农产品问题数学建模

摘要本文针对某国政府奶产品定价和销售总收入的问题，运用最优化理论建立了数学模型，通过LING求解，能迅速定出各产品的价格，具有较强的实用价值。对问题一，由于受原料数量约束，首先建立目标函数.其次，通过综合分析建立产品价格的优化模型；最后，我们用Lingo软件进行求解。得出在销售总收入最大的情况下4种产品的价格及所导致的需求，如下表：牛奶奶油奶酪1奶酪2销量（万吨）334.468648.3623820.118233.559875价格（元/吨）524.2657583.64681223.0931950.675销售收入（万元）175350.428226.5524606.476944.160销售总收入（万元）235127.6问题二，由于给出的政策约束，在问题一建立产品价格的优化模型的基础上，分别结合了问题二中的每一种价格指标限制的限定条件，运用Lingo软件可以迅速得出这一政策限制情况下的最大销售总收入，并得出经济代价给出的数量，如下表：牛奶价格限制奶油价格限制奶酪1价格限制奶酪2价格限制限制下的销售额（万元）201159.3229985.5231050.6231050.6经济代价（万元）33968.35142.140774077主要特点在于，所用求解模型的效率十分显著。在对原始数据做简单预处理的条件下，通过LINGO的求解可以直接求得相应的最优解。另外，本文所建立的模型简单，LINGO求解，方便模型求解实现，对模型推广有很大帮助。关键字：数学建模

最优解LINGO原料限制政策限制一、问题的提出某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。各种产品的百分比组成见下表：

往年的国内消费和价格如下表：产品\成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035产品牛奶奶油奶酪1奶酪2消费量（千吨）482032021070价格（元/吨）2977201050815价格的变化会影响消费需求。为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数；各种产品的E值，可以据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB其定义为：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。

奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出。现已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1,E21=0.4。问题一：试求出4种产品的价格及所导致的需求，使销售总收入为最大。问题二：如果政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加，这是对这个问题的一个特别重要的附加要求。请对这一政策限制的经济代价给出数量表示。二、问题的分析a、题中要求制定一个总费用（决策目标）最大的生产定价方案，属于优化问题，并且对于问题二新的价格必须使消费的总合和单价用较上一年度不增加，产量还受原料的限制（此两点为主要约束条件）b、故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。三、模型假设a、工厂在生产期间不会出现因设备、人员发生意外而导致产量下降。b、水这种原料可以无限提供使用。c、产品卫生质量达标。d、数理统计数据接近实际消费变化。e、产品正常销售。四、符号说明i:第i种产品Zi:第i种产品的销售收入Pi:第i种产品的价格P0i:第i种产品去年的价格Si:第i种产品的销量S0i:第i种产品的去年的销量vii:第i种产品自身对自身的影响下的销量的变化率（正负号表示提高和降低）vij:第i种产品在j的影响下的销量的变化率（正负号表示提高和降低）Ei:第i种产品的价格伸缩率Eij:第i产品对第j种产品的交叉伸缩率Yj:第j种原料的总量(万吨)yij:第i种产品j种原料的占有率五、模型建立由题意知道，四种产品由三种原料加工，原料一（脂肪）、原料二（奶粉）分别为60、70万吨，原料三（水）是无限提供，所以用于生产各种产品的原料之和不能超过这种原料。即：SiyijYj价格的变化会影响消费需求，根据价格伸缩率的定义，因此对于第i种产品的销售量有以下关系：产品三和产品四的销售量，除了受到自身的价格影响，还要受到除自身外另外一种产品的影响。对产品三的销量变化率：市场对产品三和产品四的需求，随着他们价格相对变化，在某种程度上可以相互替代（属于替代品），根据交叉伸缩率的定义，产品四的价格和产品三销售量变化率：由以上两式得，得到产品三的销售总量和产品三的价格及产品四的价格的关系为：产品三和产品四的销售量，除了受到自身的价格影响，还要受到除自身外另外一种产品的影响。对产品四市场对产品三和产品四的需求，随着他们价格相对变化，在某种程度上可以相互替代（属于替代品），根据交叉伸缩率的定义，产品四销售量与产品三的价格关系如下：由以上两式得，得到产品三的销售总量和产品三的价格及产品四的价格的关系为：问题一：目标函数：目标函数：Max=z1z2z3z4

zi＝pisi约束条件：(i=1,2)SiyijYjSi0Pi0六、模型求解将上述模型输入LINGO可得到Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:

235127.6Objectivebound:

235127.7Infeasibilities:

0.2910383E-10Extendedsolversteps:

93Totalsolveriterations:

19646Variable

Value

ReducedCostE1

0.4000000

0.000000E2

2.700000

0.000000E3

1.100000

0.000000E4

0.4000000

0.000000E34

0.1000000

0.000000E43

0.4000000

0.000000S01

482.0000

0.000000S02

32.00000

0.000000S03

21.00000

0.000000S04

7.000000

0.000000P01

297.0000

0.000000P02

720.0000

0.000000P03

1050.000

0.000000P04

815.0000

0.000000Z1

175350.4

0.000000Z2

28226.55

0.000000Z3

24606.47

0.000000Z4

6944.160

0.000000S1

334.4686

0.000000P1

524.2657

0.000000S2

48.36238

0.000000P2

583.6468

0.000000S3

20.11823

0.000000P4

1950.675

0.000000P3

1223.093

0.000000S4

3.559875

0.000000Row

SlackorSurplus

DualPrice1

235127.6

1.0000002

0.000000

515.23433

0.000000

1.0000004

0.000000

403.01985

0.000000

1.0000006

0.000000

1144.0697

0.000000

1.0000008

0.000000

1894.2299

0.000000

1.00000010

0.000000

225.783711

31.47116

0.00000012

334.4686

0.00000013

48.36238

0.00000014

20.11823

0.00000015

3.559875

0.00000016

524.2657

0.00000017

583.6468

0.00000018

1223.093

0.00000019

1950.675

0.000000牛奶奶油奶酪1奶酪2销量（万吨）334.468648.3623820.118233.559875价格（元/吨）524.2657583.64681223.0931950.675销售收入（万元）175350.428226.5524606.476944.160销售总收入（万元）235127.6即最大销售利润为Z=235127.6（万元）；仅当定牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的价格分别为3524.2657（元）、583.6468（元）、1223.093（元）、1950.675(元)时，它们的销量分别为334.4686（万吨）、48.36238（万吨）、20.11823（万吨）、3.559875（万吨）时，总销售利润达最大问题二：由题意可得，不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加，计算该政策的经济代价。分析可得这个政策有4种情况即：（1）以牛奶作为政策对象（2）以奶油作为政策对象（3）以奶酪1作为政策对象（4）以奶酪2作为政策对象以下进行逐一分析：（1）以牛奶作为政策对象目标函数：Max=z1z2z3z4

zi＝pisi约束条件：(i=1,2)p1p01p1s1s01p01si0pi0siyijYj利用LONGO进行分析计算可得下表牛奶奶油奶酪1奶酪2销量（万吨）482.000041.2139519.593663.564245价格（元/吨）297.0000643.21711249.1581969.634销售收入（万元）143154.026509.5224475.577020.260销售总收入（万元）201159.3经济代价（万元）201159.3-235127.6=-33968.3即是，当牛奶价格指标受到限制时，销售总收入降为201159.3万元，经济代价数量为：-33968.3万元，即销售总收入减少了33968.3万元。（2）以奶油作为政策对象目标函数：Max=z1z2z3z4

zi＝pisi约束条件：(i=1,2)p2p02p2s2s02p02si0pi0siyijYj利用LONGO进行分析计算可得下表牛奶奶油奶酪1奶酪2销量（万吨）337.400032.0000020.913533.553249价格（元/吨）519.7500720.00001183.5771921.932销售收入（万元）175363.623040.0024752.776829.101销售总收入（万元）229985.5经济代价（万元）229985.5-235127.6=-5142.1即是，当牛奶价格指标受到限制时，销售总收入降为229985.5万元，经济代价数量为：-5142.1万元，即销售总收入减少了5142.1万元。（3）以奶酪1作为政策对象目标函数：Max=z1z2z3z4

zi＝pisi约束条件：(i=1,2)p3p03p3s3s03p03si0pi0siyijYj利用LONGO进行分析计算可得下表牛奶奶油奶酪1奶酪2销量（万吨）334.078846.9210621.000007.000000价格（元/吨）524.8662595.6578815.00001050.000销售收入（万元）175346.727948.9022050.005705.000销售总收入（万元）231050.6经济代价（万元）231050.6-235127.6=-4077即是，当牛奶价格指标受到限制时，销售总收入降为231050.6万元，经济代价数量为：-4077万元，即销售总收入减少了4077万元。（4）以奶酪2作为政策对象目标函数：Max=z1z2z3z4

zi＝pisi约束条件：(i=1,2)p4p04p4s4s04p04si0pi0siyijYj利用LONGO进行分析计算可得下表牛奶奶油奶酪1奶酪2销量（万吨）334.078846.9210621.000007.000000价格（元/吨）524.8662595.6578815.00001050.000销售收入（万元）175346.727948.9022050.005705.000销售总收入（万元）231050.6经济代价（万元）231050.6-235127.6=-4077即是，当牛奶价格指标受到限制时，销售总收入降为231050.6万元，经济代价数量为：-4077万元，即销售总收入减少了4077万元。七、结果分析

将以上讨论的4个问题制成图表：牛奶价格限制奶油价格限制奶酪1价格限制奶酪2价格限制限制下的销售额（万元）201159.3229985.5231050.6231050.6经济代价（万元）33968.35142.140774077画出经济限制关系条形图：图一:销售总收入在各个产品价格限制下与无限制情况下的对比图二:

经济代价在各种产品政策限制下的数量表示由上表可知，当牛奶价格指标受到限制时，产生的经济代价最大，而其他产品价格指标的限制影响较小，其中限制影响程度（牛奶>奶油>奶酪1=奶酪2）。八、方案评价（1）本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。（2）运用MATLAB和LINGO软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性，且所得数据较为合理可靠。（3）、“需求的价格伸缩性”和“价格的交叉伸缩性”是由数理统计方法算出，与真实数据存在一定误差。

（4）、模型与实际紧密联系，符合价格的变化规律，本文最后还对模型进行了推广，使得模型更贴近实际，通用性强。（5）、对于模型的推广，文中的变量以及约束条件可以扩大，例如：当有N种产品以及有M种原料约束条件等，通过所建立的模型就能够快速、有效的解决。

九、参考资料

[l]陈东彦主编.数学建模.科学出版社,2008[2]化存才主编.数学建模应用与实践.云南科技出版社,2008.10.[3]