2023年高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库第三章微分中值定理与导数的应用

一、推断题

1.若()fx定义在[,]ab上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0fξ=。（）

2.若()fx在[,]ab上延续且()()fafb=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0fξ=。（）

3.若函数()fx在[,]ab内可导且lim()lim()xaxbfxfx→+→-

=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0fξ=。（）4.若()fx在[,]ab内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()fbffbaξ-=-。（）5.由于函数()fxx=在[1,1]-上延续，且(1)(1)ff-=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使

'()0fξ=。

（）6.若对随意(,)xab∈，都有'()0fx=，则在(,)ab内()fx恒为常数。（）7.若对随意(,)xab∈，都有''()()fxgx=，则在(,)ab内()()fxgx=。（）8.arcsinarccos,[1,1]2

xxxπ

+=∈-。

（）9.arctanarctan,(,)2

xxxπ

+=

∈-∞+∞。

（）10.若()(1)(2)(3)fxxxxx=，则导函数'()fx有3个不同的实根。

（）11.若22()(1)(4)fxxx=--，则导函数'()fx有3个不同的实根。

（）12.'

'

222(2)limlim

21(21)xxxxxx→→=--

（）

13.22'

0011lim

lim()sinsinxxxxeexx

→→--=（）14.若'()0fx>则()0fx>。

（）

15.若在(,)ab内()fx，()gx都可导，且''()()fxgx>，则在(,)ab内必有()()fxgx>。（）16.函数()arctanfxxx=-在R上是严格单调递减函数。

（）17.由于函数()fxx=在0x=处不行导，所以0x=不是()fx的极值点。

（）

18.函数()fxx=在0x=的领域内有()(0)fxf≥，所以()fx在0x=处取得微小值。（）19.函数sinyxx=-在[0,2]π严格单调增强。（）20.函数1xyex=+-在(,0]-∞严格单调增强。

（）21.方程32210xxx++-=在()0,1内惟独一个实数根。（）

22.函数y[0,)+∞严格单调增强。（）

23.函数y(,0]-∞严格单调削减。（）24.若'0()0fx=则0x必为'0()fx的极值点。（）25.若0x为()fx极值点则必有'(0)0f=。

（）

26.3()fxx=在0x=处有(0)0f'=，所以0x=是()fx的极值点。（）27.若00(,())xfx为曲线()yfx=的拐点，则必有''0()0fx=。

（）28.若''0()0fx=，则00(,())xfx必为函数曲线()yfx=的拐点。

（）

29.若在I上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I上是凹的。（）30.曲线4263yxxx=-+在区间（0,1）内是凸的。（）31.曲线2ln(1)yx=-的图形到处是凹的。（）32.曲线3xyxe-=的拐点0x=。

（）33.曲线3yx=在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的。

（）34.曲线lnx

yx

=有水平渐近线0y=。

（）

二、挑选题

1.若()fx在(,)ab内可导，12,xx是(,)ab内随意两点，且12xx，''(0)0f，()0fx''，()0fx''，()0fx''>

C.'()0fx

11.要使点(1,3)为曲线32yaxbx=+的拐点则,ab值应为

（）

A.93,22ab==-

B.39

a,22

b=-=C.3,6ab=-=D.2,1ab==

12.点(1,2)是曲线23yaxbx=+的拐点，则

（）

A.0,2ab==

B.1,1ab==

C.2,0ab==

D.3,1ab==-13.曲线23()3fxxx=-在

（）

A.在(,1)-∞内是凸的，(1,)+∞内是凹的

B.在(1,)+∞内是凸的，(,1)-∞内是凹的

C.在(,0)-∞内是凸的，(0,)+∞内是凹的

D.在(0,)+∞内是凸的，(,0)-∞内是凹的

14.2是函数32362yxxx=-+-在[1,1]-上的

（）

A.极大值

B.微小值

C.最大值

D.最小值

15.函数3229121yxxx=-++在[]0,2上的最大值点与最小值点分离是

（）

A.1，0

B.1，2

C.2，0

D.2，1

16.设'()(1)(21),(,)fxxxx=-+∈-∞+∞则在1

(,1)2

内曲线()fx单调

（）

A.递增凹的

B.递减凹的

C.递增凸的

D.递减凸的

17.当0x>，则曲线1

sinyxx

=

（）

A.仅有水平渐近线

B.仅有垂直渐近线

C.既有水平又有垂直渐近线

D.既没有水平又没有垂直渐近线

18.曲线2

2

11xxeye

--+=

-（）

A.仅有水平渐近线

B.仅有垂直渐近线

C.既有水平又有垂直渐近线

D.既没有水平又没有垂直渐近线19.曲线11x

ye=-的渐近线

（）

A.1x=为垂直渐近线，0y=为水平渐近线

B.1x=为垂直渐近线，1y=为水平渐近线

C.0x=为垂直渐近线，0y=为水平渐近线

D.0x=为垂直渐近线，1y=为水平渐近线

三、填空题

1.若函数()fx在[,]ab上可导，则至少存在一点(a,b)ξ∈使得'()fξ=。

2.函数23

()1fxx=+在(1,1)-内满足罗尔中值定理的点是ξ=。

3.函数()fx=(0,3)内满足罗尔中值定理的点是ξ=。

4.函数3()2fxx=在(1,1)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ=。

5.函数32()52fxxxx=-+-在(1,0)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ=。

6.函数()sin,()cos,fxxgxx==在(0,)2xπ

∈内满足柯西中值定理的点是ξ=。

7.函数(),()fxxgx==在(0,1)x∈内满足柯西中值定理的点是ξ=。8.函数2()pfxxqxr=++在区间(,)ab内满足拉格朗日中值定理的点是ξ=。9.函数32()2fxxxx=--，()21gxx=+在区间(0,1)内满足柯西中值定理的点是ξ=。10.函数()arctanfxxx=-在(,)-∞+∞上严格单调。

11.函数()2cosfxxx=+在[0,]2

π

内的最大值点是。

12.函数1

()11fxxx=-+-的极大值点是，微小值点是。

13.曲线2

xye

-=在区间上是凸的。

14.曲线31(2)yx=--的拐点是。

15.曲线2

11x

yx=++的水平渐近线为。16.曲线21

4yxx=+的垂直渐近线为。

17.曲线1x

ye=的水平渐近线为。18.曲线2

11x

yx

=+

+的水平渐近线为。

19.曲线2

(3)2(1)

xyx-=-的斜渐近线为。

20.曲线3

(3)(1)xyxx=+-的垂直渐近线为。

21.曲线3

(3)(1)

xyxx=+-的斜渐近线为。

四、求解题

1.求函数3229123yxxx=-+-的单调性和极值。

2.求函数2

3(2)(1)yxx=+-的单调性和极值。3.求函数23

1(2)yx=--的单调性和极值。4.求函数()1xfxex=--的单调性。

5.求函数3()(1)fxxx=-的单调区间并求极值。

6.求函数2

()1x

fxx=

+的单调区间并求极值。7.求函数32()231214fxxxx=+-+在[3,4]-上的最值。

8.求函数32392yxxx=--+在[4,4]-上的最大值和最小值。

9.求32()23fxxx=-在[1,4]-上的最值。10.求32()231214fxxxx=+-+在[3,4]-的最值。

11.求曲线xyxe-=的凸凹性及其拐点。

五、证实题

1.设0,1abn>>>证实：1

1.nnnnabnbnaab

，

1ln(1)1.1xxx

+>证实：

lnln.abab

abab--时，1xex>+。

7.当0x>时，1

12

x+

>

8.当0x>时，1ln(xx+>

9.证实3()21fxxx=++在(,)-∞+∞内惟独一个零点。10.1()()(0,0,,1)22

n

nnxyxyxyxyn++>>>≠>。11.

lnln()ln,(0,0,)2

xy

xxyxxyxyxy++>+>>≠。

六、应用题

1.一个房产公司有50套公寓需要出租，当租金每套每月为1000元时，公寓会所有租出，当租金每月增强50元时，就会有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套花费100元的维护费。问房租定为多少可获得最大收入？

2.有一块边长为6a的正方形铁片，在每个角剪去一个边长同样的小正方形，然后将四角折起来，做成无盖的方盒。问为了使盒子体积最大，剪去小正方形的边长为多少的？

3.已