重难点02轴对称综合题（4种题型）（解析版）

重难点02轴对称综合题（4种题型）技巧技巧方法一、轴对称图形轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定．

二、轴对称

1．轴对称定义1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变．2．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段．四、对称轴的作法

在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．五、线段和角都是轴对称图形。能力拓展能力拓展题型一：线段问题一、单选题1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知三点，，，当的值最大时，的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由点M的坐标可知：点M在直线y=x上，作点B关于直线y=x的对称点，则点的坐标为(1,0)，直线与直线y=x的交点，即为所求的点M，此时的值最大，根据点A、的坐标可求得直线的解析式，据此即可求得m的值．【详解】解：由点M的坐标可知：点M在直线y=x上，作点B关于直线y=x的对称点，则点的坐标为(1,0)，直线与直线y=x的交点，即为所求的点M，如图：设点N是直线y=x上异于点M的点，连接NA、，，此时的值最大，设直线的解析式为y=kx+b，把点A、的坐标分别代入，得解得故直线的解析式为，把代入解析式，得，解得，故选：A．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，轴对称最大问题，准确找到点M的位置是解决本题的关键．2．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，点N、P、Q分别为边上的动点，连接，若，则的周长的最小值为（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】分别作点Q关于AB、AC的对称点G、H，连接GH，分别交AB、AC于点N、P，连接AG、AH、AQ，由对称可知，，当时，AQ最短，即GH最短，此时的周长最小，再根据面积求解即可．【详解】分别作点Q关于AB、AC的对称点G、H，连接GH，分别交AB、AC于点N、P，连接AG、AH、AQ由对称可知，的周长，是等边三角形当时，AQ最短，即GH最短此时的周长最小即的周长的最小值为8故选：C．【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，涉及等边三角形的判定和性质、轴对称作图、三角形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2021·湖南长沙·八年级期中）如图，王大爷从王村出发，先把牛送到河边草地吃草，再去李村走访亲戚，则按图中所示的哪条路线走，路程最短（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点之间线段最短的知识和轴对称的性质即可解答．【详解】解∶王大爷按如图路线走，路程最短，故选∶C．【点睛】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质．二、填空题4．（2022·四川成都·八年级期末）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是______．【答案】【分析】根据题意，建立直角坐标系，写出对应点坐标，利用光的反射原理与对称性，求出点、的坐标，勾股定理即可求解．【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，，D为边上靠近点的三等分点，可得，，，，，，设，分别是点关于直线和轴的对称点，则，，由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，光线走过的路径，，即光线走过的路径是．故答案为：．【点睛】本题考查三角形的性质与轴对称图形的灵活应用问题，关键在于正确建立直角坐标系并求解．5．（2022·江苏·八年级专题练习）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为，B点的坐标为．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______．【答案】5+【分析】作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，然后判断当，C，D，在同一直线上时，四边形ABCD的周长最小，然后根据勾股定理即可求解．【详解】解∶作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，连接交y轴于点D，交x轴于点C，则，，，，∴，AD+CD+BC=，当，C，D，在同一直线上时，最小，即AD+CD+BC最小，此时四边形ABCD的周长也最小，最小值为．故答案是：．【点睛】本题考查了轴对称和两点之间线段最短，解题的关键是判断出A关于y轴的对称点，B关于x轴的对称点，C，D在同一直线上，四边形ABCD的周长最小．6．（2022·全国·八年级）如图，海上救援船要从A处到海岸上的M处携带救援设备，再回到海上C处对故障船实施救援，使得行驶的总路程为最小．已知救援船和故障船到海岸的最短路径分别为AB和CD，海里，，救援船的平均速度是25节（1节=1海里/小时），则这艘救援船从A处最快到达故障船所在C处的时间为________小时．【答案】1.6【分析】作A关于BD的对称点Q，连接CQ即可，求出AM＋CM＝QC，根据勾股定理求出CQ即可．【详解】解：作A关于BD的对称点Q，连接CQ，交BD于M，则此时点M为所求；∴AM＋CM＝QM＋CM＝CQ，过Q作QR⊥CD，交CD的延长线于R，则四边形BQRD是矩形，所以BD＝QR，BQ＝DR，∵A、Q关于BD对称，∴AB＝BQ＝DR，∵∠AMB＝60°，∴BM＝AB，AM＝2BM，CM＝2MD∴AM＋CM＝2BD＝2×20＝40（海里），即CQ＝40（海里），∵救援船的速度是25节（1节＝1海里/小时），∴这艘救援船最快＝1.6（小时）到达故障船．故答案为：1.6．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，能找出点M的位置是解此题的关键．7．（2021·重庆巫溪·八年级期末）如图，点A，点B在直线l的同侧，且两点到直线/的距离相等．A，B两点之间的距离是点A到直线l的距离的2倍，点C在直线l上，当最小时，则__________度．【答案】90【分析】过点A作直线l的垂直AD交BC延长线于D，交l于点E，当AC+BC最小时，则点A与点D关于直线l对称，根据对称的性质，得AE⊥l，根据点A，点B在直线l的同侧，且两点到直线/的距离相等，所以ABl，从而得到△ABD是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠ACB度数．【详解】解：如图，过点A作直线l的垂直AD交BC延长线于D，交l于点E，如图，当AC+BC最小时，则点A与点D关于直线l对称，所以AE⊥l，设AE=m，则AD=AB=2m，又因为点A，点B在直线l的同侧，且两点到直线/的距离相等，所以AB/l，所以AB⊥AD，所以△ABD是等腰直角三角形，所以∠D=45°，因为点A与点D关于直线l对称，所以∠ACE=∠DCE=∠CAD=∠D=45°，所以∠ACD=90°，所以∠ACB=90°，故答案为90°．【点睛】本题考查轴对称性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键.8．（2022·福建·厦门外国语学校八年级期末）如图，小明用一张等腰直角三角形纸片做折纸实验，其中∠C=90°，AC=BC=10，AB=10，点C关于折痕AD的对应点E恰好落在AB边上，小明在折痕AD上任取一点P，则△PEB周长的最小值是___________．【答案】【分析】连接CE，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．【详解】解：连接CE，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE=10，∠CAD=∠EAD，∴BE=10-10，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=10+10-10=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，关键是求出P点的位置．三、解答题9．（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）【阅读思考】已知0＜x＜1，求的最小值分析：如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP＝x，则PC＝1－x，那么可以用含x的式子表示AP、DP，问题可以转化为AP与PD的和的最小值，用几何知识可以解答(1)AP＋PD的最小值为________(2)运用以上方法求：的最小值，其中x、y为两正数，且x＋y＝6(3)借助上述的思考过程，求的最大值【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）作点D关于BC的对称点，连接，则AP+PD的最小值即为的长，用勾股定理求出即可（2）构造图形，由x＋y＝6，得=，当点A、P、D三点共线时，AP+PD的最小值为AD的长，作·，交DC的延长线与点E，由勾股定理求出AD即可(3)构造图形，由，则当A、D、P三点共线时，的最大值为AD，延长AD，BC交与E，作于H，由勾股定理求出AD即可（1）解：作点D关于BC的对称点，连接，则AP+PD的最小值即为的长，再中，由勾股定理，得：故答案为（2）x＋y＝6，得=则AP+PD=，当点A、P、D三点共线时，AP+PD的最小值为AD的长，作，交DC的延长线与点E，令由题，令BP=x,则需要令AB=3，BC=6，CD=1由，由勾股定理，得：即的最小值为（3）如图：令BP=x，则，则当A、D、P三点共线时，的最大值为AD延长AD，BC交与E，作于H由勾股定理，得：即得最大值为【点睛】本题考查四边形得综合问题，考查轴对称中的最短路径，勾股定理的常识，利用数形结合时解题关键．10．（2022·江苏南通·八年级期末）矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．(1)如图，求的度数；(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；(3)如图，当，时，连接，，求的长．【答案】(1)45°；(2)5；(3)4【分析】（1）由折叠的性质得，则；（2）连接，，，，由折叠的性质知垂直平分，垂直平分，则，，再求出，利用勾股定理可得答案；（3）设，则，，，过点作垂直交的延长线于，证明四边形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．（1）解：由折叠的性质可知：，，四边形是矩形，，，，；（2）如图，连接，，，，若，则四边形是正方形，由题意可知点与点重合，由折叠的性质可知：点与点关于对称，点与点关于对称，垂直平分，垂直平分，，，为正方形的对角线，，，，在中，由勾股定理得：．（3）设，由题意可知：，，，，，是等腰直角三角形，在矩形中，，，，，，，由折叠的性质可知：，，，，，，，如图，过点作垂直交的延长线于，则，四边形是矩形，，，，在中，由勾股定理得：，即，整理得：，解得或舍去，．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．11．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高，作DFAB交AC于点F．(1)如图1，若∠B＝75°，AD＝2，求线段CF的长度；(2)如图2，点E是线段AD的中点，且DE＝DB，连接EF，点G在AD左侧，AG⊥AC，且AG＝CF，连接BG，试探索线段BG、DF、AB的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，在（2）的条件下，线段CF上有一动点M，连接EM，将△EFM沿EM翻折得△EF'M，取AB的中点H，连接CF'、BF'、HF'．若，当线段CF'的长度最小时，直接写出△BHF'的面积．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）过点作于点，证明，是等腰直角三角形，勾股定理求得，根据即可求解；（2）过点作，延长交于点，过点作，交于点，连接，证明，得出，证明，得出，进而可得；（3）三点共线时，取得最小值，过点作于，连接，过点作于点，根据求得，根据共线求得，进而根据即可求解．(1)如图，过点作于点，，，，，是等腰直角三角形，，，，；(2)如图，过点作，延长交于点，过点作，交于点，连接，，，是的中点，是等腰直角三角形，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，在与中，，，，；(3)如图，，，，，，，，，三点共线时，取得最小值，此时如图，过点作于，连接，过点作于点，，，，，，，，，，是的中点，，，，，．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，线段和最短问题，综合运用以上知识是解题的关键．12．（2022·湖北武汉·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，已知A（6，0），B（0，8）．(1)如图1，点M是y轴上一点，将△AOM沿着AM折叠，使点O落在AB上的N处，求M点的坐标；(2)如图2，四边形AOBC是矩形，D是AC边上一点（不与点A、C重合），将△BCD沿直线BD翻折，使点C落在点E处．当以O、E、B三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求E点的坐标；(3)如图3，在OA上一点G坐标为（2，0），连BG，点F与点O关于直线BG对称，在（2）的条件下，当B，E，F三点共线时，求DG的长度．【答案】(1)点M的坐标为（0，3）；(2)点E的坐标为（，）或（2，4）；(3)DG的长度为．【分析】（1）设M（0，m），求得AB==10，由S△AOM+S△ABM=S△AOB，可以列方程，解方程求出m的值即可；（2）设E（a，b），过点E作EP⊥OB于点P，则P（0，b），∠EPB=∠EPO=90°，以O、E、B三点为顶点的三角形是等腰三角形分两种情况讨论，即可得到此时点E的坐标；（3）先根据勾股定理求得BG的长，再求得四边形OBFG的面积为16，即可列方程求得OF，利用勾股定理列方程，求出DG的长．(1)解：如图1，设M（0，m），由折叠得MN=MO=m，∠ANM=∠AOM=90°，∴MN⊥AB，∵A（6，0），B（0，8），∴AB==10，∵S△AOM+S△ABM=S△AOB，∴×6m+×10m=×6×8，∴解得m=3，∴点M的坐标为（0，3）；(2)解：设E（a，b），过点E作EP⊥OB于点P，则P（0，b），∠EPB=∠EPO=90°，∵四边形AOBC是矩形，∴C（6，8），如图2，△EOB是等腰三角形，且OE=OB=8，由折叠得BE=BC=6，∵BE2-BP2=OE2-OP2=PE2，∴62-（8-b）2=82-b2，解得b=，∴a=PE=，∴E（，）；如图3，△EOB是等腰三角形，且OE=BE=BC=6，∴b=OP=BP=OB=4，∴a=PE=，∴E（2，4），综上所述，点E的坐标为（，）或（2，4）；(3)解：如图4，连接BF、OF、DF、GF、AF，作FR⊥OA于点R，FQ⊥AC于点Q，此时点E在BF上，由折叠得ED=CD，∠BED=∠C=90°，∴DE⊥BF，∵点F与点O关于直线BG对称，G（2，0），∴BG垂直平分OF，AG=OA-OG=4，∴FB=OB=8，FG=OG=2，∵BG=BG，∴△BFG≌△BOG（SSS），∴S四边形OBFG=S△BFG+S△BOG=2S△BOG=2××8×2=16，∵S四边形OBFG=BG•OF，BG=，∴×2OF=16，∴OF=，设GR=n，∵∠FRG=90°，∴OR2+FR2=OF2，OR=2+n，FR2=22-n2=4-n2，∴（2+n）2+4-n2=（）2，解得n=，∴GR=，FR=，∵∠FRA=∠RAQ=∠AQF=90°，∴四边形AQFR是矩形，∴FQ=AR=6-2-=，设ED=CD=a，则AD=8-a，∵S四边形OBFG+S△FAG+S△FAD+S△DBF+S△DBC=S矩形AOBC=6×8=48，∴16+×4×+×（8-a）+×8a+×6a=48，解得a=，∴AD=8-=，∴DG=，∴DG的长度为．【点睛】此题考查轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、图形与坐标、根据面积等式列方程求线段长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．13．（2020·贵州遵义·八年级期末）如图，四边形ABED中，，．(1)求证：．(2)发现：若，，，请用两种方法计算四边形ABCD的面积，并探究a、b、c之间有什么数量关系？(3)应用：①根据（2）中的发现，当，时，AC的长为___；②如图，若，，，点F在PN上，点G在射线PM上连接FM、FG、NG，求的最小值．【答案】(1)见解析；(2)第一种方法：S四边形ABCD=+，第二种方法：；a、b、c之间的数量关系是；(3)①10，②；【分析】（1）根据，，即可证明两个三角形全等；（2）第一种面积求法直接是S△ABC+S△ACD，代入表示即可；第二种面积表示用S梯形ABED-S△CED来表示，就可以得到a、b、c之间的数量关系；（3）①根据（2）中的结论，代入数值即可计算；②作点M关于PN的对称点，作点N关于PM的对称点，连接，线段与PN的交点即为F，与PM的交点即为点G，连接P，P，此时的值最小，代入（2）中的结论，即可算出这个最小值；(1)∵∠B=∠E=∠ACD=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED；(2)第一种方法：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=+，第二种方法：由（1）可知，△ABC≌△CED，∴CD=c，DE=b，CE=a，S四边形ABCD=S梯形ABED-S△CED=，=，∴+=，∴，即a、b、c之间的数量关系是；(3)①∵AB=8，BC=6，∴=100，∴AC=10，②作点M关于PN的对称点，作点N关于PM的对称点，连接，线段与PN的交点即为F，与PM的交点即为点G，连接P，P，此时的值最小；如图所示：∵点M与关于PN对称，点N与关于PM对称，∴F=MF，PM=P=4，∴GN=G，PN=P=7，∠PF=∠FPM=∠MP=30°，∴∠=3×30°=90°∴MF+FG+GN=M1F+FG+N1G≥M1N1，当点M1、F、G、N1四点共线时最短，在△中，∠=90°，PM=4，P=7，∴由（2）可知，==65，∴=，∴的值最小是．【点睛】本题考查全等三角形、图形的面积和轴对称的性质；解题的关键在于找准全等三角形，作出对称点是解决本题的关键．14．（2022·湖北武汉·八年级期末）在△ABC中，（），点E，F分别为AC和AB上的动点，BE与CF相交于G点，且BE＋EF＋CF的值最小．如图1，若AB＝AC，，则∠ABE的大小是______；如图2，∠BGC的大小是______（用含的式子表示）．【答案】

50°

【分析】如图1所示，过点B、C分别作BM⊥AC于M，CN⊥AB于N，如图3所示，分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，结合图1、3，证明当CF⊥AB，BE⊥AC且四点共线时有最小值，由此即可得到答案；根据（1）的结论即可得出∠BGC的度数．【详解】解：如图1所示，过点B、C分别作BM⊥AC于M，CN⊥AB于N，∵E、F都是动点，∴当E于M重合，即BE⊥AC时，BE最短，同理当CF⊥AB时CF最短如图3所示，分别作点C关于AB的对称点，点B关于AC的对称点，∴，，∴，∴当四点共线时，有最小值，∴当CF⊥AB，BE⊥AC且四点共线时有最小值，∴，故答案为：50°；如图2所示，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∴，∴，故答案为：50°；；【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，正确作出辅助线，找到当CF⊥AB，BE⊥AC且四点共线时有最小值是解题的关键．15．（2022·北京市陈经纶中学八年级阶段练习）如图，在□ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EFAB．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时，PC+PF取得最小值，最小值是多少．【答案】(1)见解析(2)点与点重合时，最小，最小值为【分析】（1）根据对边平行可得四边形是平行四边形，根据平行线、角平分线的定义以及等角对等边可得，进而证明四边形是菱形；（2）根据菱形的对称性可知与关于对称，根据点P在线段AE上，可得，代入数值即可求解．(1)四边形是平行四边形，四边形是平行四边形AE平分∠BAD，四边形是菱形(2)四边形是菱形与关于对称，，当点与点重合时，最小，最小值为．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题等，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．16．（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）如图，已知关于x轴的对称点A在直线：上，与直线：交于点B．(1)求直线的解析式与点B的坐标；(2)上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；(3)已知点，M、N是上两个动点，且（N在M的右侧），当的值最小时，直接写出点M、N的坐标；已知点E是平面内除原点外一点，点M、N、C、E组成的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)或(3)的坐标为或【分析】（1）根据轴对称的性质求得点的坐标，即可求得的解析式，进而联立直线解析即可求得交点的坐标；（2）过作轴交直线于点，设直线的解析式为，待定系数法求解析式，进而设P(t,-2t+5)，则即，根据列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T，根据对称性可知C'M=CM，CM＋MN＋ND=C'M＋MN+MRMN+C'R，进而求得的坐标，分三种情况讨论，①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可．(1)解：∵∴点关于轴的对称点点A在直线：上，直线：与直线：交于点B．联立解得(2)存在点P使得，理由如下：过作轴交直线于点，如图，设直线的解析式为则解得直线的解析式为则设P(t,-2t+5)，则即即解得或或(3)如图，过点D作l1的平行线，作C点关于l1的对称点C'，过点C'作ND的平行线交l1于M，过点C作CV⊥x轴交于V点，过点C'作C'U⊥x轴交于U点，设分别交轴于点S,T四边形MRDN是平行四边形，ND=MR，由对称性可知C'M=CM，CM＋MN＋ND=C'M＋MN+MRMN+C'R，当C'、M、R三点共线时，CM+MN+ND的值最小，，令，得，令，得，∠BSO=45°，关于对称，SU=C'U=SV=CV,C(-1,-1),C'U=SU=1,设设直线的解析式为设直线的解析式为解得设，使得组成的四边形是平行四边形①为对角线时，解得②为对角线时，解得③为对角线时，解得（不符合题意，舍）综上所述，的坐标为或【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，平行四边形的性质，三角形的面积，待定系数法求解析式，求两直线的交点，平行四边形的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．17．（2021·天津·八年级期中）已知：点，，．(1)△和关于轴成对称，点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是．①的坐标为，的坐标为；②在图1所示的坐标系中画出△（不写画法）．(2)如图2，请在轴上找一点，使最小，画出点（保留作图痕迹）．【答案】(1)①，；②见解析(2)见解析【分析】（1）①根据坐标直接写出点的坐标；②根据题意找到点的对称点，点的对称点，点的对称点，顺次连接所得即为所求，（2）根据题意作点关于轴的对称点，连接交轴于点即可．(1)①如图1，由图可知，，，故答案为：，；②根据题意找到点的对称点，点的对称点，点的对称点，顺次连接所得即为所求，如图1所示；(2)作点关于轴的对称点，连接交轴于点．【点睛】本题考查了作轴对称图形，根据对称性求线段和的最值，掌握轴对称的性质是解题的关键．18．（2022·重庆巴蜀中学八年级期末）在中，，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，，将沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，先证明∠ACF=∠GAB，即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为；（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，然后证明，得到，则点在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，求出，由H是的中点，得到直线A关于点H的对称点在直线BE上，则要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可．(1)解：如图所示，过点B作BG⊥AE交AE延长线于G，∵AE⊥CF，AG⊥BG，∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°，∠AFC+∠ACF=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∴∠ACF=∠GAB，又∵AB=CA，∴△ABG≌△CAE（AAS），∴BG=AE，在直角△AFC中，由勾股定理得，∵，∴，∴点B到AE的距离为；(2)解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD=∠CFD，∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵AE=HE，∠AEB=∠HED，∴△AEB≌△HED（SAS），∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，∴∠HCD=∠HDC，∴∠BAC=∠HDC=∠HCD，∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD，∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF=GF，∴CF=GF+CG=AF+DG；(3)解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BE⊥BC，由翻折的性质可知，，，，∴，又∵AB=AC，，∴，∴，∴点在线段BC的垂直平分线上，即AF⊥BC，∴，∵H是的中点，∴直线A关于点H的对称点在直线BE上，∴，∴要使△AHC的周长最小，则要最小，即最小，∴当、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，∵BE⊥BC，AF⊥BC，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，BC⊥BE，∴,∵平行线之间的间距相等，∴∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴AB=2AF，∴，∴，∴，∵P在线段BC的垂直平分线上，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．（2022·重庆八中八年级期末）如图1，已知直线AB的解析式为，且的面积为，直线CD的解析式为，点C与点B关于x轴对称．(1)求k和b的值；(2)如图1，点E、F分别为直线AB和x轴上的动点，当的值最小时，求此时点F的坐标，及的值；(3)如图2，将绕着点C旋转得到，直线分别与x轴和直线AB交于点M、点N，当是以AM为底的等腰三角形时，请直接写出线段AM的长度．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）先求解的坐标，再利用面积公式求解即可，再由对称的性质求解的坐标，再求解的值即可；（2）如图，作关于的对称点连接交于交于则此时最短，记的交点为过作轴于过作轴于连接再求解的坐标，利用勾股定理可得最小值，再求解的解析式，即可得到的坐标；（3）如图，旋转到旋转到可得证明为等边三角形，延长交轴于而再分别求解从而可得答案.(1)解：直线AB的解析式为，令则令则的面积为，解得：经检验符合题意，则直线为点C与点B关于x轴对称，则直线为(2)解：如图，作关于的对称点连接交于交于则此时最短，记的交点为过作轴于过作轴于连接由对称的性质可得：为中点，而由勾股定理可得：同理利用等面积法可得：所以此时的值为设为解得：所以为当时，则解得：则(3)解：如图，旋转到旋转到为等边三角形，延长交轴于而【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，熟练的运用运用以上知识解题是解本题的关键.题型二：面积问题一、解答题1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）点A(－1，4)和点B(－5，1)在平面直角坐标系中的位置如图所示，并且AB＝5；(1)点D、C分别为点A、B关于y轴的对称点，请写出点D、C的坐标并画出四边形ABCD；(2)在（1）的条件下，画一条过四边形ABCD的一个顶点的线段，将四边形ABCD分成两个图形，并且使分得图形中的一个是轴对称图形；(3)请直接写出你分成的轴对称图形的面积．【答案】(1)(1，4)，(5，1)，图见解析(2)图见解析(3)12【分析】（1）根据轴对称图形的性质，即可写出点D、C的坐标，并画出四边形ABCD．（2）根据轴对称图形的性质，即可画一条过四边形ABCD的一个顶点的线段，将四边形ABCD分成两个图形，并且使分得图形中的一个是轴对称图形．（3）根据（2）中的轴对称图形是△ABE，算出△ABE的面积即可．（1）D(1，4)，C(5，1)，见图形；（2）见图形，线段AE即为所求线段（答案不唯一）；（3）轴对称图形是△ABE，所以△ABE的面积为：．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，轴对称图形的性质，三角形的面积．熟练掌握平面直角坐标系的相关知识点是解本题的关键．2．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，3），B（1，1），C（4，﹣1）．(1)直接写出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的坐标；(2)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)A1（3，-3），B1（1，-1），C1（4，1）(2)见解析(3)△ABC的面积为5【分析】(1)根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解即可；(2)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；(3)利用割补法求解可得．（1）根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可得：，，．（2）如图所示，即为所求（3）△的面积为：．【点睛】本题主要考查作图一轴对称变换，关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并得出变换后的对应点，同时考查了割补法求三角形的面积．3．（2022·安徽铜陵·八年级期末）如图，ABC和A′B′C′的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且ABC和A′B′C′关于直线m成轴对称．(1)直接写出ABC的面积；(2)请在如图所示的网格中作出对称轴直线m．(3)请在直线m上作一点D，使得AD＋CD最小．（保留必要的作图痕迹）【答案】(1)5(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据△ABC的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三角形面积求解即可；（2）根据题意作图即可；（3）连接与直线m交于点D，点D即为所求；(1)解：的面积；(2)如图，直线m为所求；利用网格或者尺规作图均可；(3)如图，正确即可，不唯一【点睛】本题主要考查画对称轴，轴对称—最短路径问题，三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．4．（2022·山东菏泽·八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．(1)在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的；(2)求出的面积．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积．(1)解：如图，、即为所求；(2)解：．【点睛】本题考查了作图一轴对称变换，解题的关键是掌握几何图形都可视为是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．5．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，(1)请在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；(2)求的面积；(3)在y轴上画出点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．【答案】(1)图见解析，C′(-4，0)(2)10.5(3)图见解析，P(0，4)【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′的坐标，然后描点连接即可；（2）利用三角形面积公式计算；（3）利用两点之间线段最短，A′C与y轴的交点即为所求点P．(1)如图所示，即为所求；；(2)(3)如图，点为所作．P(0，4)【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．6．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为．(1)若把△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，并写出的坐标；(2)求出△ABC的面积；(3)在y轴上找一点P，使得的值最小(保留作图痕迹，不写作法)．【答案】(1)作图见解析，B1(3，－2)(2)5.5(3)作图见解析【分析】（1）根据平移的定义画出图形，写出坐标即可．（2）从图中可知△ABC的面积即为3×4网格减去三个小三角形的面积．（3）作A点关于y轴对称点，连接交y轴于点P，点P即为所求．(1)解：如图，为所求图形.

由图可知:(2)(3)解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查平移与坐标系，解题的关键在于理解平移的概念，利用对称求两线段最短值.7．（2022·云南曲靖·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是，，．(1)画出关于x轴对称的图形．(2)求的面积．(3)在y轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)画图见解析；(2)9；(3)存在，P(0，3)，理由见解析．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形；（2）根据网格利用割补法即可求出的面积；（3）作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴与点P，此时PA+PB的值最小．(1)解：如图，即为所求：(2)解：；(3)解：如图，作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴与点P，此时PA+PB的值最小，由图可知，P点坐标为P(0，3)．【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．(1)面出关于y轴的对称图形（点A与、B与、C与对应）：(2)连接、，直接写出的面积为______．【答案】(1)作图见解析(2)【分析】（1）找出△ABC的顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据，求解即可．(1)如图，即为所作；(2)如图，可知，∵，，，，∴故答案为：．【点睛】本题考查作图—轴对称和轴对称中的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键．9．（2022·重庆渝北·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，1）、B（1，5）、C（4，4）．(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点的坐标．(2)求△A1B1C1的面积．【答案】(1)图像见解题；（-1，5）(2)7【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．(1)解：如图所示：由图可知，顶点的坐标为（-1，5）；(2)解：．【点睛】本题考查的是作图—轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．题型三：角度问题一、单选题1．（2021·浙江杭州·八年级阶段练习）如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，，，，即，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．2．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，在正五边形中，点是的中点，点在线段上运动，连接，，当的周长最小时，则（

）A．36° B．60° C．72° D．108°【答案】C【分析】如图，连接EC，GC，设EC交AF于点G′，连接DG′．证明当点G与G′重合时，EG+DG的值最小，的周长最小，即求出可得结论．【详解】解：如图，连接EC，GC，设EC交AF于点G′，连接DG′．∵正五边形ABCDE中，点F是DC的中点，AF⊥DC，∴D，C关于AF对称，∴GD=GC，∵EG+GD=EG+GC≥EC，∴当点G与G′重合时，EG+DG的值最小，△DEG的周长最小，∵ABCDE是正五边形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠DG′C=108°，∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．故选：C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【答案】D【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，∴，，，根据轴对称的性质可得，，∴的周长的最小值为长度，由轴对称的性质可得，∴等腰中，，∴，，，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．二、填空题4．（2022·福建·厦门市湖滨中学八年级期末）小茗同学在公园的花圃里发现一只小蚂蚁在搬食物，因为食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放弃，一直慢慢往回爬．一会它咬住食物使劲往后拖，一会又咬住食物来回转圈，小茗同学急的想帮它．于是他连续几天都在观察，发现这个花圃的形状，如图，是一个锐角三角形，且∠ACB=50°，边AB上一定点P是小蚂蚁的家，小蚂蚁从家出发，它沿直线寻找食物，线路是从P出发走到AC，再从AC走到BC，最后回到家．假设M、N分别是AC和BC边上的动点，小茗同学想帮小蚂蚁寻找最短的行走路线，所以他求出当小蚂蚁行走路线所构成的PMN周长最小时，∠MPN的度数为______．【答案】80°【分析】根据轴对称的性质和两点之间线段最短，作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，可得PM=DM，PN=NG，此时PMN周长最小．根据内角和的性质，求得∠C+∠EPF=180°，由∠C=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案．【详解】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．∴PD⊥AC，PG⊥BC∴∠PEC=∠PFC=90°PM=DM，PN=NGPMN周长最小∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°∴∠C+∠EPF=180°∵∠C=50°∴∠EPF=130°又∵∠D+∠G+∠EPF=180°∴∠D+∠G=180°－∠EPF=180°－130°=50°由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM∴∠GPN+∠DPM=50°∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°-50°=80°故答案为：80°【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到对称的性质、线段性质、四边形和三角形内角和等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称并灵活运用,属于易错题型．5．（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于___时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．【答案】28°或31°【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论．【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°，∴∠B＝∠C＝28°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，∴AF＝AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG＝∠CAG．∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG＝∠C．∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°．①当DF＝GF时，∴∠FDG＝∠FGD．∵∠DFG＝56°，∴∠FDG＝∠FGD＝62°，∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°，∴∠ADB＝28°+θ+62°，∵∠ADB+∠B+θ＝180°∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°，∴θ＝31°．②当DF＝DG时，∴∠DFG＝∠DGF＝56°，∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°，∴∠ADB＝28°+θ+68°，∵∠ADB+∠B+θ＝180°，∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°，∴θ＝28°．∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形．故答案为：28°或31°．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．6．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BMMN有最小值时，_____________°．【答案】50【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BMMN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．7．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为__．【答案】40°【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠CAE．【详解】解：如图，连接，，过作于，如图所示：点关于的对称点恰好落在上，垂直平分，，，，，又，，，又，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线．8．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，P是内一点，点M，N分别在边OA，OB上运动．若，，则的周长最小值为____________，此时的度数为____________．【答案】

120°【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．【详解】解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，∠MCO=∠MPO；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠NDO=∠NPO，∴，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=，∠NDO=∠NPO=60°，∠MCO=∠MPO=60°；∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=，∠MPN=∠MPO+∠NPO=120°；【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，解题的关键是理解△PMN周长最小的条件．9．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______．【答案】60°【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．10．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．11．（2022·天津南开·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，，在边AB，BC上分别找一点E，F使周长最小，此时______．【答案】112°【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点即为所求，利用轴对称的性质结合四边形的内角和即可得出答案．【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E'，交BC于F'，则点E'，F'即为所求．∵四边形ABCD中，

∴，由轴对称知，∠ADE'=∠P，∠CDF'=∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=，∴∠ADE'+∠CDF'=∠P+∠Q=34°，∴故答案为．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．12．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）已知，点P为内一点，点A为OM上一点，点B为ON上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______________．【答案】80°【分析】如图，分别作P关于OM、ON的对称点，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，由此即可得到△PAB的周长取最小值时的情况，并且求出∠APB度数．【详解】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，∴△PAB即为所求的三角形，根据对称性知道：∠APO=∠AP1O，∠BPO=∠BP2O，还根据对称性知道：∠P1OP2=2∠MON，OP1=OP2，而∠MON=50°，∴∠P1OP2=100°，∴∠AP1O=∠BP2O=40°，∴∠APB=2×40°=80°．故答案为80°．三、解答题13．（2022·江西赣州·八年级期末）在中，，，直线上有一点，连接，分别为A关于直线的对称线段．(1)如图，当点在线段上时，求和的度数；(2)如图，当点在线段的延长线上时，①依题意补全图；②探究是否存在点，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)，(2)①见解析；②或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，结合图形求解即可；（2）①依据轴对称图形的特点补全图形即可；②根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．（1），，，，分别为点关于直线，的对称点，，，，，．（2）图形如图所示．存在．设，则或，，，或，或．经检验或为方程的解，或．【点睛】题目主要考查轴对称图形的特点，角度的计算，分式方程的应用等，理解题意，熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．题型四：其他问题一、填空题1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________．【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．【详解】解：如图，点C，点D即为所求．故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．二、解答题2．（2022·广东广州·八年级期末）已知，，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），关于AC的轴对称图形为．(1)如图1，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形；(2)如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且，，求DG的长；(3)如图3，在（1）的条件下，若，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）证明四边相等，可得结论；（2）如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．根据BD的两种求法，构建方程，求出y即可；（3）如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．由题意AP+AQ＝推出欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长．（1）证明：如图1中，∵△ACD与△ACB关于AC对称，∴AB＝AD，CB＝CD，∠CAB＝∠CAD，∵AE∥AF，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB，∴BA＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．∵△ACD与△ACB关于AC对称，∴AC垂直平分线段BD，∴BO＝OD，∵BC＝CG，∴OC∥DG，DG＝2OC＝2y，∴DG⊥BD，∴BD＝，又∵BD＝2OB＝，∴，∴y＝，∴DG＝2y＝；（3）解：如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴OA＝OC＝3，OD＝，∵AH⊥CB，∴BH＝CH＝3，AH＝，∴AP+AQ＝，欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长，∴KN＝，∴AP+AQ的最小值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（2022·广东·潮州市潮安区雅博学校八年级阶段练习）小明也想利用轴对称设计一幅图参加班级的冬奥会主题画展，他在设计的过程中发现了一个有趣的现象：(1)【发现】如图1，在中，点D在边AB上运动（点D不与A，B重合）时，连接CD，作关于CD的轴对称图形，边交AB于点E，交AC于点F．他发现CE与CF的有固定的数量关系，请你判断CE与CF的数量关系为．(2)【拓展】继续深入研究发现：如图2，在中，当点D在边AB的延长线上运动（点D不与B重合）时，连接CD，作关于CD的轴对称图形，边的延长线交AB于点E，交AC的延长线于点F，他发现CE与CF仍然有固定的数量关系．请你判断（1）中的结论还成立吗？并说明理由．(3)【应用】在中，若，，，请直接写出CF最小时AD的长度为．【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)【分析】（1）连接，根据轴对称的性质可得，进而根据证明，即可得（2）连接，方法同（1）证明可得，进而证明，即可得；（3）根据题意当时，CF最小，根据（2）的结论可得，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而求得的长．(1)，理由如下，如图，连接，根据轴对称的性质可得，又故答案为：(2)，理由如下，如图，连接，根据轴对称的性质可得，即在与中，在与中；(3)如图，根据题意当时，CF最小，根据（2）的结论可得，，，，，在中，，故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握轴对称的性质是解题的关键．4．（2022·北京石景山·八年级期末）在中，，，点P是线段CB上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在的边上，则称点M是的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是的关于直线l的“反称点”．（1）如图2，若，点，，，在AC边上且，，，．在点，，，中，是的关于直线l的“反称点”为______；（2）若点M是的关于直线l的“反称点”，恰好使得是等腰三角形，求AM的长；（3）存在直线l及点M，使得点M是的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．【答案】（1）和；（2）3或或6；（3）【分析】（1）根据反称点的定义进行判断即可；（2）是等腰三角形分三种情况讨论求解即可；（3）根据“反称点的定义”判断出CP的取值范围即可．【详解】解：（1）∵CP=1∴M点到PQ的距离为1∵M、N关于PQ对称，∴N点到PQ的距离为1∴MN=2如图，在外部，在内部，均不符合题意，∵，，∴是等腰直角三角形，∴∵∴在AB边上，∵，∴与点C重合，与关于PQ对称，在BC上，∴点，，，中，是的关于直线l的“反称点”为和故答案为：和（2）是等腰三角形分三种情况：如图，①当时，∵是等腰直角三角形∴是AB边的中点，②当时，此时∵//BC∴∵∴是等腰直角三角形，且∴∴∴③当时，此时，与点B重合，与点C重合，∴=AC=6综上，AM的长为3或或6；（3）如图，∵M是AC边上的点，CB=6∴当时，在AC边上至少有一个点M关于PQ的对称点在AB边上，当时，如图所示，此时AC上的所有点到的距离都大于3，即，M关于的对称点都在的外部，∴【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，对称