人教A版选择性必修第一册第三章第9课时抛物线的简单几何性质(一)作业

第9课时抛物线的简洁几何性质(一) 1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2eq\r(2)，那么p＝(B)A．2B．2或4C．1或2D．1解析：由于抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2eq\r(2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|yM|＝2\r(2)，,xM＋\f(p,2)＝3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|yM|＝2\r(2)，,xM＝3－\f(p,2)，))代入抛物线的方程可得8＝2p(3－eq\f(p,2))，整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4.应选B.2．在同一坐标系中，方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是(D)A.B.C.D.解析：由a>b>0，方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，ax＋by2＝0得y2＝－eq\f(a,b)x，－eq\f(a,b)<0表示焦点在x轴上开口向左的抛物线．应选D.3．P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，假设|PF|＝2，∠PFO＝eq\f(π,3)，那么抛物线C的方程为(A)A．y2＝6xB．y2＝2xC．y2＝xD．y2＝4x解析：过P向x轴作垂线，设垂足为Q，由于∠PFO＝eq\f(π,3)，|PF|＝2，所以|PQ|＝eq\r(3)，|QF|＝1，P(eq\f(p,2)－1，±eq\r(3))，将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故抛物线C的方程为y2＝6x.4．点(x，y)在抛物线y2＝4x上，那么z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3的最小值是3.解析：由于点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0.由于z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当x＝0时，z最小，其值为3.5．过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线，这样的直线有几条？解析：当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满意直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点．当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝eq\f(1,2)，直线方程为y＝eq\f(1,2)x＋1.故满意条件的直线有三条．6．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，那么有(B)A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|B．|PP1|＝eq\f(1,2)|AB|C．|PP1|>eq\f(1,2)|AB|D．|PP1|＜eq\f(1,2)|AB|解析：如图，依据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，故|PP1|＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|.7．(多项选择)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，那么(BCD)A．C的准线方程为y＝1B．线段PQ长度的最小值为4C．M的坐标可能为(3，2)D.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－3解析：焦点F到准线的距离为p＝2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x＝－1，那么A错误；当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，那么B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，联立x＝my＋1，y2＝4x，消去y可得x2－(4m2＋2)x＋1＝0，消去x可得y2－4my－4＝0，所以x1＋x2＝4m2＋2，y1＋y2＝4m，当m＝1时，可得M(3，2)，那么C正确；又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3，那么D正确．应选BCD.8．给出以下四个命题：①平面内与肯定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；②抛物线y＝ax2的焦点到原点的距离是eq\f(|a|,4)；③直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝x1＋x2＋p；④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，那么此正三角形的边长为4eq\r(3)p.其中正确命题的序号是④.解析：①当定点F正好在定直线l上时，平面内与肯定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线，故①错．②当a>0时，整理抛物线的方程得x2＝eq\f(1,a)y，p＝eq\f(1,2a).所以焦点坐标为(0，eq\f(1,4a))，抛物线y＝ax2的焦点到原点的距离是eq\f(1,4|a|)，故②错．③当直线l不是过抛物线焦点的直线时，直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝x1＋x2＋p不成立，故③错．④设正三角形另外两个顶点的坐标分别为(eq\f(m2,2p)，m)，(eq\f(m2,2p)，－m)，由tan30°＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(m,\f(m2,2p))，解得m＝2eq\r(3)p，故这个正三角形的边长为2m＝4eq\r(3)p，故④正确．9．直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)假设直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)假设|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解析：(1)由于直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又F(eq\f(3,2)，0)，所以直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－eq\f(3,2))．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)〔x－\f(3,2)〕，))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到准线的距离为3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).10．M到点F(1，0)和直线x＝－1的距离相等，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)过点F作相互垂直的两条直线l1，l2，曲线C与l1交于点P1，P2，与l2交于点Q1，Q2，试证明：eq\f(1,|P1P2|)＋eq\f(1,|Q1Q2|)＝eq\f(1,4).解析：(1)由于点M到点F(1，0)和直线x＝－1的距离相等，由抛物线的定义可知，点M的轨迹是抛物线，设方程为y2＝2px(p>0).由于eq\f(p,2)2＝4x.(2)证明：由题意知，l1，l2的斜率均存在且不为0.设l1的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线的方程，整理可得k2