数值分析教案

数值分析教案重庆大学数理学院信息与计算科学系谭宏9月4日一、课程基本信息1、课程英文名称：NumericalAnalysis2、课程类别：专业基础课程3、课程课时：总课时30，试验课时124、学分：25、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《FORTRAN语言》6、适用专业：土木工程、给水排水、机电7、纲领执笔：谭宏8、纲领审批：数理学院信息与计算科学系9、制订(修订)时间：9月4日二、课程目标与任务：数值分析是信息与计算科学专业主要理论基础课程，是当代数学一个主要分支。其主要任务是介绍进行科学计算理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中数学问题进行数值计算和分析理论和方法。经过本课程学习，不但使学生初步掌握数值分析基本理论知识，而且使学生具备一定科学计算能力、分析问题和处理问题能力，为学习后继课程以及未来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要数学基础。三、课程基本要求：掌握数值分析惯用基本数值计算方法掌握数值分析基本理论、分析方法和原理能利用计算机处理科学和工程中一些数值计算应用问题，增强学生综合利用知识能力了解科学计算发展方向和应用前景四、教学内容、要求及课时分配：(一)理论教学：引论（2课时）第一讲（1-2节）1．教学内容：数值分析(计算方法)这门课程形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法关于概念及要求；误差起源、意义、及其关于概念。数值计算中应注意一些问题。2．重点难点：算法设计及其表示法；误差基本概念。数值计算中应注意一些问题。3．教学目标：了解数值分析基本概念；掌握误差基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；了解有效数字与误差关系。学会选取相对很好数值计算方法。A 算法误差经典例题插值方法（6课时）第二讲（3-4节）1.教学内容： 代数插值多项式存在唯一性；Lagrange插值及其误差估量。2．重点难点：Lagrange插值基函数、插值公式结构、插值余项。3．教学目标：了解插值问题背景及提法、代数插值多项式存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其结构法。问题提出拉格朗日查值公式插值余项经典例题第三讲（5-6节）教学内容： 差商、差分概念与性质，Newton插值公式及其余项。重点难点： 差商表、差分表，Newton插值公式结构。教学目标： 了解差商、差分定义及其性质，掌握Newton插值公式及其余项。牛顿插值公式埃尔米特插值经典例题第四讲（7-8节）1．教学内容：曲线拟合概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程组。2．重点难点：拟合曲线类型、正则方程组建立、拟合多项式求解。3．教学目标：了解曲线拟合概念、对给出一组数据点，能判断其拟合曲线类型、建立对应正则方程组、求得拟合多项式曲线拟合最小二乘法经典例题数值积分与数值微分（6课时）第五讲（9-10节）1．教学内容：代数精度概念、插值型求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分误差估量。2．重点难点：代数精度概念、插值型求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分误差估量。3．教学目标：了解代数精度概念、掌握插值型求积公式、牛顿-柯特斯公式；对给出一组数据点，能正确使用插值型求积公式、牛顿-柯特斯公式进行数值计算，并能够进行误差分析。机械求积牛顿—柯特斯公式经典例题第六讲（11-12节）1．教学内容：梯形法递推化、龙贝格公式、龙贝格算法程序设计2．重点难点：龙贝格算法思想、龙贝格算法加速过程、龙贝格算法程序设计3．教学目标：了解梯形法递推化方法、掌握龙贝格算法加速过程、能利用变步长梯形法和龙贝格公式计算实际问题、编写龙贝格算法程序龙贝格算法经典例题第七讲（13-14节）1．教学内容：经过对高斯公式定义讲解，介绍什么是高斯公式、什么是高斯点、什么是高斯求积系数；然后对高斯点基本特征进行分析分析，推导出节点是高斯点充分必要条件，从而引导出几个求高斯点方法及勒让德多项式。从微分定义出发，用差商引导出几个微分数值方法；再对中心差商公式，介绍一个加速方法；然后利用插值公式，推导出插值型数值微分公式并进行误差估量。2．重点难点：高斯点基本特征、正交多项式、高斯点计算3．教学目标：了解高斯公式定义、掌握高斯点基本特征、能利用梯形法递推化方法、掌握龙贝格算法加速过程、能利用勒让德多项式得出几个低阶高斯公式并能利用高斯公式处理实际问题。了解差商公式及插值型求导公式，并能利用它们进行数值微分计算。高斯公式数值微分经典例题常微分方程数值解（4课时）第八讲（15-16节）1．教学内容：Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。2．重点难点：Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式3．教学目标：了解欧拉方法几何意义、对给出初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行微分方程数值求解欧拉法改进欧拉法经典例题第九讲（17-18节）1．教学内容：龙格-库塔方法：龙格-库塔方法设计思想、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法、变步长龙格-库塔方法；亚当姆斯方法：亚当姆斯格式、亚当姆斯预报-效正系统、误差分析。2．重点难点：龙格-库塔方法设计思想；各阶龙格-库塔方法系数确实定。3．教学目标：了解龙格-库塔方法设计思想，熟悉二阶龙格-库塔方法推导，能利用龙格-库塔方法进行微分方程数值求解。了解亚当姆斯格式。龙格—库塔法亚当姆斯经典例题方程求根迭代法（4课时）第十讲（19-20节）1．教学内容：首先，简单介绍二分法；然后讲解迭代法设计思想、经过对同一方程不一样迭代格式计算结果分析，推导出迭代收敛性定理及局部迭代迭代收敛性定理。然后对收敛速度进行分析。讲解迭代加速方法，并介绍埃特金加速算法程序设计。2．重点难点：牛顿迭代法及局部收敛性、迭代法及收敛性定理3．教学目标：了解欧拉方法几何意义、对给出初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解二分法迭代法概念经典例题第十一讲（21-22节）1．教学内容：首先介绍牛顿迭代公式及其几何意义，分析其收敛速度；然后利用牛顿迭代公式推导出开方公式，并分析其收敛速度；讲解牛顿下山法基本思想及下山因子选取。最终介绍牛顿迭代法程序设计。2．重点难点：牛顿迭代法及局部收敛性、牛顿下山法及下山因子选取3．教学目标：掌握牛顿迭代法，能利用牛顿迭代法进行方程求根数值计算。并能够编制对应应用程序。牛顿法经典例题线性方程组迭代法（2课时）第十二讲（23-24节）1．教学内容：首先经过例子介绍解线性方程组迭代法基本思想；然后介绍雅可比迭代公式及其程序设计；介绍高斯-塞德尔迭代公式；超松驰迭代法及其程序设计；以及迭代公式矩阵表示。2．重点难点：雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松驰迭代法3．教学目标：掌握三种迭代公式，能利用这三种迭代公式进行线性方程组迭代求解，并编制对应应用程序。雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法超松驰迭代法经典例题线性方程组直接法（4课时）第十三讲（25-26节）1．教学内容：线性方程组消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法计算过程；三种消去法程序设计。2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制对应应用程序。 1、约当消去法2、Gauss消去法3、Gauss列主元素消去法经典例题第十四讲（27-28节）1．教学内容：三对角方程组及其解唯一性定理、追赶法计算公式、追赶法代数基础。2．重点难点：唯一性定理、追赶法计算公式、追赶法代数基础3．教学目标：了解追赶法基本思想、掌握追赶法计算公式，能利用追赶法对线性方程组进行求解。 1、三对角方程组 2、追赶法计算公式 3、追赶法代数基础经典例题第十五讲（29-30节）总复习(二)试验教学：试验一、二插值方法(4课时)试验目标：学会拉格朗日插值、牛顿插值等基本方法设计出对应算法，编制对应函数子程序会用这些函数处理实际问题 2．试验内容（1）设计拉格朗日插值算法，编制并调试对应函数子程序（2）设计牛顿插值算法，编制并调试对应函数子程序（3）给定函数四个点数据以下：X1.12.33.95.1Y3.8874.2764.6512.117试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处函数值。（4）已知用牛顿插值公式求近似值。3．试验原理写出此次试验所用算法算法步骤叙述或画出算法程序框图4．试验环境及试验文件存档名写出试验环境及试验文件存档名试验结果及分析输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。试验三数值微积分(2课时)1．试验目标：（1）学会复化梯形、复化辛浦生求积公式应用（2）学会数值微分方法应用（3）设计出对应算法，编制对应函数子程序（4）会用这些函数处理实际问题 2．试验内容（1）设计复化梯形公式求积算法，编制并调试对应函数子程序（2）设计复化辛浦生求积算法，编制并调试对应函数子程序（3）设计一个数值微分算法，编制并调试对应函数子程序（4）分别用复化梯形公式和复化辛浦生公式计算定积分 取n=2，4，8，16，精准解为0.9460831试验原理写出此次试验所用算法算法步骤叙述或画出算法程序框图4．试验环境及试验文件存档名写出试验环境及试验文件存档名试验结果及分析输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。试验四估量水塔水流量(2课时)1．试验目标：（1）学会对实际问题分析方法（2）学会利用所学知识处理实际问题（3）设计出对应算法，编制对应应用程序 2．试验内容 某居民区，其自来水是有一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔直径为17.4m，水塔是由水泵依照水塔中水位自动加水，通常水泵天天工作两次。按照设计，当水塔中水位降低至最低水位，约8.2m时，水泵自动开启加水。当水位升至最高水位，约10.8m时，水泵停顿工作。 下表给出了某一天测量统计，测量了28个时刻数据，但因为水泵正向水塔供水，由3个时刻无法测量到水位（表中为—）。时刻00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位9.6779.4799.3089.1258.9828.814.8.686时刻7.0067.9288.9679.98110.92510.94512.032水位8.5258.3888.220——10.82010.500时刻12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662时刻19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220—10.82010.59110.35410.180试建立数学模型，计算居民用水速度和日总用水量。试验原理写出此次试验所用算法算法步骤叙述或画出算法程序框图4．试验环境及试验文件存档名写出试验环境及试验文件存档名试验结果及分析输出计算结果，CPU时间，结果分析和小结等。试验五常微分方程数值解法(2课时)1．试验目标：（1）学会显式欧拉公式使用（2）学会二阶龙格-库塔方法使用（3）设计出对应算法，编制对应函数子程序（4）会用这些函数处理实际问题 2．试验内容（1）分别取h=0.05，N=10；h=0.025，N=20；h=0.01，N=50，用显式欧拉方法求解微分方程初值问题：y’=-50y，y(0)=10（2）某跳伞者在t=0时刻从飞机上跳出，假设初始时刻垂直速度为0，且跳伞者垂直下落。已知空气阻力为F=cv2，其中c为常数，v为垂直速度，向下方方向为正。写出此跳伞者速度满足微分方程；若此跳伞者质量为M=70kg，且已知c=0.27kg/m，利用二阶龙格-库塔公式计算t<=20s速度（取h=0.1s）试验原理写出此次试验所用算法算法步骤叙述或