥)≠0CC.7．将函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥

6A.(−π, B.(5π, C.(2π, D.(−π, 【答案】【解析】本题主要考查三角函数图像变换及三角函数性质.将函数𝑓(𝑥sin(𝑥

1图象上各点的纵坐标不变,2倍,得𝑔(𝑥)=12

𝑥+6

2π=𝑘π，𝑘∈𝐙,得可得𝑥=2𝑘ππ，𝑘∈𝐙，令𝑘=0𝑥=−π 3

8．已知函数𝑓(𝑥

12

𝑥+𝑥cos𝑥,则其导函数𝑓′(𝑥) 【答案】)=

12

𝑥+𝑥cos𝑥𝑓′(𝑥)

12

cos𝑥+cos𝑥，得𝑓′(−𝑥)=

1(−𝑥)2cos(−𝑥)+cos(−𝑥)2

12

cos𝑥+cos𝑥𝑓′(𝑥)，得其导函数𝑓′(𝑥)为偶函数，图象关于𝑦A，B，当𝑥时,𝑓′(𝑥)→+∞，故排除D1R上的奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+1)=𝑓(−𝑥),当𝑥∈(02]时,𝑓(𝑥)=log2(𝑥+1则𝑓(𝑥)在区间

3)2A.减函数且𝑓(𝑥)< B.减函数且𝑓(𝑥)>C.增函数且𝑓(𝑥)> D.增函数且𝑓(𝑥)<【答案】【解析】本题主要考查函数的性质.依题意，设𝑥∈

3)，则𝑥−1∈2

1)，则𝑓(𝑥)=23𝑓(−𝑥+1)=−𝑓(𝑥−1)=−log2(𝑥−1+1)=−log2𝑥<0，故𝑓(𝑥)在区间(12)内是减函数且𝑓(𝑥)<0A.3,𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)在𝑥∈[𝑎𝑏]上有两个不同的零点,则称𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)在[𝑎𝑏]“关联函数”,区间[𝑎𝑏]称为“关联区间”.若𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥4与𝑔(𝑥)=2𝑥𝑚在[0,3]上是“关联函数”,m的取值范围为

9, 4

9, C.(−

,

9,4【答案】【解析】本题主要考查新定义及函数零点.若𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+4与𝑔(𝑥)=2𝑥+𝑚在[0,3]上是“关联函数”,故函数𝑦=ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥𝑔(𝑥)=𝑥25𝑥4−𝑚在[0，3]上有ℎ(0)≥ 4−𝑚≥两个不同的零点，故有{ℎ(3)≥0，即{−2−𝑚≥ ，解得−9＜𝑚≤−2，故 25−25+4−𝑚< ℎ()< 5已知数列{𝑎𝑛}是公差不为零的等差数列,𝑎1=2且𝑎2𝑎4𝑎8成等比数列.则数列的通项 【答案】𝑎𝑛=【解析】本题主要考查等差数列.数列{𝑎𝑛}是公差𝑑≠0的等差数列，由𝑎2,𝑎4𝑎8成等比数列，得𝑎42=𝑎2𝑎8，得(2+3𝑑)2=(2+𝑑)(2+7𝑑)，化为2𝑑2−4𝑑=0，解得𝑑=2或𝑑=0(舍).得𝑎𝑛=2+2(𝑛−1)=2𝑛，故填𝑎𝑛=2𝑛.12．设函数𝑓(𝑥)={𝑥2𝑏𝑥+𝑐𝑥≤0,若𝑓(−4)=𝑓(0𝑓(−2)=−2,x2,𝑥>𝑓(𝑥)=𝑥的解的个数 【答案】【解析】本题主要考查函数的零点.当𝑥⩽0时𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，由𝑓(−4)=𝑓(0)=𝑓(−2)=−2，所以𝑓(−4)=164𝑏+𝑐=𝑐，得𝑏=4，𝑐=2，则当𝑥⩽0时𝑓(𝑥)=𝑓(−2)=4−2𝑏+𝑐=𝑥2+4𝑥+2，方程𝑓(𝑥)=𝑥，即𝑥2+3𝑥+2=0，解得两根为−1−2.当𝑥>0𝑓(𝑥)=𝑥，即𝑥=2.x的方程𝑓(𝑥)=𝑥3. π8【解析】本题主要考查几何概型．根据几何概型得：取到的点到M1𝑃=

𝑆=𝑆

=

πππ S,A,B,CO表面上的点,𝑆𝐴⊥ABC,𝐴𝐵⊥𝐵𝐶𝑆𝐴=𝐴𝐵=1𝐵𝐶= 【解析】本题主要考查空间几何体的表面积.由𝑆𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，得四面体𝑆𝑆𝐴=𝐴𝐵=1𝐵𝐶=√2,得2𝑅=√𝑆𝐴2+𝐴𝐵2𝐵𝐶2=√2,得球𝑂的表面积𝑆=4π𝑅2=15．直线𝑦=𝑚(𝑚>0)与函数𝑦=|log2𝑥|的图象交于𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2、𝑦2)(𝑥1<𝑥2),下 ①0<𝑥1<1<𝑥2;②𝑥1𝑥2=1;③2𝑥1+2𝑥2<4;④2𝑥1+2𝑥2>𝑥=1处取得最小值0，再画出直线𝑦=𝑚,两图象交于𝐴𝐵,如右图(A在B左边)时,𝐴(𝑥1𝑦1),𝐵(𝑥2𝑦2),由图可知,0<𝑥1<1<𝑥2，由𝑦1=𝑦2,则−log2𝑥1=log2𝑥2𝑥1𝑥21,所以𝑥1𝑥22，根据基本不等式：2𝑥12𝑥22√2𝑥1+𝑥22√224𝑥1≠𝑥2,所以,2𝑥12𝑥2>46某举办“未来主打星”选秀活动,过程分为初赛、复赛和决赛,经初赛进40名选手被平均分成甲、乙两个班.40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎5名出现并列,则一起进入决赛;另外,95票的选手在决赛时拥有“优先【答案】(Ⅰ)甲班的大众评审的支持票数的中位数是76+772乙班的大众评审的支持票数的中位数是82+84=2(Ⅱ)进入决赛的选手共6名,其中拥有“优先权”的选手共3名,为拥有“优先权”的选手编号为1,2,3,其余3人编号为A,B,C,320种,列举如下:其中拥有“优先权”的选手恰有1名的情况共9种,如下:∴所求概率为𝑃=9【解析】题主要查茎与古典型.（）将班的大众审的支票数从到大（）在△ABC中,A、B、C所对的边分别是𝑎𝑏𝑐且𝑎2+𝑐2−𝑏2=12(I)求sin2𝐴+𝐶cos2𝐵的值2(II)若𝑏=2Δ𝐴𝐵𝐶面积的最大值【答案】(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理可知,𝑎2+𝑐2−𝑏2=

+

−

=1𝑎𝑐,∴cos𝐵= 又在△ABC中𝐴𝐵+𝐶=∴sin2𝐴+𝐶+cos2𝐵=sin2π−𝐵+cos2𝐵=cos2𝐵+cos2𝐵=1+cos𝐵+2cos2𝐵− =2cos2𝐵+cos𝐵− 又cos𝐵=1,∴sin2𝐴+𝐶cos2𝐵=− (Ⅱ)∵b=2∴由

+

−

=1𝑎𝑐可知2

+

−4

12即1𝑎𝑐≥2𝑎𝑐−4,∴𝑎𝑐≤ ∵cos𝐵=1,∴sin𝐵=4

18√15=√15.当且仅当时取得𝑎=𝑐Δ𝐴𝐵𝐶=2𝑎𝑐⋅sin𝐵≤2⋅3⋅ 3余弦定理求得cos𝐵=1，由sin2𝐴+𝐶+cos2𝐵=1+cos𝐵+2cos2𝐵−1求得所求的值

+

−4

1𝑎𝑐，利用基本不等式求得𝑎𝑐≤2

8，由cos𝐵=3

1,求得sin𝐵=4√15，代入三角形面积求得三角形面积的最大值4已知三棱柱𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1中,𝐶𝐶1⊥ABC,AB=AC,D,E,F分别为𝐵1𝐴,𝐶1𝐶𝐵𝐶的中⊥−𝐶𝐶1⊥ABC,∴𝐵𝐶𝐶1𝐵1是矩形 ∴𝐷𝐺//2𝐵𝐵1,𝐶𝐸//2 _∴𝐷𝐺//𝐶𝐸𝐷𝐺𝐶𝐸是平行四边形,∴__∵GC⊂ABC,𝐷𝐸⊄(II)三棱柱𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1中,𝐶𝐶1⊥∴𝐴𝐹⊥∵𝐴𝐵=𝐴𝐶𝐹为𝐵𝐶中点,∴𝐴𝐹⊥又𝐵𝐶∩𝐶𝐶1=𝐶,∴𝐴𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐶1又𝐴𝐹⊂平面𝐴𝐸𝐹,∴平面𝐴𝐸𝐹⊥平面 DG,CG,D,EAB1,CC1的中点,证得𝐷𝐺2𝐵𝐵1𝐶𝐸2𝐵𝐵1，又𝐷𝐸∥𝐺𝐶 DE//ABC.(II)由𝐶𝐶1⊥ABC,得𝐴𝐹𝐶𝐶1𝐴𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1,利用面面垂直的判定定理证得平面𝐴𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐶1用部分自然构造如图的数表:用𝑎𝑖𝑗(𝑖≥𝑗)ij个数(𝑖𝑗∈𝐍+),使得𝑎𝑖1𝑎𝑖𝑖=𝑖.每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第𝑛(𝑛∈𝐍+)行的第二个数为𝑏𝑛(𝑛≥2).(I)写出𝑏𝑛+1与𝑏𝑛的关系,并求𝑏𝑛(𝑛≥()

}前𝑛项和为𝑇,且满足

=1,𝑐=

,(𝑛≥2),求证

<

【答案】(1)由已知得𝑏𝑛+1=𝑏𝑛+𝑛,𝑛≥∴当𝑛≥2时𝑏3−𝑏2=𝑏4−𝑏3=⋯𝑏𝑛−𝑏𝑛−1=𝑛−累加得𝑏𝑛𝑏2=2+3𝑛−𝑛(𝑛−(2)由(1)𝑛≥2时

∴𝑏𝑛

+1,(𝑛≥ 𝑛−𝑐𝑛=𝑛(𝑛−1)= −𝑛−∴𝑇𝑛=𝐶1+𝐶2+𝐶3+..... =1+2[(1

)+(−)+

− 𝑛− =1+2(1−𝑛)=3−𝑛<【解析】本题主要考查数列的通项及数列求和.(1)由已知得𝑏𝑛+1=𝑏𝑛𝑛,𝑛≥2

(𝑛≥2).(2)由(1)𝑛≥2时

=2(

1−)𝑇𝑛，利用放缩放证得𝑇𝑛20．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑥∈[−1,2],且函数𝑓(𝑥)在𝑥=1和𝑥=−23取得极值(II)对任意𝑥∈[−1,2],方程𝑓(𝑥)=2𝑐存在三个实数根,c的取值范围【答案】(1)𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+

2)= 𝑎=−

𝑓′(1)= 𝑏=

𝑎=−

𝑏=(2)原题等价于函数与𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=2𝑐两个图象存在三个交点由(1)知𝑓′(𝑥)=3𝑥2−𝑥−2=(3𝑥+2)(𝑥−∴𝑥∈[−1,2]时,令𝑐+2

≤2𝑐<𝑐+ ∴2≤𝑐<

2)= 𝑓′(1)=ab的值.(2)原题等价于函数与𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=2𝑐点,求导后利用函数图像得𝑐2

≤2𝑐<𝑐

22c的取值范围21．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎(𝑥−1)其中𝑎>(I)求函数𝑓(𝑥)的单调区间(II)若直线𝑥𝑦−1=0是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线,求实数𝑎的值(III)设𝑔(𝑥)=𝑥ln𝑥−𝑥2𝑓(𝑥),求𝑔(𝑥)在区间[1e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数3【答案】(Ⅰ)函数定义域为00,𝑓′(𝑥)=3令𝑓′(𝑥)>0,解得令𝑓′(𝑥)<0,解得0)和(2(−∞,

=(Ⅱ)设切点坐标为(𝑥0𝑦0),则

𝑥0−𝑦0−1=3𝑎(2−𝑥0)=3 解得𝑥0=1,𝑎=(Ⅲ)𝑔(𝑥)=𝑥ln𝑥−𝑎(𝑥−则𝑔′(𝑥)=ln𝑥+1−解𝑔′(𝑥0,得𝑥=所以,在区间(0,e𝑎−1)上,𝑔(𝑥)为递减函数在区间(e𝑎−1,+∞)上,𝑔(𝑥)为递增函数当