智能优学-三角形中常见辅助线方法

成为中国更值得信赖的教育品牌智能优学教师辅讲学编：学姓：授主授日及段

年级辅科：三角形中的常用辅助线

九

课时数学教：教内一【点析全等三角形是初中数学中的重要内容之一学习其他知识的基础三角形全等的定理有、AAS和HL，果所给条件足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析推导出所缺的条件然后再证明些较难的证明题要构合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。人说几何很困难难点就在辅助辅助线如何添？把握定理和概念要刻苦加钻研找出规凭经验。找全等三角形的方法：（1可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三形常辅线作：图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线加垂线，三线合一试试看。三角形中有中线，延长中线等中线。由中点应想到利用三角形的中位线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。智能优学SmartEducation

成为中国更值得信赖的教育品牌二例讲例1、遇到角平分线，可以自角分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折考知识点常常是平分线的性质定理或逆定理。例：图已，图AC平∠，，AB>AD,证∠∠ADC=180°.练习：如图，

，

M

是

的中点，

平分

ADC

．（）连接AM则AM是平分BAD

？请你证明你的结论．（）段DM与AM有样位置关系？请说明理由．例2、有和角平分线垂直的线段，通常把这条线段延长。例：图在eq\o\ac(△,Rt)ABC中＝AC,BAC＝90°∠＝∠，CE⊥延于E。求：＝2CE分析：要证＝2CE，到要构线段2CE同时CE与∠的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，交于。∵⊥（已知）∴∠BEF＝BEC＝90（垂直的定义）)在△与△中∵

BEBE(共边)已证)∴△BEF≌△BEC（ASA）CE=FE=

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CF（全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90°⊥（已知∴∠＝CAF90°∵∠1＋∠BDA＝°∠＋∠＝90°∴∠BDA∠BFC在△与△中CAF已)BFC已)

＝已∴△ABD≌△ACF（）∴＝（全三角形对应边相等）∴＝练习：如图，在中已知，AC=10AD平分BACBD⊥AD于D，•BC中．求DE的长智能优学SmartEducation

成为中国更值得信赖的教育品牌例3有形中线时，常延长倍中线，构造全等三角形。例：图AD为△的中，证AB＋AC＞2AD。分析：要证＋＞2AD，图到：ABBD＞＋CD＞AD，以有＋＋BD＋CD＞＋＝，左边比要证结论多＋，不能直接证出此题，而由AD到要构造2AD，即加倍中线，把所要证线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，接BE则AE2AD∵为△ABC的线（已知）∴＝（中线定义）在△ACD和△中

A

BDCD)

B

D

CEDB)AD()∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA（全等三角形对应边相）∵在△中：AB＋＞AE（角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：如图，已知是△ABC边BC上中线，分别以AB边AC边直角边各向形外作等腰直三角形，求证EF＝2AD。AFE例点应想到利用三角形的中位线例：图AD是ABC的线是AD的点F是延线与AC的点。

B

D

C智能优学SmartEducation

成为中国更值得信赖的教育品牌求证：

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练习：如图，在四边形ABCD中AC⊥BDBD=12，AC=16EF分别为，的中，求的长.例、线段垂直平分线，常向两端把线连例：图eq\o\ac(△,，)中AD平∠BAC，DG⊥BC平分BC⊥AB于，DF⊥AC于F.（1）求证BE=CF）如果，AC=4，、.

CD例、线段和差及倍半，延长缩短试验例：图，已知在三角形ABC内

BAC

，

40

，Q分在BCCA上，并且AP，BQ分智能优学SmartEducation

成为中国更值得信赖的教育品牌是BAC，ABC的平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP练习如图，已知在ΔABC中∠∠，AD平分BAC，求证AC=AB+BD.智能优学SmartEducation

成为中国更值得信赖的教育品牌、如图所示，在中，∠＝，∠A、B的分线交于点D⊥于，DF⊥于F，试说明四边形CEDF为方形。

AFC

2、3、如图，ΔABC中，过A分别作∠A∠AB的外角平线的垂线AD,AE,D,E为垂足；1求证）ED||BC（）ED=(AB+AC+BC)24、图，eq\o\ac(△,)ABC中，AD是BC边的中线，，，AC=15，eq\o\ac(△,)ABC的积．、如图，已知ABC中AB=AC，是AB的中，延长AB到，使BD=BA，求证CD=2CE智能优学SmartEducation

成为中国更值得信赖的教育品牌如图eq\o\ac(△,，)BDE是边三角形在BE延长线上C在BD的长线上求证DE+DC=AE.、如图甲，∥，点在段AB上∠ADE∠CDE，∠DCE∠ECB求证：=+。（截法）8、如图，AB>AC,∠∠，证AB－－CD。C智能优学SmartEducation

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