高等数学在实际生活中的应用

高等数学知识在实际生活中的应用一、数学建模的应用数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。（一）数学建模的一般方法和步骤（1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。（2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。（3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。（4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。（5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：问题假设建模分析应用检验、修改图1（二）数学建模的范例例教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？先建立一个非常简单的模型：A黑板aA黑板aBbDC图2.3-1先对问题进行如下假设：1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a米和b处。2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。设学生D距黑板米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为。由假设知：=====（二）矩阵应用的范例—人口流动问题例假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商；在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商；在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商；在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。解：若用三维向量(xi,yi,zi)T表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T并考察在n→∞时(xn,yn,zn)T的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为即以(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T代入上式，即得:即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。以及即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。进而推得：即n年之后从事各业人员的人数完全由决定。