第六章 多目标规划方法

第六章多目标规划方法

在水文水资源研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在水文水资源研究中的应用问题作一些简单地介绍。本章主要内容：多目标规划及其求解技术简介目标规划方法

多目标规划应用实例

多目标规划及其非劣解多目标规划求解技术简介第一节多目标规划及其非劣解

一、多目标规划及其非劣解（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。

（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：

（2）（1）式中：为决策变量向量。

如果将（1）和（2）式进一步缩写，即：（3）

（4）式中：是k维函数向量，

k是目标函数的个数；是m维函数向量；是m维常数向量；m是约束方程的个数。

对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：

（5）（6）式中：为n维决策变量向量；为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；为m维的向量，约束向量。

二、多目标规划的非劣解

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。在图1中，就方案①和②来说，①的目标值比②大，但其目标值比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。非劣解可以用图1说明。图1多目标规划的劣解与非劣解当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。

一、效用最优化模型二、罚款模型三、约束模型

第二节多目标规划求解技术简介

为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。四、目标规划模型五、目标达到法是与各目标函数相关的效用函数的和函数。

一、效用最优化模型

建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：

（7）

（8）

在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸应满足：若采用向量与矩阵

二、罚款模型

规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值与期望值之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：或写成矩阵形式：

式中，是与第i个目标函数相关的权重；

A是由组成的m×m对角矩阵。三、盛约束轰模型理论递依据：若规酷划问赖题的盛某一传目标烛可以陡给出榨一个青可供宰选择腐的范咬围，蛙则该弯目标委就可榨以作答为约虑束条最件而宋被排梳除出由目标鹊组，帮进入或约束桨条件晒组中榆。假如答，除约第一衡个目若标外灰，其流余目拒标都励可以密提出芽一个梳可供鸭选择辣的范康围，悠则该沈多目旨标规族划问净题就罪可以释转化凤为单羽目标帽规划厉问题冶：采用雁矩阵可记广为：四、早目标融规划进模型也需慈要预待先确蓝定各纱个目尾标的雀期望击值钳，谎同时穴给每凭一个霜目标康赋予剧一个季优先照因子咸和权俭系数危，假坦定有K个目帆标，L个优撇先级国，喉目标硬规划渐模型毯的数呈学形纯式为破：式中房诚：每和盖分别阁表示婆与穗相应么的、白与绍相晌比的目汉标超眠过值邮和不孝足值偿，即腊正、凤负偏缘瑞差变删量；裤表岔示第l个优布先级梯；、蓝表示坛在同估一优傲先级堂中脚，不蚁同目眉标的正络、负坏偏差可变量扇的权校系数阶。五、干目标标达到侵法首先兔将多感目标吧规划档模型雪化为失如下货标准格形式球：（6赌.2此.2房诚1）（6妙.2犁.2活2）在求向解之咬前，制先设贵计与典目标毯函数矮相应趁的一伶组目搂标值月理想怠化的些期望裁目标乐,树每一晃个目免标对绕应的润权重碑系数初为输，再贝设黄为一覆松弛赏因子后。那想么，鼠多目料标规滋划问前题就窗转化明为：用目驰标达市到法乘求解姥多目肿标规第划的轰计算樱过程酿，可应以通钢过调接用M铁at荣la毯b软密件系休统优杀化工枝具箱镜中的能fg标oa乳la款tt筑ai踢n函锋数实弄现。第三麦节窗目标降规划鉴方法通过需上节双的介巡寿绍和迈讨论厅，我方们知唱道，羡目标诱规划结方法妹是解代决多渔目标离规划炒问题马的重做要技盘术之含一。这一怒方法己是美拦国学帮者查加恩斯珍（A勇.C蒸ha闯rn的es哲）和伐库伯草（W查.W流.C弦oo壁pe昼r）狗于1晨96盗1年隶在线钳性规而划的轰基础穿上提蚁出来揪的。爆后来粗，查廉斯基扒莱恩录（U剖.J化aa仁sh由el臣ai数ne晓n）蛮和李吸（S午an询g.纺Le址e）猎等人茅，进以一步倾给出弓了求旱解目名标规摆划问阳题的页一般泡性方农法—仗—单载纯形踩方法棉。一、含目标市规划泰模型给定轮若干你目标李以及团实现尿这些蝴目标潜的优虎先顺层序，碍在有格限的铺资源服条件刚下，蛋使总写的偏桃离目养标值肯的偏都差最貌小。（一水）基孔本思矮想：例1：某翠一个六企业旧利用辆某种辽原材决料和惑现有惧设备留可生社产甲颈、乙赚两种征产品党，其局中，图甲、份乙两谎种产网品的积单价递分别慌为8杀元和虾10会元；宋生产喷单位闹甲、帐乙两恐种产匀品需叠要消惯耗的成原材陪料分荣别为渴2个恭单位屑和1碗个单仍位，趋需要武占用呈的设万备分左别为鹿1台柜时和涝2台面时；激原材杆料拥嚷有量疯为1永1个讨单位愁；可晒利用济的设街备总念台时股为1俭0台认时。围试问魂：如负何确盯定其蜡生产隔方案烂？（二绒）目喷标规捉划的批有关墨概念如果输决策械者所搬追求谷的唯悼一目淹标是浩使总泽产值钓达到展最大羊，则腐这个羞企业辰的生源产方斗案可削以由典如下训线性歼规划欺模型蹲给出肃：求走，直，敢使而且耽满足虎：式中罢：和易为决撑策变筛量，仓为目允标函顾数值就。将丈上述殿问题粉化为干标准婚后，恭求解昆可得万最佳夸决策院方案违为滔（灰万元以）。但是膀，在援实际袄决策灿时，届企业吴领导矿者必各须考末虑市者场等当一系脏列其风它条劣件，换如：①根据适市场夜信息扶，甲份种产李品的龄需求璃量有敞下降示的趋诱势，侵因此迫甲种态产品扣的产辰量不传应大薄于乙拼种产砌品的框产量良。②超过盼计划杰供应撕的原古材料诉，需晨用高下价采吊购，银这就虚会使让生产阿成本忙增加桐。③应尽挖可能嘴地充垫分利绸用设居备的奶有效竞台时消，但稻不希巨望加著班。④应尽投可能林达到语并超闸过计泪划产梁值指西标5对6万蛾元。这样裁，该播企业窃生产形方案生的确饰定，酿便成末为一症个多棉目标辉决策诱问题躁，这香一问赵题可悦以运拴用目机标规膊划方遗法进傍行求耕解。为了耐建立页目标坛规划旦数学本模型流，下快面引满入有圣关概惧念。目标撇规划绣模型宾的有因关概仗念1.芳偏差横变量在目惊标规谣划模许型中彩，除恨了决繁策变污量外尺，还探需要鼓引入冤正、监负偏竭差变阿量描、筋。其促中，台正偏膛差变机量表尖示决毫策值雹超过壁目标昌值的洪部分饼，负茫偏差裂变量抢表示柔决策拾值未体达到命目标闻值的慕部分根。因为压决策锣值不着可能剧既超主过目溉标值律同时慢又未爬达到苍目标菌值，麻故有棒成晃立。2、姨绝对坚约束符和目亩标约腊束绝对钢约束，必虽须严曲格满蝇足的犹等式制约束莫和不骑等式验约束穗，譬移如，轿线性雀规划芬问题赏的所科有约辩束条涉件都膊是绝珍对约此束，抗不能廉满足教这些吗约束党条件叫的解瞎称为污非可野行解获，所弟以它扶们是唐硬约馅束。目标属规划各模型射的有捏关概携念目标掠约束，目晃标规然划所很特有舰的，甜可以舅将约歪束方岸程右称端项唤看作丹是追累求的趋目标贫值，阿在达倘到此婶目标驰值时维允许棉发生踢正的惨或负孝的偏毙差苹，可焦加入妻正负暗偏差墨变量挂，是桐软约略束。线性肾规划津问题萝的目鸽标函就数，震在给金定目白标值倍和加香入正责、负硬偏差如变量柔后可者以转惹化为清目标求约束依，也惊可以捎根据零问题宰的需槐要将登绝对季约束局转化辉为目灵标约馒束。目标录规划愤模型塔的有增关概赶念目标吵规划拆模型改的有招关概夕念3.附优先乌因子怜（优璃先等列级）胳与权吊系数一个魄规划序问题种,常淡常有滨若干荣个目颗标，稀决策谦者对帅各个森目标哀的考臂虑,渣往往沸是有似主次梅或轻概重缓孤急的烘。凡艰要求兼第一访位达真到的法目标照赋予丑优先资因子诞，次租位的阅目标筛赋予兵优先易因子罚，…胶…，旁并规锤定里表示具比有更红大的客优先凑权。宣这就赤是说蝴，首谊先保挪证级目区标的照实现帜，这膜时可毒以不球考虑挥次级券目标宪；而吊级目医标是硬在实删现沾级加目标不的基此础上蜓考虑胳的；杏依此失类推敢。若要谜区别邪具有龟相同祖优先肿因子源的目旅标的尽差别帆，就吨可以芝分别债赋予校它们父不同踏的权均系数巨。这袋些优射先因驶子和淹权系辫数都栏由决心策者没按照免具体肺情况书而定健。4.收目标心函数目标刚规划棵的目沈标函邀数（记准则施函数德）是扮按照雾各目坑标约保束的常正、应负偏链差变汁量和早赋予刑相应夺的优借先因招子而背构造蜡的。客当每警一目奇标确根定后伤，尽叠可能康缩小残与目睬标值恩的偏馅离。郊因此德，目猪标规补划的顿目标骗函数园只能判是：基本露形式稼有三若种：目标胃规划叨模型圣的有祥关概胸念a)嫂要络求恰震好达选到目筑标值殃，就娱是正孝、负抱偏差老变量什都要井尽可胃能小咸,即b)抹要伯求不斑超过司目标杂值，捐即允隙许达谋不到轿目标萝值，歉就是穿正偏瓣差变鼻量要驼尽可骨能小搂，即c)撒要宋求超撇过目丹标值第，也组就是贩超过婆量不敞限，读但负控偏差其变量味要尽都可能督小，养即在实祝际问抱题中蒸，可骗以根锁据决关策者偿的要怨求，盾引入违正、姓负偏迁差变守量和父目标怨约束桨，并系给不颤同目计标赋渣予相邻应的缎优先龟因子脑和权另系数真，构民造目贺标函灶数，稿建立卫模型小。例2：在净例1承中，殖如果池决策联者在骡原材盏料供歪应受誉严格熔控制赏的基张础上斤考虑塘：首蒸先是脂甲种姜产品皂的产眉量不返超过玻乙种啊产品京的产查量；罗其次快是充瘦分利镰用设也备的俗有限灿台时菊，不呼加班汽；再斑次是赔产值惊不小小于5阅6万奖元。锯并分妹别赋烛予这逆三个磁目标会优先意因子影。试规建立丹该问友题的排目标闻规划鸭模型些。解：根间据题柿意，杰这一研决策剃问题石的目区标规唱划模蹦型是假定叙有L个目吊标，K个优邮先级站(K≤L)，n个变站量。券在同仔一优寄先级阻中不路同目胁标的级正、漠负偏贴差变裂量的猜权系干数分吼别为猛、滩，则误多目毛标规蚊划问污题可莫以表疯示为困：（三扩）目舌标规吊划模斑型的可一般株形式在以暑上各工式中彩，、滔分雀别为艰赋予年优先闹因子钳的第忌个目严标的蝴正、伯负偏申差变攀量的循权系购数，为第池个目火标的记预期科值，为决午策变臣量，、仇分别骂为第k个目妈标的望正、和负偏饮差变味量，一、继土地笑利用节问题二、袄生产凑计划考问题三、炉投资画问题第四毯节织多目致标规舱划应掘用实硬例某灌鞋区土须地资怠源根垃据土白质情葵况将匆当地栏耕地您分为蒸I、蜜II瓜、I熟II损三级逝，其悉中I泼等耕谦10天0万厦公顷喝、I遣I等斥耕地爆30李0万造公顷昼、I碌II获等耕提地2去00熔万公厉顷。角现拟旋种植灿水稻轿、大虏豆、皆玉米洲三种困农作蔬物，纳各种变耕地欠的作只物产荣量见饱表，池要求贤水稻洁产量煎不得盼低于鹿19眉00左00怖kg骆，大仔豆不咽得低杏于1苍30跟00槽0k赏g，丈玉米井不得营低于渴35宋00压00以kg往。若贴想达室到产编量及赶产值票的双撒赢，回应如伏何确伏定种捷植结严构。一、骂土地彩利用槽问题水稻大豆玉米资源限制（万公顷）I等耕地单产(kg/公顷)1100095009000100II等(kg/公顷)800068006000300III等(kg/公顷)140001200010000200单价(元/kg)1.21.50.8取通决策皆变量冬，它跨表示窃在第j等级卷的耕摄地上颂种植素第i种作敏物的篮面积已。如擦果追孙求总取产量壶最大碗和总寺产值凳最大跳双重棒目标鲁，那乎么，城目标谨函数圾包括番：①追逆求总型产量畅最大②追予求总绕产值也最大根据际题意理，约个束方为程包誉括：耕地来面积参约束最低副收获敬量约调束非负亩约束对上嫌述多羊目标江规划刚问题叔，我梳们可造以采母用如储下方睬法，倡求其强非劣宋解。1.泽用线偏性加吧权方森法取痕，曾重新辣构造弦目标远函数衬：这样矛，就耍将多袋目标萝规划物转化魂为单碎目标隔线性泽规划桑。用单连纯形斥方法橡对该义问题首求解族，可煌以得避到一呆个满离意解疼（非榆劣解泰）方刻案，投结果梯见表溜1。此方摇案是棋：I惹II旗等耕戒地全宁部种踩植水自稻，牌I等漆耕地闸全部承种植色玉米显，I缠I等熄耕地杰种植篮大豆佳19喜.1研17腿6公团顷、海种植慎玉米床28坚0.泻88毫24棒公顷桑。在附此方似案下忙，线绳性加伶权目即标函钉数的姥最大孟取值秃为6倘44膜56娇00鹅。表1犁线邀性加蝴权目喷标下够的非套劣解旁方案（单糖位：hm2）2.支目标线规划安方法实际薯上，遭除了馒线性惜加权先求和娱法以芽外，那我们攻还可叉以用振目标乱规划昌方法改求解女上述召多目草标规盐划问口题。如果沃我们悉对总煮产量财和盈总产搅值顾，拢分别肾提出姜一个联期望捉目标奔值（kg）（元货）并将膛两个伯目标保视为祸相同菌的优献先级岔。如果袋、侮分别辟表示构对应鼓第一队个目贪标期扫望值攀的正漠、负摸偏差怨变量杏，们、翼分拦别表视示对歼应于控第二小个目秆标期但望值启的正毫、负骗偏差额变量隶，而壳且将骆每一尼个目太标的爪正、斯负偏记差变昼量同蚀等看争待（泊即可闲将它典们的晒权系日数都依赋为1），眨那么适，该宽目标险规划疤问题狂的目润标函描数为魄：对应柔的两铅个目懂标约楚束为狗：即：除了迟目标胳约束尝以外法，该疤模型巴的约姑束条终件，败还包雹括硬裁约束云和非晶负约束束的就限制卸。其拨中，施硬约址束包贡括耕只地面皆积约徒束和赖最低成收获刃量约完束；迈非负吸约束肝，不运但包装括决挽策变呜量的惑非负粱约束移，还朝包括释正、舞负偏鱼差变捐量的虾非负谣约束寄：解上谜述目砍标规末划问央题，茫可以也得到跨一个遍非劣严解方种案，瞎详见听表2。表2删目蔽标规播划的撤非劣横解方请案（单守位hm2）在此弦非劣范解方盟案下水，两参个目派标的蒜正、耀负偏团差变赢量分永为，移，蚁，丢。二、健生产哭计划窄问题某企渡业拟蜓生产腔A和令B两盼种产泡品，公其生毕产投特资费嘱用分飘别为洋21互00友元/盲t和址48回00方元/屈t。既A、服B两伯种产艺品的李利润鞭分别受为3扶60迎0元元/t华和6际50企0元武/t钱。A圈、B逼产品晶每月勉的最许大生料产能勇力分惊别为炊5t条和8您t；凶市场槽对这含两种递产品金总量狼的需仪求每乐月不拴少于抵9t热。试联问该套企业半应该代如何妇安排裁生产纠计划革，才涨能既棵能满壳足市孤场需抹求，造又节宜约投唐资，献而且欺使生蹦产利席润达搞到最惕大?该问窑题是肝一个素线性喇多目斧标规研划问踢题。鲜如果室计划绸决策笔变量禾用缴和拣表示此，它捡们分寒别代碗表A德、B虎产品烧每月度的生抢产量吓（单蜘位：落t）哀；表示拿生产向A、亲B两皆种产超品的翁总投坊资费胜用（虾单位赤：元秀）；央表议示生展产A坛、B拍两种作产品山获得知的总慕利润狠（单可位：浙元）伞。那背么，童该多荡目标碰规划粉问题牲就是文：求绸和占，使厨：而且舅满足不：对于振上述刘多目幻玉标规踪蝶划问加题，昨如果另决策眉者提础出的痒期望赢目标躲是：缘瑞（1顾）每编个月蚊的总周投资沉不超招30抹00记0元眯；（劲2）形每个搁月的雁总利牛润达示到或想超过歉45俭00凡0元忆；（幸3）肯两个抵目标板同等套重要握。那孩么，要借助拨Ma碑tl茧