第3讲 等差数列及其前n项和

***2***22第讲

等数其

项【主纳自查】一自主归纳1.等数列的定义如果一个数列从第二项起一和它前一项____于同一个常数么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列，常用字表示2.等数列的通项公式如果等差数{}首项为，差为，么它的通项公式________________.n3.等中项如果________，么叫a与的等差中项.4.等数列的常用性质(1)通项公式的推广：＝a＋，(nmN).n(2)若{}等差数列，且k＋l＝＋，(，l，m∈N)，+anl若m++…+mn+n+…+n，+a+…+a112m2(3)若{}等差数列，公差为，则{}是差数列，公差_n2n(4)若{}{}等差数列，{＋}是等差数nnn(5)若{}等差数列，公差为d，则a，a，ankkm2等差数.5.等数列的前n项和式

，…，mN)公差_的设等差数列{}公为，其前n项和＝或S＝nn6.等数列的前n项和式与函的关系S＝＋－n.n27.等数列的最值

∴数列{a}等差数列＝，(A、B为数nn在等差数列{}，ad，则存在最___值；若<0，，则存最____nn18等数列的判定(1)定义法：a－＝(；nn

(2)等差中项法a＝a＋nn9.等数列与等差数列各项和的关性质(1)a，，a，m2m

，仍等差数列，公差为.(2)数列，－，－，也是等差数列.m2mmmm(3)S

＝n－2nn二、自查验第

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nd*nnd*n在等差{}，a，，则an

（）A.5D.14在间插入7数，使这9个构成等差数列，则正中间的数_______,入的这7个数的和等于___________..在等差列

{}

中，

a4

,则

{}

的前5项

=（）A.7

B.15

C.20

Da在等差列a｝，设公差为，若S＝，1等（105

）A

11B．C．24

D．4设等差{}前项为S，，则S等()n1520A.90B.100【型题考点一等差数的基本量

C.110

120【律方法(1)差数列的通项公式及前和公式，共涉及五个量a，a，dS，1n其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问数列的通项公式和前项公在解题中起到变量代换作用，而a和d是差数列的两1个基本量，用它们表示已知和未知是常用方【例】在列{}，若a＝2且对任意的∈N有a＝＋a，数列{}n1nn项的和为)AB已知在差数{}，a＝，＝，前项S等于()n2A．380

BD．400【式训练1】已{}等数列，a，=-512，=-1022,求公差d.nn已知等数{}+，求a的值n5第

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*3*3等差数{}前n项记为S．知a=30，=50．nn(1)求通项；n(2)若=242，n．n考点二

等差数的性质【规律方法用质①

d

app

②若k＋l＝＋nk∈)则a+a=a+ln【例】已在等差数列{},++a=1,则+=_____________.n6103在等差{},知a+则该数列前项=（）nAB88C．D．176S已知等数{}前n项为S，满足－＝1，则数{}公是()n2n

BC．．设数列{}{}是等差数列，若+b，+b=21，+b。nn1135已知等数{}前n项为S，S＝，＝，则n30【变式训练2（全国Ⅱ设S是差数列{}前项若＋＋＝3n35则S等)5A5B．7C9D11设等差{}前项为S,若S=36,则a+等于)n3678634536D.27已知是等差数{}前和，若=-2010，nn20042010

，则=()2011第

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B.2010C.0D.0等差数{}共有项且求和n考点三

等差数有关最值的算【例】1.设等数列{}前项为S，a则取小值时Nnnn等于()A6B．7C．D等差数{a}中，a＜=,该数列前多少项的和最小？n912【变式训练3若等差数列{}足a++>0，a+<0，则当n=_____时，{}前n8710项和最大。考点四等差数的判定【规律方法】证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a－＝dn(2)等差中项法：＝＋.本例而言，所用方法为定义法nn【例】已数列{}通公式为-1，请证明数列{}等差数.nn设{}等数列，S为列{}前n项，已知，S，T为数{nn7n的前n项，求T．n

n

}【式训练4】已数{}通公式为a-2，请证明数列{a}等数列.nnn第

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22已知正数{}前n项满nn

ann

求证:{}等数,求ann已知数{}前项和为S，满足a•=0（n）=nn-1

12

．（1求证{

1

}等差数列；（2求a的达式．n【应用体】（2015高新课标1，文）已知S，则）若8410

{}n

是公差为的差数列，为{}前项，nn（A

（B2

（C）

（D）12．在等差数{}，＋＋a＋a＋a)，则该数列前13的和是()n35713AB26．52D156《因德纸草书》是世界最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把1个面包分给人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的较小的两份之和则最小的1份)1011B.636．在等差数列{}，a＝2，其前和为，－＝2，则的值n1n10等于)第

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2121A011B2．D－2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）设差数{}前和为S，若S＝－2，S＝0，nm1

m1

＝3则＝)AB．4C5D．6【习巩】A组

夯实基一选题设数列{}等数列，其前项为S，a＝2且＝，则S等nn68A.31B.32C.33D.34

()数列{}等差数列a＝，a＝1为列{}前项，则S－2等)n102nn20A.40B.200设为差数列{}前n项，若a＝1公差＝2，－＝24则k等于)nn2A.8

B.7C.6D.5二填题为差数列{}前n和S＝，＝1，则＝________.nn6设为差数列{}前n项，若S＝3，S＝24则＝________.nn等差数{}前项和为S，－＝5，＝________.n34（2014泰模拟数列{}公差不为0的等差数列且a+=则n8

S5a5

等于_－a已知两数列，a，a，a，y与x，b，，都等差数列，且x≠y，则的为13－21三解题等差数{

n

}，

aa6357

（Ⅰ）求{a}通项公式；（Ⅱ）设n

ba]n

，求数列

{b}n

的前10项，其中[x]示不超过x

的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.B

能力提一选题第

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＋2nn9n3＋2nn9n31已知数{}a＝，＝，若差列则a等n511n

()A.0

C.

在各项不为零的等差数{}，－＋＝0n≥2)，则nnnn

2n

－于()－2C.1设数列{}{}是等差数列，且a＝10＝＋＝100，那么数{＋}第nnnn项的值是A.85

B.90C.95

()二填题4.(2011·北《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共升下面节容积共4升则第5节容积升等数列{}通公式是a＝n＋其前n项和为S，则数列项为nS2－3设等差{}}前n项分别为对意自然数n都＝nn－＋57＋的为＋b84有两个差数列2,6,10，，…，200由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数{}通公式＝n三解题．设等差数{}前