实际问题的函数建模

实际问题的函数建模第一页，共三十页，编辑于2023年，星期五知识梳理1．函数模型及其性质比较

(1)几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)第二页，共三十页，编辑于2023年，星期五(2)三种函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调增函数单调增函数单调增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳第三页，共三十页，编辑于2023年，星期五第四页，共三十页，编辑于2023年，星期五辨析感悟1．关于函数模型增长特点的理解

(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． () (2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． () (3)幂函数增长比直线增长更快． ()×××第五页，共三十页，编辑于2023年，星期五2．常见函数模型的应用问题

(4)(2013·高安模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图像可以表 示为 . ()

√第六页，共三十页，编辑于2023年，星期五(5)(2014·九江模拟改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是150台． ()√第七页，共三十页，编辑于2023年，星期五第八页，共三十页，编辑于2023年，星期五考点一利用图像刻画实际问题【例1】

(2013·湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是 (

)．

第九页，共三十页，编辑于2023年，星期五解析小明匀速运动时，所得图像为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案C规律方法

抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可．第十页，共三十页，编辑于2023年，星期五【训练1】

如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有 (

)．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故上面的图像不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率逐渐变慢，然后逐渐变快，正确；④中的变化率逐渐变快，然后逐渐变慢，也正确，故只有①是错误的．选A.答案A第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五考点二二次函数模型【例2】

A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．

(1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五规律方法

二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期五第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期五(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期五第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五规律方法

(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五【训练3】

在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各项开支2000元．第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五1．认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果