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课程编号：07000125北京理工大学2016-2017学年第二学期2015级数学物理方程与特殊函数期末试题A卷班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________题号一二三四五六七总分得分签名（15分）写出下列定解问题（直接写出定解问题，无需推导、求解）：1．长为1的均匀细杆，侧面绝热，杆上一端有恒定热流流入，另一端温度保持为，初始温度为，写出描述细杆的温度分布的定解问题。2．长度为1的弦，端固定，另一端自由，初位移如下图所示，初速度为零，写出此弦自由振动的定解问题。3．设有一半径为的薄圆盘，上下两面绝热，边界温度为，写出平面极坐标系下该圆盘内稳恒温度分布的定解问题。（15分）用分离变量法求解如下问题：解：令其中则满足令其中和分别满足定解问题和令其中则满足问题解之，得从而，由分离变量法得综上，我们有三、（15分）设求解定解问题：解：令其中满足则满足问题方程对应的特征方程为解得特征线为取特征变换原方程化为解之，得其中为任意可微函数，从而由定解条件得从而四、（15分）用积分变换法求解初值问题：解：对变量作傅里叶变换，设则原问题化为解之，得作傅里叶逆变换，得其中，为傅里叶逆变换。五、（15分）求三维拉普拉斯方程第一边值问题在半空间内的格林函数，并求解定解问题：解：设为内任意一点，则为点关于平面的对称点。故而，内Laplace方程第一边值问题的Green函数为其中点坐标为所以，六、（15分）将展开成贝塞尔函数的级数，其中是的正零点。解：其中我们有从而，七、（10分）求解下列定解问题：解：令则满足令则满足问题用傅里叶变换法解得其中因为所以，从而，综

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