惠州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试题(含解析)

惠州市2015-2016学年第一学期期末考试高二数学试题（理科）2016.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共6页，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式:=，.样本数据，，，的方差:第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．以，为直径端点的圆的方程是（）A．B．C．D．2．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x、y、10、11、9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（）A．1B．2 C．3D．43．以轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（）A．或B．C．或D．4．圆上到直线的距离等于的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线被椭圆所截得的弦的中点的坐标是（）A． B． C．D．6．在面积为的△的边上任取一点，则△的面积大于的概率是()A． B． C． D．7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （） A．①、③都可能为分层抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、②都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样8．命题，命题，则下列正确的是()A．∨为真B．∧为真C．∨为假D．为真9．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）A． B． C．D．10．下列说法正确的个数有（）个.（1）命题：“指数函数在上是增函数”的非命题为真时，则；（2）命题：“若，则中至少有一个不小于”的逆命题是真命题；（3）命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”；（4）已知，则“”是“曲线为双曲线”的充要条件.A．1 B．2 C．3D．411．已知直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B． C．D．219．（本小题满分12分）已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.（Ⅰ）若圆心为的圆和圆外切且与直线相切，求圆的方程；（Ⅱ）若、截圆所得的弦长均为，求的值.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）直线，与圆相切且与抛物线交于不同的两点，，当为直角时，求△的面积．22．(本小题满分12分)已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．惠州市2015-2016学年第一学期期末考试高二数学试题(理科）参考答案与评分标准2016.1一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ADDCCBAACBAD1．【解析】AB的中点（2，4）为圆心.故选A2．【解析】由题,解得，故，选D3．【解析】设抛物线方程为，圆的圆心坐标为（1，-3），代入抛物线方程解得，所以抛物线的程为.4．【解析】（x+1）2+(y+2)2=8，这是一个以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆，圆的圆心到直线x+y+1=0的距离为d==，画出（x+1）2+(y+2)2=8和直线x+y+1=0以及和x+y+1=0的距离为的平行直线，可得与圆有三个交点，故选C5．【解析】由消去y得设方程两根为，则弦的中点的横坐标为，故所求中点坐标为.6．【解析】只需|PB|>,所以概率7．【解析】①可以是系统抽样，也可以是分层抽样；②为分层抽样；③可以是系统抽样，也可以是分层抽样；④为系统抽样8．【解析】命题p真，命题q假，故选A.9．【解析】过点P作PK垂直于准线，垂足为K，则|PF|+|PQ|=|PK|+|PQ|≥|KQ|当且仅当点Q，P，K三点共线时等号成立，此时点P的坐标为故选C.10．【解析】（1）非命题为：“指数函数在上是减函数”，则;（2）否命题为：“若a+b<2，则a,b都小于1”，为假命题，则逆命题假；（3）（4）为真.11．【解析】由已知，椭圆方程为。联立方程组得所以.12．【解析】由，并设,则点到面的距离为,点到的距离是,由题意得：化简得：求得：，所以的最小值为.二、填空题：（每小题5分，共20分）13．14．1615．(2分），（3分）16．3513【解析】从5根中选取2根一共10种，满足条件的有（2.5,2.8）,(2.6,2.9)两种，所以长度恰好相差0.3m的概率为.14【解析】由于=.15【解析】,.16【解析】由于并且所以.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本小题满分10分）解:（1）方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆解得：(2)命题p是命题q的充分不必要条件是不等式的解的真子集……7分法一：因方程的两根为，……9分故只需……10分法二：令，因，故只需……9分解得……10分18．（本小题满分12分）解：（1）由表中数据得：，，……………2分∴，……………5分，…7分∴线性回归方程为，且变量与之间是正相关；…9分（2）依题意有：，解得：，………………11分∴广告支出费用至少需投入10万元。…12分19．（本小题满分12分）解:圆即,圆心为,半径为.……1分(Ⅰ)设圆的方程为……2分依题意得………………3分解得或…………5分∴圆的方程为或.……6分（Ⅱ）法一:显然，、的斜率都是存在的，设，则……7分则由题意，得圆心到直线、的距离均为………………8分∴，………10分解得………11分即,解得或………12分法二:设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，则…………………8分因为,所以四边形是正方形，……9分所以……………11分[即,解得或………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而…………4分设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为…………6分（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，…………8分由面可得，∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为…………12分21．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线方程为，由已知得：， ……2分所以抛物线的标准方程为； ……3分（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以， ……4分把直线方程代入抛物线方程并整理得：， ……5分由得或， ……6分设，则 ……7分 ……8分∵为直角∴，解得或（舍去）， ……9分∵， ……10分点到直线的距离为， ……11分∴． ……12分22．（本小题满分12分）解：（1）由△是