人教A版数学选修21培优教程讲义第三章空间向量与立体几何31314

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1．空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a，b，ceq\o(□,\s\up3(01))不共面，那么对空间任一向量p结论存在eq\o(□,\s\up3(02))唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc(2)基底与基向量eq\o(□,\s\up3(03))如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，eq\o(□,\s\up3(04))a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底eq\o(□,\s\up3(05))三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底，用eq\o(□,\s\up3(06)){e1，e2，e3}表示．(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的eq\o(□,\s\up3(07))公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的eq\o(□,\s\up3(08))正方向建立空间直角坐标系eq\o(□,\s\up3(09))Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它eq\o(□,\s\up3(10))平移，使它的eq\o(□,\s\up3(11))起点与原点O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝eq\o(□,\s\up3(12))xe1＋ye2＋ze3.把eq\o(□,\s\up3(13))x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝eq\o(□,\s\up3(14))(x，y，z)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)向量eq\o(AP,\s\up6(→))的坐标与点P的坐标一致．()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面(2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．(4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则eq\o(AD1,\s\up6(→))的坐标为________，eq\o(AC1,\s\up6(→))的坐标为________．答案(1)A(2)(2，－1,3)(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)探究1基底的概念例1若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[解]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为空间的一个基底，∴a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ，))此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．拓展提升基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．【跟踪训练1】设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析解法一：由空间向量共面的充要条件知：若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不能作为基底．若②中，假设x，y，z共面，则z＝λx＋μy，即：c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＋μ＝0，,μ＝1，))此方程组无解．∴x，y，z不共面，故②能作为基底．同理，③能作为基底．对④，若x，y，a＋b＋c共面，则存在实数λ，μ，使a＋b＋c＝λx＋μy＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＋μ＝1，,μ＝1，))此方程组无解．∴x，y，a＋b＋c不共面，故④能作为基底．解法二：如图所示，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则x＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up6(→))，由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．探究2用基底表示向量例2如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).[解]连接AC，AC1.(1)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.(2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\o(AD1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.[结论探究]如果把例2中要表示的向量改为eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BQ,\s\up6(→))，怎样解答呢？解eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b－c.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝b＋eq\f(1,2)(－a＋c)＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c＝－eq\f(4,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.拓展提升用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．【跟踪训练2】下图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别为PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解连接OB，OE，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(OP,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)b.又∵E，F分别为PC，PB的中点，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.探究3空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．[解]因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up6(→))＝e3.因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)e3＋eq\f(1,2)e2.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).[结论探究]其他条件不变，上例问法改为：求向量eq\o(ND,\s\up6(→))的坐标．解因为PA＝AD＝AB，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up6(→))＝e3，因为eq\o(ND,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))－eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2－eq\f(1,2)e3，所以eq\o(ND,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2))).[条件探究]其他条件同例3，空间直角坐标系的建立不同于例3.建立如图所示的空间直角坐标系，求eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))的坐标．解因为PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设eq\o(DA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，eq\o(AP,\s\up6(→))＝e3.分别以e1，e2，e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，如题图所示，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)e2＋e3＋eq\f(1,2)(－e3－e1＋e2)＝－eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e3，从而可知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2))).拓展提升1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．2．求空间向量坐标的一般步骤(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．3．适当的坐标系有时不是唯一的，在不同坐标系下，同一向量的坐标一般不同．【跟踪训练3】已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出eq\o(DB1,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))的坐标．解设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，则eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝2e1＋2e2＋2e3，∴eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)．∵eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝2e1＋2e2＋e3，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,2,1)．又∵eq\o(DF,\s\up6(→))＝e2，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝(0,1,0)．1.正确理解基底的概念基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.求空间向量坐标的方法空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示向量的方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.1．若O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则()A.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 B.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线C.eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 D．O，A，B，C四点共面答案D解析由eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成基底，知eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与点B的坐标相同B．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与点A的坐标相同C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与向量eq\o(OB,\s\up6(→))的坐标相同D．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标与eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标相同答案D解析在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发的向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与A．重合B．垂直C．平行D．无法确定答案B解析连接C1E，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．设正方体的棱长为1，于是eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·eq\b\lc\