中考数学高频压轴题突破-二次函数与面积

试卷第=page11页，共=sectionpages99页试卷第=page88页，共=sectionpages99页中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积1．如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点．求抛物线的解析式；设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y=ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y=ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．（1）若a=，m=﹣1，求抛物线l1、l2的解析式；（2）若a=1，∠AFB=90°，求m的值；（3）如图2，连接DC、EC，记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2，△FAB的面积为S，问是否存在点C使得2S1•S2=a•S，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4．抛物线与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且A，B两点的坐标分别为(-2，0)，(8，0)，与y轴交于点C(0，-4)，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形?(3)位于第四象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大?若存在，求出N点的坐标，及△BCN面积的最大值；若不存在，请说明理由.5．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积s与t的函数解析式；（3）若0＜t＜2且t≠0时，△OPN∽△COB，求点N的坐标．6．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．7．如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A(-1,0)（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．8．如图，抛物线y=ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB=4，与y轴交于点C，OC=OA，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF=BC，求点G的坐标．9．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中、是方程的两根，且．（）求抛物线的解析式；（）直线上是否存在点，使为直角三角形．若存在，求所有点坐标；反之说理；（）点为轴上方的抛物线上的一个动点（点除外），连、，若设的面积为．点横坐标为，则在何范围内时，相应的点有且只有个．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．11．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．（1）求、的值；（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为，△BCE的面积为，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（-1，0），Rt△AOC的面积为4．（1）求点C的坐标；

（2）抛物线经过A、B、C三点，求抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标．14．如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C(8，0)两点，AB∥x轴，B(6，4)．(1)求过B，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4的表达式；(2)点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；(3)若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．（1）求A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E（m，n）是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．16．如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．18．如图，抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣8），交x轴正半轴于点B（4，0）．（1）抛物线的函数关系式为___________________；（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间移动，直尺两长边所在直线被线段AB和抛物线截得两线段MN（M在N上方）、PQ（P在Q上方），设M点的横坐标为m，（0＜m＜3）①若连接MQ，求以M、P、Q为顶点的三角形和△AOB相似时，m的值；②若连接NQ，请直接写出m为何值时，四边形MNQP的面积最大．答案第=page3333页，共=sectionpages3333页答案第=page3232页，共=sectionpages3333页参考答案：1．(1);(2)2;(3)见解析.【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD为直角三角形，则可求得其面积；（3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF∥x轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标．【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴可设抛物线解析式为，把代入可得，解得，∴抛物线解析式为；在中，令可得，解得或，∴，，设直线解析式为，把代入得：，解得，∴直线解析式为，由可知抛物线的对称轴为，此时，∴，∴，，，∵，∴是以为斜边的直角三角形，∴；由题意知轴，则，∴为直角三角形，分和两种情况，①当时，即轴，则、的纵坐标相同，∴点纵坐标为，∵点在抛物线上，∴，解得，即点的横坐标为，∵点在直线上，∴当时，，当时，，∴点坐标为或；②当时，∵，，∴直线解析式为，∵直线解析式为，∴，∴直线与抛物线的交点即为点，联立直线与抛物线解析式有，解得或，当时，，当时，，∴点坐标为或，综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或．【点评】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.2．（1）L1解析式为y=x2+x+2；L2解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）m=±2；（3）C（2，0）或（﹣2，0）.【分析】（1）利用待定系数法，将A，B，C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，易证△ADG～△EBH，根据相似三角形对应边比例相等即可解题；（3）构建一次函数，利用方程组求出点F坐标，再根据2S1•S2=a•S，构建方程求出m即可解决问题；【解析】解：（1）解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，∴抛物线L1解析式为y=x2++2；同理可得：，解得：，∴抛物线L2解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，由题意得：，解得：，∴抛物线L1解析式为y=x2+（4﹣m）x﹣4m；∴点D坐标为（，﹣），∴DG=，AG=；同理可得：抛物线L2解析式为y=x2﹣（m+4）x+4m；∴EH=，BH=，∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，∴∠ADG=∠EBH，∵在△ADG和△EBH中，，∴△ADG～△EBH，∴，∴=，化简得：m2=12，解得：m=±2；（3）设L1：y=a（x+4）（x﹣m）=ax2+（4﹣m）ax﹣4ma，L2：y=a（x﹣4）（x﹣m）=ax2﹣（4+m）ax+4ma，∴D（，﹣a），E（，﹣a），∴直线AF的解析式为y=﹣x﹣2a（m+4），直线BF的解析式为y=﹣x+2a（m﹣4），由，解得，∴F（﹣m，），∵2S1•S2=a•S，∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×=a××8×[﹣a]，整理得：（m2﹣16）2=64，∴m2﹣16=±8，解得m=±2或±2（舍弃），∴C（2，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．（1）；（2）；（3）.【分析】将A，B，C点的坐标代入解析式，用待定系数法可得函数解析式；（2）求出顶点D的坐标为，作B点关于直线的对称点，可求出直线的函数关系式为，当在直线上时，的值最小；（3）作轴交AC于E点，求得AC的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可.【解析】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组：解得抛物线的解析式为配方，得，顶点D的坐标为作B点关于直线的对称点，如图1，则，由得，可求出直线的函数关系式为，当在直线上时，的值最小，则．作轴交AC于E点，如图2，AC的解析式为，设，，，当时，的面积的最大值是；【点评】本题考核知识点：二次函数综合运用.解题关键点：画出图形，数形结合分析问题，把问题转化为相应函数问题解决.4．(1)抛物线解析式为y=x2-x-4；(2)当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；(3)S△BCN=8.【分析】（1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQMD的形状；（3）先判断出点N在平行于BC且与抛物线只有一个交点时的位置，确定出点N的坐标，用面积和差求出三角形BCN的面积．【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，∴抛物线解析式为y=x2-x-4.(2)∵C(0，-4)，∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0，4).设直线BD的解析式为y=kx+b'，则解得k=-，.∴直线BD的解析式为y=-x+4.∵l⊥x轴，∴点M的坐标为，点Q的坐标为.如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴=4-(-4).化简得m2-4m=0，解得m1=0(不合题意舍去)，m2=4.∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.(3)存在，理由:当过点N平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，△BCN的面积最大.∵B(8，0)，C(0，-4)，∴BC=4.直线BC解析式为y=x-4，设过点N平行于直线BC的直线L解析是为y=x+n①，∵抛物线解析式为y=x2-x-4②，联立①②得，x2-8x-4(n+4)=0，③∴Δ=64+16(n+4)=0，∴n=-8，∴直线L解析式为y=x-8，将n=-8代入③中得，x2-8x+16=0∴x=4，∴y=-6，∴N(4，-6)，如图，过点N作NG⊥AB，∴S△BCN=S四边形OCNG+S△MNG-S△OBC=(4+6)×4+(8-4)×6-×8×6=8.【点评】二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，方程思想和分类思想的运用，综合性较强．5．（1）y=﹣x2+x+1；（2）S=﹣t2+t+；（3）点N的坐标为（1，2）【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法即可得；（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴上方，则NP等于点N的纵坐标，求出AB的长，然后利用三角形面积公式即可得；（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO，由于PN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，可得关于t的方程，解这个方程即可解决这个问题．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0，∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，∴S=AB•PN=×（2+）×（﹣t2+t+1）=（﹣t2+t+1）=﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO，当0＜t＜2时，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，∴﹣t2+t+1=2t，整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t1=﹣，t2=1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2），故点N的坐标为（1，2）．【点评】本题考查了二次函数与几何综合题，涉及了待定系数法、相似三角形的性质、解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，解本题需要注意的是：用点的坐标表示线段长度时，应该用绝对值表示线段的长度，根据坐标的正负化简绝对值，解方程的要进行检验，不符合条件的要舍去，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．6．（1）（m，2m﹣5）；（2）S△ABC=﹣；（3）m的值为或10+2．【解析】分析：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB＝4，可得出点B的坐标为（m＋2，4a＋2m−5），设BD＝t，则点C的坐标为（m＋2＋t，4a＋2m−5−t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC的值；（3）由（2）的结论结合S△ABC＝2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m−2，即m＜2时，x＝2m−2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m−5≤m≤2m−2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m−5，即m＞5时，x＝2m−5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．解析：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5），故答案为（m，2m﹣5）；（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示，∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，∴S△ABC=AB•CD=﹣；（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．点评：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑．7．（1）y==﹣x2+2x+3；（2）S=﹣（m﹣）2+，当m=时，S有最大值是；（3）点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）【解析】试题分析：（1）先根据直线BC的解析式求出点B和C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）作高线PE，利用面积和求四边形OCPB面积S，并配方成顶点式，求其最值；（3）先将抛物线配方成顶点式求M（1，4），利用待定系数法求直线MB的解析式，利用解析式分别表示N、Q两点的坐标；分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，证明△EMQ≌△FQN，根据全等三角形的性质EM=FQ，EQ=FN，列方程组解出即可；②当N在射线BM上时，如图3，同理可求得点N的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，当y=0时，-x+3=0，x=3，∴B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），a=-1，∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，∵P（m，n），∴OE=m，BE=3-m，PE=n，S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE•PE，=m（n+3）+n（3-m），=m+n，∵n=-m2+2m+3，∴S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，当m=时，S有最大值是；（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M（1，4），设直线BM的解析式为：y=kx+b，把B（3，0），M（1，4）代入得：，解得：，∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，设N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），分两种情况：①当N在射线MB上时，如图2，过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F，∵△EQN是等腰直角三角形，∴MQ=QN，∠MQN=90°，∴∠EQM+∠FQN=90°，∵∠EQM+∠EMQ=90°，∴∠FQN=∠EMQ，∵∠QEM=∠QFN=90°，∴△EMQ≌△FQN，∴EM=FQ，EQ=FN，∴，解得：，当a=2时，y=-2a+6=-2×2+6=2，∴N（2，2），②当N在射线BM上时，如图3，同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM，∴EN=FQ，EQ=FM，∴，解得：，∴N（-1，8），综上所述，点N的坐标为（2，2）或（-1，8）．8．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）m=﹣2,；（3）点G的坐标为（，）或（，）．【解析】试题分析：（1）根据抛物线y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x﹣1，再根据OC=OA，AB=4，可得A（﹣3，0），最后代入抛物线y=ax2+2ax+3，得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）根据点M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），再根据矩形PQNM的周长=2（PM+PQ）=﹣2（m+2）2+10，可得当m=﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，M的坐标为（﹣2，0），最后由直线AC为y=x+3，AM=1，求得E（﹣2，1），ME=1，据此求得△AEM的面积；（3）连接CB并延长，交直线HG与Q，根据已知条件证明BC=BF=BQ，再根据C（0，3），B（1，0），得出Q（2，﹣3），根据H（0，﹣1），求得QH的解析式为y=﹣x﹣1，最后解方程组，可得点G的坐标．解：（1）由抛物线y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x=﹣=﹣1，∵OC=OA，∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），∵AB=4，∴﹣2+c﹣（﹣c）=4，∴c=3，∴A（﹣3，0），代入抛物线y=ax2+2ax+3，得0=9a﹣6a+3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），又∵对称轴为x=﹣1，PQ∥AB，∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），又∵QN⊥x轴，∴矩形PQNM的周长=2（PM+PQ）=2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]=2（﹣m2﹣4m+1）=﹣2（m+2）2+10，∴当m=﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，此时，M（﹣2，0），由A（﹣3，0），C（0，3），可得直线AC为y=x+3，AM=1，∴当x=﹣2时，y=1，即E（﹣2，1），ME=1，∴△AEM的面积=×AM×ME=×1×1=；（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG与Q，∵HG⊥CF，BC=BF，∴∠BFC+∠BFQ=∠BCF+∠Q=90°，∠BFC=∠BCF，∴∠BFQ=∠Q，∴BC=BF=BQ，又∵C（0，3），B（1，0），∴Q（2，﹣3），又∵H（0，﹣1），∴QH的解析式为y=﹣x﹣1，解方程组，可得或，∴点G的坐标为（，）或（，）．9．（）；（）；（3）.【解析】试题分析：（1）解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）用待定系数法求得直线AC的解析式，再分①∠DBC=90°、②∠DBC=90°两种情况求点D的坐标即可；（3）求得点P在抛物线AB段上时S的最大值，再求得点P在抛物线AC段上时，S的最大值，即可得S的取值范围.试题解析：（），，，设，把代入得，，解得．∴．（）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A、C两点坐标代入得，，解得,k=,b=4,∴．①∠BDC=90°时，．，，∴．②∠DBC=90°时，x=-2，y=-×（-2）+4=5，则D点坐标为（-2，5）；∴，．（3）点P在抛物线AC段上时S最大值为16，点P在抛物线AB段上时S最大值为20，则S的取值范围为16＜S＜20．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数和抛物线的解析式等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用．10．（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）3+；（3）Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，﹣），Q4（1，）．【分析】（1）依据抛物线的解析式直接求得C的坐标，令y=0解方程即可求得A、B点的坐标；（2）求出△BCM面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理求出△BPN的周长；（3）如解答图，△CNQ为直角三角形，分三种情况：①点Q为直角顶点；②点N为直角顶点；③点C为直角顶点进行解答．【解析】（1）由抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3，∴C（0，3），令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；∴A（﹣1，0），B（3，0）．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3．设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM•（xP﹣xC）+PM•（xB﹣xP）=PM•（xB﹣xC）=PM．∴S△BCM=（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+．∴当x=时，△BCM的面积最大．此时P（，），∴PN=ON=，∴BN=OB﹣ON=3﹣=．在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=．C△BCN=BN+PN+PB=3+．∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+．（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴抛物线的对称轴为直线x=1．在Rt△CNO中，OC=3，ON=，由勾股定理得：CN=．设点D为CN中点，则D（，），CD=ND=．如解答图，△CNQ为直角三角形，①若点Q为直角顶点．作Rt△CNO的外接圆⊙D，与对称轴交于Q1、Q2两点，由圆周角定理可知，Q1、Q2两点符合题意．连接Q1D，则Q1D=CD=ND=．过点D（，）作对称轴的垂线，垂足为E，则E（1，），Q1E=Q2E，DE=1﹣=．在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：Q1E==．∴Q1（1，），Q2（1，）；②若点N为直角顶点．过点N作NF⊥CN，交对称轴于点Q3，交y轴于点F．易证Rt△NFO∽Rt△CNO，则，即，解得OF=．∴F（0，﹣），又∵N（，0），∴可求得直线FN的解析式为：y=x﹣．当x=1时，y=﹣，∴Q3（1，﹣）；③当点C为直角顶点时．过点C作Q4C⊥CN，交对称轴于点Q4．∵Q4C∥FN，∴可设直线Q4C的解析式为：y=x+b，∵点C（0，3）在该直线上，∴b=3．∴直线Q4C的解析式为：y=x+3，当x=1时，y=，∴Q4（1，）．综上所述，满足条件的点Q有4个，其坐标分别为：Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，﹣），Q4（1，）．．11．（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.【解析】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.12．（1）；（2）①；②﹣2或．【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入，于是得到结论；（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线经过A、C两点，∴，∴，∴；（2）①如图，令y=0，得，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴，∴△DME∽△BNE，∴=，设D（a，），∴M（a，），∵B（1．0），∴N（1，），∴=；∴当a=-2时，的最大值是；②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G．分两种情况：情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，），∴DR=﹣a，RC=，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴x=﹣2．情况二，∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=k，∴RC=k，RG=k，DR=k﹣k=k，∴，∴a1=0（舍去），a2=．综上所述：点D的横坐标为﹣2或．【点评】本题是二次函数综合题．13．（1）C（4，0）；（2），对称轴；（3），P（2，3）.【分析】（1）由A（0，2），可得OA=2，再由Rt△AOC的面积为4，得OC的值，即可求了C点的坐标，（2）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，2），B（-1，0），C（4，0）代入，即可求出抛物线的解析式，可得出对称轴，（3）由点A，C的坐标，可求出直线AC的解析式，过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，过点P作PM⊥AC于点M，由OA=2，OC=4，可得AC的值，从而得出cos∠ACO的值，设P（m，n），Q（m，-m+2），可求出PQ，利用，解得PM，由n=-m²+m+2，得PM=×（-m²+2m），再由三角形的面积公式即可求出S=-2m²+8m，即可得出当m=2，即P（2，3）时，S的值最大．【解析】（1）C（4，0）（2）抛物线的解析式：，对称轴．（3）设直线AC的解析式为：，代入点A（0，2），C（4，0），得：∴直线AC：；过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（，），Q（，）则∴∴当m=2，即P（2，3）时，S的值最大．【点评】本题主要考查了二次次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的关性质、定理和二次函数的知识求解．14．（1）y＝－x2＋x＋4；（2）t＝3．（3）当m＝4时，S△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为(4，6)．【分析】（1）用待定系数法就可求出过B，C三点的抛物线的表达式．（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN•OC可以得到S△AMC=-（m-4）2+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题．【解析】（1）如图1，∵过B（6，4），C（8，0）两点的抛物线y=ax2+bx+4．∴，解得．∴过B、C三点的抛物线的表达式为y=-x2+x+4（2）如图2，由题可得：BQ=6-t，CP=t．当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．∴6-t=t．解得：t=3．（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，设直线AC的解析式为y=kx+4，则有8k+4=0．解得：k=-．∴直线AC的解析式为y=-x+4．设点M的横坐标为m，则有yM=-m2+m+4，yN=-m+4．∴MN=yM-yN=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m．∴S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN•OC=×（-m2+2m）×8=-m2+8m=-（m-4）2+16．（0＜m＜8）∵-1＜0，∴当m=4时，S△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为（4，6）．【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，三角形的面积，有一定的综合性，解本题的关键是掌握坐标系中，求三角形的面积的方法．15．（1）A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），D（，0）；（2）存在，（，4）或（，）或（，﹣）；（3）△CBF的面积最大为1，E（1，1）【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，令x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标，求出抛物线对称轴，然后写出点D的坐标；（2）利用勾股定理求出CD，然后分①点C是顶角顶点时，利用等腰三角形三线合一的性质求解，②点D是顶角顶点时，分点P在点D的上方和下方两种情况写出点P的坐标；（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，表示出EF，再根据S△CBF=S△CBE+S△BEF列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答．【解析】（1）令y=0，则-x2+x+2=0，解得x1=-1，x2=2，所以，A（-1，0），B（2，0），令x=0，则y=2，所以，点C（0，2），对称轴为直线x=，所以，点D（，0）；（2）由（1）可知，OC=2，OD=，所以，CD=＝，①点C是顶角顶点时，由等腰三角形三线合一的性质得，点P的纵坐标为点C的2倍，即2×2=4，所以，点P的坐标为（，4），②点D是顶角顶点时，若点P在点D的上方，则P（，），若点P在点D的下方，则P（，），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（，4）或（，）或（，﹣），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形；（3）可求直线BC的解析式为y=﹣x+2，∵点E（m，n）是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，∴EF=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，∴S△CBF=S△CEF+S△BEF=EF·OB=（﹣m2+2m）×2=﹣m2+2m=﹣（m﹣1）2+1，∴当m=1时，△CBF的面积最大为1，此时，n=﹣1+2=1，所以，点E的坐标为（1，1）．【点评】本题是二次函数综合题.涉及的知识点有二次函数图象上点的特征、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等.熟练应用二次函数的性质是解题的关键.16．(1)、y=x2﹣x+4；(2)、证明过程见解析；(3)、最大值为12，此时D点坐标为（2，0）【解析】试题分析：(1)、根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；(2)、利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；(3)、如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4，OC=6，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=（4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DE•DG=t•（4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．试题解析：(1)、设该抛物线的解析式为y=a