人教A选修反证法

1．知识与技能了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．2．过程与方法感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．本节难点：应用反证法解决问题．用反证法证明问题，一般由证明p⇒q，转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到判断¬q为假，得出q为真．反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．1．反证法证明数学命题的四个步骤第一步：分清命题的条件和结论；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾．2．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．3．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“<”；“≤”的反面为“>”；“>”的反面为“≤”；“<”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“>及<”．4．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错之处是“假设”错写成“设”．1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过

，最后得出

，因此说明假设

，从而证明了原命题

，这样的证明方法叫做反证法．反证法是

的一种基本方法．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与

矛盾，或与

矛盾，或与定义、公理、

、

矛盾等．正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实[例1]

求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．[证明]

不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．[点评]

直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.[证明]

假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.[点评]本题已知为p，q的三次幂，而结论中只有p，q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法.[点评]该命题中有“至少……”，直接方法很难证明，故可采用反证法．类题解法揭示：当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.[证明]

假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.[例3]已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[分析]

[证明]

根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线ɑ.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，∴AB⊥BC，AC⊥BC在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面ɑ的一条垂线．已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．[证明]

∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩α＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．[例4]求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[证明]

假设bc＝0，则有三种情况出现：(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0与x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾．综上所述，bc≠0.一、选择题1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为(

)A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数[答案]

D[解析]

恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．[答案]

C3．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(

)A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角[答案]

C[解析]

“最多”与“至少”互为否定，“一个”对应“两个”．4．a＋b＞c＋d的必要不充分条件是(

)A．a＞c

B．b＞dC．a＞c且b＞d D．a＞c或b＞d[答案]

D[解析]

A，B是既不充分也不必要条件，C是充分不必要条件，只有D正确，可用反证法证明；若a＞c或b＞d不成立，则a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，与a＋b＞c＋d矛盾，故条件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8知条件是不充分的．二、填空题5．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．[答案]

①6．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．[答案]异面三、解答题7．如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证