第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）

第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点.有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离.知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二：圆的切线方程的求法1．点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆上一点的切线方程是；（2）过圆上一点的切线方程是.知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点四：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.(2)几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含.知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．【题型归纳目录】题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题【典型例题】题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系1．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））圆与直线的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定2．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定3．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（

）A． B．C． D．（多选题）4．（2022·江苏·高二）已知直线：与圆：，则（

）A．直线与圆相离 B．直线与圆相交C．圆上到直线的距离为1的点共有2个 D．圆上到直线的距离为1的点共有3个（多选题）5．（2022·江苏·高二）已知直线与圆，则下列结论正确的是（

）A．存在，使得的倾斜角为B．存在，使得的倾斜角为C．存在，使直线与圆相离D．对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短（多选题）6．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线与圆，则（

）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个7．（2022·江苏·高二）直线与圆的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）8．（2022·全国·高二课时练习）直线和的位置关系是______．9．（2022·浙江·义乌市商城学校高二阶段练习）直线与圆的位置关系是_________.（填相切、相交、相离）10．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆C：的半径为1．(1)求实数a的值；(2)判断直线l：与圆C是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长．11．（2022·全国·高二课时练习）判断下列直线l与圆C的位置关系：(1)，；(2)，；(3)，．12．（2022·江苏·高二课时练习）对于圆，直线，分别根据下列条件，判断直线l与圆C的位置关系：(1)点在圆C上；(2)点在圆C外.13．（2022·江苏·高二课时练习）设k为实数，证明：无论k取何值，直线与圆都有两个交点.题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标1．（2022·江苏·高二）已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·吉林·长春市第六中学高二阶段练习（理））已知圆上的点到直线的距离等于，那么的值不可以是（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·高二）过点的直线与圆交于、两点，当时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（

）A．－2 B．2 C． D．6．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.7．（2022·安徽省舒城中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．9．（2022·江苏·高二）若圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为，求直线l的倾斜角的取值范围．10．（2022·江苏·高二课时练习）求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系.题型三：切线与切线长问题1．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知圆，过点P（5，5）作圆M的一条切线，切点为N，则切点N到直线PM的距离为（

）A． B． C． D．3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二期中（理））若直线与圆相切，则的值是（

）A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或124．（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为___________.5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为__________．6．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）过点且与圆相切的直线的方程是______．7．（2022·上海金山·高二期中）求过点的圆的切线方程__________.8．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）若过点作圆的切线，则切线方程为___________.9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））设P为已知直线上的动点，过点P向圆作一条切线，切点为Q，则的最小值为___________.10．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______11．（2022·广东·高二阶段练习）过点P（3，4）作圆O：的两条切线，设切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积=______．12．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆．求满足下列条件的切线方程．(1)过点；(2)过点．14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知圆C过两点，，且圆心C在直线上．(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C的切线，求切线方程．15．（2022·上海市嘉定区第一中学高二阶段练习）已知圆：，动直线过点.(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)若直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.16．（2022·江苏·高二课时练习）光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点为圆心的圆C相切，求圆C的方程．题型四：弦长问题1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．2．（2022·江苏·高二）直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·高二）若直线与圆所截得的弦长为，则实数为（

）．A．或 B．1或3 C．3或6 D．0或44．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆相交所得的弦长是___________.5．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））已知圆C过点两点，且圆心C在y轴上，经过点且倾斜角为锐角的直线l交圆C于A，B两点，若(C为圆心)，则该直线l的斜率为________．6．（2022·全国·高二课时练习）设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______．7．（2022·北京昌平·高二期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．8．（2022·江苏·高二）已知三点在圆C上，直线，(1)求圆C的方程;(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．9．（2022·福建·高二学业考试）求直线被圆截得的弦长．10．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）过点作圆的割线，割线被圆截得的弦长为，求该割线方程．11．（2022·江苏·高二）已知圆M过点．(1)求圆M的方程；(2)若直线与圆M相交所得的弦长为，求b的值．12．（2022·江苏·高二）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．题型五：判断圆与圆的位置关系1．（2022·江苏·高二）圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内含 D．外切2．（2022·湖南·炎陵县第一中学高二阶段练习）圆与圆的位置关系是(

)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离3．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在平面直角坐标系中，圆：和圆：的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．外切 D．内切（多选题）4．（2022·江苏南通·高二期末）已知，圆，，则（

）A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长5．（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的位置关系为___________.6．（2022·江苏·高二）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为______．7．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______．8．（2022·江苏·高二）（1）判断圆与圆的位置关系；（2）证明圆与圆外切，并求出切点坐标.9．（2022·江苏·高二）已知圆，点分别在轴和圆上.(1)判断两圆的位置关系；(2)求的最小值.10．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组中两个圆的位置关系：(1)与；(2)与；(3)与．11．（2022·全国·高二课时练习）判断圆与圆的位置关系，并画出两圆，的图形．12．（2022·全国·高二课时练习）求证：圆与圆不可能相外切．题型六：由圆的位置关系确定参数1．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在3．（2022·江苏·高二）已知圆与圆内切，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏·高二）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（

）A．12 B．11 C．10 D．95．（2022·江苏·高二）若圆与圆相外切，则的值为（

）A． B． C．1 D．6．（2022·广东深圳·高二期末）若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2022·安徽·高二开学考试）若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是(

)A． B．C． D．9．（2022·江苏·高二）在平面直角坐标系中，，，动点满足，的轨迹方程为____，的轨迹与圆有公共点，则实数的取值范围是____．10．（2022·江苏·高二）设P为曲线上动点，Q为曲线上动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记作.若，，则___________.11．（2022·江苏·高二）已知圆：与圆：.(1)若圆与圆外切，求实数m的值;(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.12．（2022·全国·高二课时练习）求以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程．题型七：公共弦与切点弦问题1．（2022·重庆复旦中学高二开学考试）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知圆：和圆：，则（

）A．公共弦长为 B．公共弦长为C．公切线长 D．公切线长3．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高二课时练习）若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为（

）A． B．3 C． D．5．（2022·江苏·高二）已知圆与圆相交于A，B两点，则______.6．（2022·全国·高二期末）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.7．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线的一般式方程为___________.8．（2022·全国·高二课时练习）已知两圆和.圆和公共弦方程为___________；圆和公共弦的长度为___________.9．（2022·江苏·高二）已知圆：与：相交于A、B两点．(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．10．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，若点(，)在两圆的公共弦上，求的最小值．11．（2022·江苏·高二）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．12．（2022·江苏·高二）圆的方程为，圆的圆心，若圆与圆交于A、B两点且，求圆的方程.13．（2022·江苏·南京市秦淮中学高二期末）我们知道：当是圆O：上一点，则圆O的过点的切线方程为；当是圆O：外一点，过作圆O的两条切线，切点分别为，则方程表示直线AB的方程，即切点弦所在直线方程.请利用上述结论解决以下问题：已知圆C的圆心在x轴非负半轴上，半径为3，且与直线相切，点在直线上，过点作圆C的两条切线，切点分别为.(1)求圆C的方程；(2)当时，求线段AB的长；(3)当点在直线上运动时，求线段AB长度的最小值.题型八：公切线问题1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．（2022·江苏·高二）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（

）A．4条 B．2条 C．1条 D．0条3．（2022·江苏·高二）两圆与的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．（2022·安徽省宣城中学高二开学考试）圆与圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（

）A． B．C． D．6．（2019·河北·高二学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（

）A． B． C． D．（多选题）7．（2022·全国·高二课时练习）如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（）A．曲线与轴围成的图形的面积等于 B．与的公切线的方程为C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为 D．所在的圆截直线所得弦的长为8．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））圆和圆的公切线的条数为______．9．（2022·江苏·高二）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．10．（2021·全国·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．题型九：圆中范围与最值问题1．（2022·江苏·高二）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．2．（2022·广西梧州·高二期中（理））已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）A． B． C． D．33．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（

）A．-1 B． C．+1 D．64．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．25．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）若是直线上的动点，PA、PB与圆相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（

）A． B． C．7 D．86．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二开学考试）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是