第05讲立体几何初步（8.1基本立体图形+8.2立体图形的直观图+8.3简单几何体的表面积与体积）（原卷版）

第05讲立体几何初步目录高频考点1：基本图形识别高频考点2：直观图还原原图①直观图与原图长度关系②直观图与原图面积高频考点3：侧面展开图①旋转体侧面积②几何体表面最短距离（蚂蚁爬行最短问题）高频考点4：体积计算高频考点5：空间几何体内切球问题①多面体内切球问题（等体积法求半径）②旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径）高频考点6：空间几何体外接球问题①公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点②补形法（补长方体或正方体）墙角模型（由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直）③对棱相等模型（补形为长方体）④单面定球心法（定+算）⑤双面定球心法（两次单面定球心）高频考点1：基本图形识别1．（2022·江西南昌·高二期中（理））用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（

）A．圆锥 B．圆柱C．三棱维 D．正方体2．（2022·河北邢台·高一阶段练习）下列命题正确的是（

）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．长方体是正四棱柱3．（2022·江苏徐州·高一阶段练习）以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥；③棱锥的侧棱一定相等；④如果平面外有两点，，它们到平面的距离都是，则直线平面.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山西运城·高一阶段练习）一个正方体的六个面上分别有字母，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与面相对的面上的字母是（

）A． B． C．或 D．或5．（2022·广东·清远市博爱学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．棱锥至少有6条棱B．过圆锥侧面上的一点有无数条母线C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥6．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（

）①矩形

②圆

③椭圆

④部分抛物线

⑤部分椭圆A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④高频考点2：直观图还原原图①直观图与原图长度关系1．（2022·湖南·高一阶段练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏常州·高一期中）如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（

）

A． B．2C． D．33．（2022·河北保定·高一阶段练习）用斜二测画法画出的水平放置的正方形的直观图为四边形，若四边形的面积为，则正方形的对角线的长为（

）A． B． C．8 D．124．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且，则的边长为（

）A． B． C． D．5．（2022·河北·高一期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（

）．A．6 B．8 C． D．②直观图与原图面积1．（2022·山东山东·高一阶段练习）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（

）A．12 B．6 C． D．2．（2022·山西·怀仁市第一中学校云东校区高一阶段练习（文））如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（

）A． B．1 C． D．3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）如图，梯形,是水平放置的一个平面图形的直观图，其中为菱形，且，则原图形的面积是（

）A． B． C． D．274．（2022·全国·高一课前预习）已知的边长为，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（

）A．a2 B．a2 C．a2 D．a25．（2022·吉林一中高一期中）如图所示，是的直观图，其中，那么的面积是（

）A． B．7 C． D．核心知识水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于，轴的长度不变．高频考点3：侧面展开图①旋转体侧面积1．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，为线段的四等分点，则该圆台的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（

）A．9 B．12 C．16 D．183．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．4．（2022·山西吕梁·三模（文））《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．5．（2022·山西·晋中新大陆双语学校高一阶段练习）已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积是（

）A． B． C． D．6．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积为（

）A． B． C．32 D．167．（2022·江西南昌·二模（文））已知圆锥内部有一个半径为的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．②几何体表面最短距离（蚂蚁爬行最短问题）1．（2022·山西晋中·模拟预测（理））如图，已知圆锥的母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则该圆锥的底面半径为（

）A．1 B．2 C． D．2．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（

）A．3 B． C． D．3．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点出发绕圆柱表面爬到的中点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C． D．4．（2022·河北邢台·高一阶段练习）已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点绕圆锥侧面爬行一周再回到点的最短距离为9，则该圆锥的轴截面面积为_________.5．（2022·山西运城·高一期中）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为______.6．（2022·河南洛阳·高一期中）如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各六等分，分点依次为，以及．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至则其爬行的最短距离为_______．7．（2019·四川遂宁·高一期末）已知在直角三角形中，，（如右图所示）（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.8．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形．(1)求圆锥的表面积和体积；(2)若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积；(3)若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程．高频考点4：体积计算1．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知长方形中，，点为的中点，现以所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（

）A． B． C． D．2．（2022·吉林毓文中学高一期中）如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．3．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知圆锥的两条母线，且与的夹角，的面积为，圆锥的母线与圆锥的底面圆所成的角为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．（2022·河南·临颍县第一高级中学高一阶段练习）已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）．A． B． C． D．5．（2022·山西·晋中新大陆双语学校高一阶段练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．6．（2022·海南省直辖县级单位·三模）若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．7．（2022·河北·高一期中）已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______8．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知的斜边，现以斜边所在直线为轴旋转一周，得到旋转体．该旋转体体积的最大值为_______________________．高频考点5：空间几何体内切球问题①多面体内切球问题（等体积法求半径）1．（2022·江苏连云港·模拟预测）在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等边三角形，侧面底面，，若四棱锥存在内切球，则内切球的体积为_______，此时四棱锥的体积为_______．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.3．（2022·河北·高三阶段练习）棱长为1的正四面体内有一个内切球，为的中点，为上一点，连接交球于，两点，若，则的长为____________．4．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为__________.5．（2022·陕西·模拟预测（文））若正四棱锥内接于球，且底面过球心，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．核心知识1、多面体内切球问题（等体积法求半径）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.②旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径）1．（2022·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长为（

）A． B． C．3 D．2．（2020·云南德宏·高三期末（理））如图，以直角三角形较长直角边为旋转轴进行旋转，得到一个几何体，则该几何体的内切球与外接球的表面积之比为（

）A． B．C． D．3．（2022·江西·模拟预测（文））已知四面体中的所有棱长为，球是其内切球．若在该四面体中再放入一个球，使其与平面、平面、平面以及球均相切，则球与球的半径之比为（

）A． B． C． D．4．（2022·陕西西安·三模（文））如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的值为（

）A． B．1 C． D．5．（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））如图所示，用一个平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥，截得的圆台，上、下底面的面积之比为1：9，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为18．则截得圆台的体积为________；若圆锥中有一内切球，则内切球的表面积为________．6．（2022·重庆一中高三阶段练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为的圆柱内有球与圆柱的上、下底面及母线均相切，设分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，直线与球的球面交于两点，则线段的长度为______．7．（2022·湖南·高一课时练习）如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的．他的发现是否正确？试说明理由．核心知识2、旋转体内切球问题（独立轴截面法+等面积法求半径）例如：等腰绕中线旋转一周形成圆锥，其内切球为球，其轴截面如图，则内切球半径可用等面积法求解：.高频考点6：空间几何体外接球问题①公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点1．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（

）A． B．4 C． D．.2．（2022·重庆一中高一阶段练习）长方体长宽高分别为3，4，12，那么该长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（

）A． B．3 C． D．4．（2022·浙江·湖州中学高一阶段练习）长宽高分别为1，，2的长方体的外接球表面积为_________.5．（2022·湖南·长郡中学高一期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________.②补形法（补长方体或正方体）墙角模型（由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直）1．（2022·河北·高一期中）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，该三棱锥的外接球的表面积为______3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为___________.4．（2022·湖北·高一阶段练习）已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积是__________．5．（2022·山西现代双语学校高一阶段练习）在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为____核心知识①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）③对棱相等模型（补形为长方体）1．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在三棱锥中，，，二面角是钝角.若三棱锥的体积为2，则的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．2．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）正四面体的棱长为4，若球与正四面体的每一条棱都相切，则球的表面积为（

）A．2π B．8π C． D．12π3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为核心知识题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）④单面定球心法（定+算）1．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·辽宁·东北育才学校