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文档简介

2一次函数与正比例函数北师大版八年级数学上册1.经历一次函数概念的抽象过程,理解正比例函数和一次函数的概念,体会模型思想,发展符号意识.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.3.能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.4.能利用一次函数解决简单的实际问题.通过实例让学生经历思考,分析问题中量与量之间的关系,提高学生的归纳概括能力和辨别能力.学习目标重点难点准备好了吗?一起去探索吧!一次函数与正比例函数

复习回顾函数问题

表示函数的方法一般有哪些呢?

一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.图象法、列表法和关系式法.(2)当购买8支签字笔时,总价为

元.(1)y随x变化的关系式y=

是自变量,

的函数;复习回顾

购买一些签字笔,单价3元,总价为y元,签字笔为x支,根据题意填表:3xxyx24

12345……3691215x(支)y(元)复习回顾求下列函数中自变量x的取值范围:x取全体实数探究情景一:某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.

(1)

计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg,5kg时弹簧的长度,并填入下表:

012345

x/kgy/cm33.544.555.5探究情景一:某弹簧的自然长度为3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(2)你能写出y与x之间的关系吗?y=3+0.5x

它们之间的数量关系是:弹簧长度=原长+增加的长度当x=0时,y=3;当x=1时,y=3+1×0.5=3.5;当x=2时,y=3+2×0.5=4;当x=3时,y=3+3×0.5=4.5;...因此,x与y之间的关系式为:做一做情景二:某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.

050100150200300

汽车行使路程x/km耗油量

y/L

(1)填写下表:0612182436做一做

情景二:某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?y=0.12x(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?z=60-0.12xy=0.12xy=3+0.5x

z=60-0.12x上面的三个函数关系式,有什么共同点?(1)都是含有两个变量x,y的等式;(2)x和y的指数都是一次;(3)自变量x的系数都不为0.共同特点:思考

若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称

y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.一次函数的结构特征:(1)k≠0;(2)x的次数是1;(3)常数项b可以为一切实数.归纳函数是一次函数关系式为:y=kx+b(k,b为常数,k≠0)函数是正比例函数关系式为:y=kx(k为常数,k≠0)一次函数与正比函数的关系:正比例函数是一种特殊的一次函数.(即当常数b=0时)一次函数正比例函数思考做一做下列关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数?(1)y=3πx;(2)y=8x-6;(3)y=(4)y=2-8x;(5)y=5x2-4x+1;

(6)y=8x2+x(1-8x).解:(1)是一次函数,也是正比例函数;(2)是一次函数,不是正比例函数;(3)不是一次函数,也不是正比例函数;(4)是一次函数,不是正比例函数;(5)不是一次函数,也不是正比例函数;(6)是一次函数,也是正比例函数.做一做已知y-2与x成正比例,且当x=1时,y=7,求y与x之间的函数关系式,并求出当x=-2时,y的值.解:由y-2与x成正比例,设y-2=kx(k≠0).因为当x=1时,y=7,所以7-2=k,得k=5.所以y与x之间的函数关系式为y=5x+2.当x=-2时,y=5×(-2)+2=-8.所以当x=-2时,y的值是-8.例1

写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?典型例题(1)汽车以60

km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;

解:由路程=速度×时间,得y=60x.y是x的一次函数,也是x的正比例函数.例1

写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?典型例题(2)圆的面积y

(cm2)与它的半径x

(cm)之间的关系;

解:由圆的面积公式,得y=πx2.

y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.例1

写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?典型例题(3)某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,x

h后这个水池有水y

m3.

解:这个水池每时增加5m3水,xh增加5xm3水,

因而有

y=15+5x.y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.例2

自2019年9月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入–800)×20%;……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240(元).典型例题(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时,写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式.

解:(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时,

y=(x

-800)×20%,即y=0.2x-160;典型例题(2)某人某次取得劳务报酬3500(元),他这笔所得应预扣预缴税款多少元?

解:(2)当x=3500时,

y=0.2×3500-160=540(元);例2

自2019年9月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入–800)×20%;……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240(元).典型例题(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元,那么此人这次取得的劳务报酬是多少元?先计算出此人的工资在哪一档.解:(3)因为(4000-800)×20%=640(元),600<640,所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元.

设此人这次取得的劳务报酬是x元,则600=0.2x-160,解得x

=3800.所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.例2

自2019年9月1日起,我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0;每次收入超过800元但不超过4000元的,预扣预缴税款=(每次收入–800)×20%;……如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240(元).随堂练习抢答B1.下列变量之间的关系中,一个变量是另一个变量的正比例函数的是(

)A.正方形的面积S随着边长x的变化而变化.B.正方形的周长C随着边长x的变化而变化.C.水箱有水10L,以0.5L/min的流量往外放水,水箱中的剩余水量V(L)随着放水时间t(min)的变化而变化.D.面积为20的三角形的一边a随着这条边上的高h的变化而变化.S=x2C=4xV=10-0.5t随堂练习抢答2.若5y+2与x-3成正比例,则(

)A.y是x的正比例函数.B.y是x的一次函数.C.y与x没有函数关系.D.以上都不正确.B解析:因为5y+2与x-3成正比例,所以可设5y+2=k(x-3),其中k≠0,整理得

,所以y是x的一次函数.故选B.随堂练习抢答3.

若y=(m-3)x|m|-2+m+n是y关于x的一次函数,则m=

;若它为正比例函数,则m=

,n=

.

解析:根据y=(m-3)x|m|-2+m+n是y关于x的一次函数,得|m|-2=1且m-3≠0,则m=-3;若它为正比例函数,则m=-3;m+n=0;解得n=3.-3-33利用定义求一次函数y=kx+b的解析式时,必须保证:(1)k≠0;(2)自变量x的指数是“1”.随堂练习抢答4.已知函数y=(m+1)x+m2-1,当m取什么值时,y是x的一次函数?当m取什么值时,y是x的正比例函数?解:由y是x的一次函数,可得m+1≠0,解得m≠-1,所以当m≠-1时,y是x的一次函数.由y是x的正比例函数,可得m+1≠0且m2-1=0.解得m=1,所以当m=1时,y是x的正比例函数.一次函数与正比

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