材料力学讲义三三

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第九章能量法

材料力学第九章能量法利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法第九章能量法外力功变形能利用功能原理计算位移四求位移的卡氏定理第九章能量法外力功定义:任何弹性体在外力作用下都要发生变形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线方向所作的功,称为外力功。第九章能量法/一外力功

第九章能量法/一外力功

计算1、常力作功若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然后P力的作用点又沿着P力的作用方向上有了位移,则该力所作的功为式中的P为广义力,为广义位移.第九章能量法/一外力功·计算

２、变力作功结构上的静荷载从零逐渐增加到最终值,即加载过程中的外力是一个变力。变力所作的功为第九章能量法/一外力功·计算

3、多个力作用下的外力功若弹性体上作用着几个外力(P1,P2……,Pn)时,则所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半;3、多个力作用下的外力功外力功的最终值仅与各个外力的最终值有关,而与各个力的施加次序无关第九章能量法/一外力功·计算

第九章能量法/一外力功·计算

例题:计算图示简支梁上的外力功BCAL/2L/2PEIEImo第九章能量法/一外力功·计算

解:(1)位移计算梁在P和mo共同作用下C截面的位移和B截面的转角：BCAL/2L/2Pmo第九章能量法/一外力功·计算

解:(2)外力功的计算第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论若先加P，后加mo，则外力功为第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论若先加mo，后加P

，则外力功为第九章能量法/一外力功·计算

分析与讨论比较计算结果，说明：即作用在弹性体上的所有外力作的总功W,等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半。而与各个力的施加次序无关。第九逮章晋能量闷法变形参能第九闯章热能量车法/僻二轰变形屡能1犹变形计能、喷功能铜原理定义枪：变兵形能当弹柱性体费受到积外力拆作用璃而发音生变杨形时别，外蛋力在邻相应的赢位移茎上所棋作的泪功全痛部以拴能量楼的形却式储召存在利弹性复体内，变这种梨因变冬形而堤储存辣的能聚量称芹为变例形能戏。第九收章著能量雷法/货二沃变形矮能1技变形荡能、妥功能衬原理定义喘：功竞能原俗理外力财功等符于变瞧形能否（能蚊量守踪蝶恒及秩转换剪原理字）2、滤杆件渴产生凡基本棕变形驻时的政变形师能（1币）轴么向拉厌伸或府压缩PLLoBLPA式中——轴力，A——截面面积第九管章您能量民法/跃二发变形王能由拉墨压杆煎件组膨成的趴杆系攀的变厌形能肯：P12345受力详复杂凉杆(爱轴力坏沿杆鞭的轴茧线变纵化)毙的变仅形能qLxdx第九策章泼能量粮法/志二损变形拖能（2觉）圆不截面直杆的鸣扭转mLmoBmA圆截撕面杆温的变第形能式中Mn——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

第九境章懂能量迎法/肺二泰变形献能受力网复杂庸的圆掀截面侮杆(喉扭矩约沿杆尼的轴怀线为袋变量累)

xdxLtAB第九址章蛋能量盗法/偏二苦变形续能（3愿）平越面弯懒曲纯弯粱曲梁佳的变损形能：式中臂M窑－梁苏横截呜面上逝的弯摊矩；I－撑梁横唯截面费对中障性轴估的惯仓性矩LmmoBAm第九焰章予能量解法/灶二爪变形斤能横力岩弯曲轰梁(界弯矩慨沿梁楼的轴满线为锁变量挑)的搬变形跌能Pm=PaACBaa第九叨章权能量费法/大二跃变形是能式中一般降实心律截面律的细复长梁揭:剪剥切变己形能沟远小彩于其粘弯曲壁变形锦能，贴通常商忽略篇不计唇。k范由截滤面的残几何植形状弯决定筹:矩形揉截面监:k戴=1抱.2志,圆截坛面:苦k=判10扎/9勇,圆拨环形陕截面羞:k俯=2轿。（4角）剪泛切第九碰章馋能量帖法/省二听变形利能L3软产生纯组合坐变形嘉时的购变形菠能注意斯：变纱形能翁为内摘力（钟或外射力）哲的二坝次函犬数，顶故叠钉加原饼理在渠变形疫能计疫算中乐不能柔使用锯。第九糖章练能量扇法/爪二垦变形巷能4牲关于膛变形撒能计姿算的查讨论以上根计算瓶公式呀仅适勾用于泰线弹透性材讯料在理小变献形下肃的变狸形能肝的计址算。变形迅能可吨以通摔过外力摄功计算警，也好可以饮通过物杆件矛微段兵上的内力围功等于运微段民的变压形能代，然坦后积扩分求莲得整盲个杆祸件上心的变侵形能如。变形训能为伐内力上（或芒外力洗）的汉二次奋函数郊，故看叠加拆原理蛇在变犹形能笑计算中不谁能使扬用。只客有当倒杆件刷上任南一载警荷在斑其他灰载荷剧引起计的位昏移上兄不做导功时，神才可责应用臭。4粉变淋形能弄是恒醒为正智的标烘量，塌与坐聋标轴党的选筋择无遵关，玩在杆搂系结握构中拖，各层杆可打独立贴选取丹坐标底系。第九狠章遇能量挎法/欢二茂变形当能第九梁章铲能量梯法/院二晨变形抛能BlAmoEIx例题房诚计算赌图示俊梁在棉集中丙力偶命mo作用肺下的铸变形饲能(a挨)第九证章梳能量贫法/锈二络变形孔能BlAPEIx例题贴计算尘图示置梁在假集中醒力P馆作用姓下的盖变形眯能(b如)第九含章腐能量由法/呢二外变形救能BlAPEIx例题胀计算纠图示宜梁在注集中脏力偶遮mo、集败中力剖P共井同作往用下刮的变陡形能(c淋)第九庄章史能量寇法/搁二胁变形帐能分析绞与讨阳论(1滥)午从上气述变千形能心计算探结果寺可知升：这是第因为即旗变吐形能浙是力匙的二面次函驰数,浸一般彼说来烂,变微形能蓬不可胞以简谨单的施叠加第九拴章诊能量挨法/踏二胆变形恩能分析田与讨梨论(2味)为戴什么施有时茂两种旅荷载际单独龟作用哈时的击变形弟能可道以进餐行叠辛加,点是因拒为其较中一清种荷渗载在结另一臣种荷债载引岸起的框位移说上不河作功洁.例如庸,一茅直杆趟同时冶承受录弯曲驼与扭养转作璃用时殿,就绒可以渗把扭梯转变普形能巷和弯棕曲变厕形能朱叠加非起来就进行温计算搁.因易为扭内转在询弯曲宋引起长的转旦角亿上不艳作功滚,弯双矩在术扭转熔引起置的扭嫩转角顺上可也不屿作功联.第九害章铸能量艳法利用食功能剧原理欣计算呀位移利用双可以晨计算务荷载曲作用赛点的白位移猫,但粥是只限狂于单斧一荷哪载作赴用,狱而且追所求宅位移燥只是蔽荷载颤作用素点(或尘作用订面)沸沿着谊荷载蛇作用困方向河与荷扇载相狗对应傅的位夏移。第九甩章薪能量拢法/孟三头利用冈功能解原理鉴计算育位移blaP例题联图示其变截电面受独拉杆可，E、A暗为衣已知衡，求傍加力畜点C梦的水声平位绪移第九原章色能量贪法/堡三寨利用怕功能询原理捆计算考位移lc2AA第九腾章铁能量的法/包三名利用拉功能旗原理铲计算息位移解：（械1）未变形锣能计仔算整根缎杆的稿变形泄能第九扒章咽能量凳法/乐三兄利用他功能币原理质计算能位移（2闷）位诱移计仪算即得第九汤章隆能量善法/校三进利用听功能雷原理最计算饿位移分析蜜和讨汁论1扔若采需要绑位移东处无框外力读作用沈,如选求b荐截面押,圣外力哈功表讽达式血中无古需求映的位翠移项批,因唤此无谋法求旬。2宪若觉在该逐杆上决作用贞的外基力多绕于一菜个,纷如在谋b截桐面上扭还作珠用一域个P1力,确这时强.外轿力表氏达式斜无两绝个或获两个岭以上僚的位汁移,睛显然询也不聚能求达位移扰的大手小。第九声章须能量链法四功求位急移的扰卡氏喘定理1烂卡式鞭定理若弹乏性体陡上作昨用着帜多个俱外力批(广翠义力递),的则该方弹性体的恼变形兄能称,对医于任宾一外讨力的恼偏导将数,就等贝于该滨力作绿用处庙沿其炭作用前方向色的位页移(诉广义游位移潮),即第九蜘章课能量僻法/拔四懂求位凉移的移卡氏心定理1洽卡式集定理请的证亏明设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。可以汉证明幸：第九春章舒能量勾法/计四烂求位攻移的岁卡氏企定理证明鼓：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的狂总变诊形能剩为：(a)考虑若两种泪不同巡寿的加陪载次片序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：第九赌章昌能量璃法/酬四米求位馋移的震卡氏瓣定理(2艺)熄先加慨，然角后再争加汽，此沃时弹干性体颂的变雾形能由三益部分园组成有：梁的盏总变画形能彼为：(b)(a射)珠在辱相应妹的位糖移途上院所作绒的功(b掠)哥在相拒应位挂移咬上所唐作的尸功：(c德)原杆先作榨用在端梁上钢的对位驼移躺所作渐的功第九屡章阅能量医法/系四男求位进移的泰卡氏晨定理根据艺弹性平体的筝变形立能只罚决定禽于外王力的平最终纤值，腾而与套加载欺的次尘序无独关。虽(a碗)(作b)孝两式蓝相等班：略去参二阶连微量暂，化扒简后使得：证毕沈。第九舞章魂能量怠法/酸四丑求位躬移的分卡氏涉定理3纱卡氏桂定理笑的应或用应用昼卡氏团定理免计算练位移程时应仰注意伶:（1甜）卡虫氏定对理中驴的疲应理仙解为演广义欠力，塘应理态解为广绣义位耻移。（2）只盼有当婆弹性针系统俱为线东性，委即其机位移扒与荷竟载成线性雨关系防时，胞才能算应用我卡氏神定理输。第九快章壁能量艇法/笑四查求位考移的窄卡氏胡定理应用辞卡氏浇定理邻计算广位移宅时应隔注意结:（3状）当压需利研用卡云氏定围理来寒计算加没有爷外力偷作用杜处的延位移埋（或配所需享要的赴位移蓝与加秒力方旨向不曲一致阁）时及，可柴在需报要位臂移处荐沿着耕所需味求位被移的尼方向饥任设棉一个子力（允等于寨零）鞭，写错出所脖有力脾（包现括遗）极作用欠下的把变形戏能U插的表窜达式掩，并尼将其皱对则求恳偏导饿数，初然后张再令莲等理于零殿，便削得所都求位描移。第九待章劈燕能量堤法/妥四破求位床移的隔卡氏浓定理（4麦）先热偏导深后积借分利用茧卡氏件定理搭解位模移时涛，一小般遵穿循“叹先偏香导后碗积分存”的昏原则嘱：①列猛出内阅力方祝程②先鹅偏导卵，即螺求出缓的结棍果；③后非积分银，完但成上阔述偏压导后新，再昏将其哑代入亲下列肤式中宵进行腾积分幕，从炮而求沈得需扇求位东移。第九冠章终能量福法/谨四模求位英移的齿卡氏挤定理第九纺章艇能量召法/脑四悼求位且移的污卡氏封定理卡氏浇定理集在各遭种受弓力情帅况下卡的表参达式拉（意压）蒙杆：扭转坐杆：弯曲铺变形雅杆：组合逐变形造杆：桁架脱：第九害章穷能量崖法/卷四永求位皮移的庸卡氏园定理应用闹卡氏定桃理求热出喘为正步时，拾表示尝该广挣义位疏移与刻其相青应的朴广义充力作报用方运向一香致；浑若为旺负值殿，则撑表示飞方向尊相反季。第九瓶章叫能量贡法/境四疏求位衔移的料卡氏窗定理例题爬试求愿图示礼梁自末由端蜓A截漂面的优挠度寄和转粥角度。BA解：绞1虫求罢：（1触）列千方程京及对针P的目偏导搞数：（2利）岁计算罗：结果礼为正罩，说昼明池与点P纤方向拔一致位。第九懂章咬能量蜓法/墨四柴求位骗移的托卡氏财定理第九挨章确能量州法/缴四羡求位卡移的蕉卡氏套定理2薪求罢：求焦，可新A处丘无力澡偶作坚用，伪因此乒需在届A处桐暂时丘加一普个虚顿拟的东力偶绩矩新，每如图展所示敞：BA第九影章趁能量捉法/童四蒜求位扭移的复卡氏听定理（1村）列壶