新教材苏教版高中数学必修第二册全册书各章节知识点考点重点难点解题规律归纳总结

苏教版高中数学必修第二册知识点总结

第9章平面向量............................................................-2-

9-1向量概念..........................................................."2-

9.2向量运算...........................................................-6-

9.3向量基本定理及坐标表示...........................................-20-

9.4向量应用..........................................................-30-

第10章三角恒等变换.......................................................-33-

10.1两角和与差的三角函数.............................................-33-

10.2二倍角的三角函数.................................................-43-

10.3几个三角恒等式...................................................-47-

第11章解三角形..........................................................-52-

11.1余弦定理.........................................................-52-

11.2正弦定理.........................................................-55-

11.3余弦定理、正弦定理的应用........................................-63-

第12章复数...............................................................-68-

12.1复数的概念.......................................................-68-

12.2复数的运算.......................................................-72-

12.3复数的几何意义...................................................-78-

12.4复数的三角形式*..................................................-81-

第13章立体几何初步.......................................................-86-

13.1基本立体图形.....................................................-86-

13.2基本图形位置关系.................................................-96-

13.3空间图形的表面积和体积.........................................-123-

第14章统计.............................................................-130-

14.1获取数据的基本途径及相关概念...................................-130-

14.2抽样...........................................................-132-

14.3统计图表.......................................................-140-

14.4用样本估计总体.................................................-148-

第15章概率.............................................................-160-

15.1随机事件和样本空间.............................................-160-

15.2随机事件的概率.................................................-163-

15.3互斥事件和独立事件.............................................-168-

第9章平面向量

9.1向量概念

知识点1向量的定义及表示

定义既有大小又有方面的量叫作向量

(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表

表示示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方囱，以A为起点、B

方法为终点的向量记为防；

(2)字母表示：用小写字母a,b,c来表示

模向量拔的大小称为向量的长度(或称为模),记作|成|

定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只

描述其中一个方面可以吗？

［提示］向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向

描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面.

知识点2向量的有关概念及其表示

名称定义表示方法

零向量长度为Q的向量记作0

单位向量长度等于L个单位长度的向量

a与b平行(或共线)，记作

平行向量方向相同或相反的非零向量

a//b

相等向量长度相等且方向相同的向量a与b相等，记作a=Z>

相反向量长度相等且方向相反的向量a的相反向量记作一a

昼差K2.(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？

(2)已知A,8为平面上不同两点，那么向量筋和向量成相等吗？它们共线吗？

(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？

［提示］(1)零向量的方向是任意的：规定零向量与任一向量共线.

(2)因为向量荏和向量丽方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段

在同一直线上，所以两向量共线.

(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向

量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在

的直线可以平行，也可以重合.

重点题型

□类型1向量的概念

【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由.

(1)任何两个单位向量都是平行向量；

(2)零向量的方向是任意的；

(3)在△ABC中，D、£分别是A3、AC的中点，则向量或与丽是平行向量；

(4)对于向量Q、b、c,若。〃瓦且8〃c,则。〃c；

(5)若非零向量油与⑦是平行向量，则直线AB与直线CD平行；

(6)非零向量◎与丽是模相等的平行向量.

［解］(1)错误.因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或

相反；

(2)正确.任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；

(3)正确.由三角形中位线性质知，DE//BC,向量西与西方向相反，是平行

向量；

(4)错误.8为零向量时，有a〃〃且〃〃c,但a与c的方向可以任意变化，它

们不一定是平行向量；

(5)错误.A、B、C、。四点也可能在同一条直线上；

(6)正确.非零向量油与成的模相等，方向相反，二者是平行向量.

厂....•••成思领悟••.....................

1.在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑

其形(即方向性).

2.涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量.

3.对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，

对于错误命题，只要举一反例即可.

提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.

□类型2向量的表示

【例2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点8,然后又改变

方向向西偏北50。行驶了200千米到达点C,最后又改变方向，向东行驶了100千

米到达点D.

(1)作出向量麴，BC，⑦，AD;

⑵求应＞|.

依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量箱，BC,CD,AD；进而求

出的.

［解］(1)如图.

(2)由题意，易知篇与前方向相反，故施与诙共线，即4B〃CO.

又：m=\cb\,

.•.在四边形ABCD中，AB^-CD,

四边形ABC。为平行四边形，

疝|=|就1=200(千米).

厂......成思领悟・•••...............

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小

确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度(模)，选

择合适的比例关系作出向量.

□类型3共线向量

【例3】(对接教材P6例2)如图，四边形A3CO是边长为3的正方形，把各

边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与衣平行且长度为

2吸的向量个数有个.

DC

4B

8［如图所示,

满足与抚平行且长度为2啦的向量有FA,EC,CE,GH,HG,1J,万共

8个.］

［母题探究］

1.（变条件）在本例中，与向量危同向且长度为26的向量有多少个？

［解］与向量流同向且长度为2近的向量占与向量危平行且长度为2啦的向

量中的一半，共4个.

2.（变条件）在本例中，与向量劭相等的向量有多少个？

［解］题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量肪方向相同的向

量与其相等，共有8个.

厂.....•成思领悟.......................

1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定

哪些是同向共线.

2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构

造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,

起点为终点的向量.

9.2向量运算

9.2.1向量的加减法

第1课时向量的加法

知识点1向量的加法

(1)向量加法的定义

求两个向量和的运算叫作向量的加法.

(2)向量加法的运算法则

①三角形法则：

如图，已知向量a和。，在平面内任取一点。，作晶=a,AB=b,则向量速

叫作a与。的和，记作a+4即4+6=醇+筋=曲.

这个法则称为向量加法的三角形法则.

②平行四边形法则：

如图，已知两个不共线的非零向量a,b,作OC=b,以3，0C为

邻边作则以。为起点的对角线表示的向量丽=a+b,这个法则叫作向量

加法的平行四边形法则.

思考鼠向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适

用？

［提示］向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以适用；向量的平行四

边形法则仅适用两个不共线的非零向量.

知识点2向量加法的运算律

⑴交换律：a+b=b+a.

(2)结合律：(a+A)+c=a+S+c).

(3)a+0=0+a=a.

(4)。+(一。)=(—a)+a=O.

重点题型

类型1向量加法的三角形法则和平行四边形法则

［例1］如图，已知向量a,b,c,求作和向量a+8+c.

［解］法一：可先作a+c,再作（a+c）+b,即为a+5+c（用到向量加法运算

律）.

如图①，首先在平面内任取一点。，作向量OX=a,接着作向量筋=c,则得

向量为=a+c,然后作向量反"=》，则向量（5W=a+b+c为所求.

①②

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作.如图②,

（1）在平面内任取一点0,作苏=a,彷=方；（2）作平行四边形A0BC,则近=

a+b-,（3）再作向量历=c:（4）作QCOOE,则无=5t+c=a+》+c.则无即为所

求.

1......••成思领悟•...........................

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：

区别：（1）三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共

起点”；（2）三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用

于不共线的两个向量求和.

联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是

统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.

类型2向量的加法运算

【例2】(1)在正六边形A3COEF中，AB=a,AF=b,则危=,AD

________,AE=________

(2)AB-\-DF+CD+BC+FA=.

(l)2a+62a+2ba+2b(2)0[⑴如图，连接FC交AO于点。，连接03,

由平面几何知识得四边形ABOF,四边形ABCO均为平行四边形.

根据向量的平行四边形法则，有命=牯+崩=a+b.

在平行四边形ABCO中，AC=AB+AO=a+a+b=2a+b,AD=2AO=2a+

2b.

而在=Ab=a+b,

由三角形法则得能=涯+走=〃+a+)=a+2。.

(2)AB+DF+Cb+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=Q.]

「....思领悟.............................

1.解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量

起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.

2.运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个

向量的起点指向最后一个向量的终点.

类型3向量加法在实际问题中的应用

【例3】(对接教材PH例2)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10

km/h.

(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？

(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30。有一码头N,小船的航向如何确

定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)

结合实际问题画出草图，借助三角形的边角关系求解.

［解］(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h;小船逆流行驶时

实际速度最小，最小值为Okm/h,此时小船是静止的.

(2)如图所示，设必表示水流的速度，疚表示小船实际过河的速度.

设|必|=|而|=10,NCMN=30。.

'：MA+MB=MN,

，四边形MANB为麦形.

则4AMN=60°,，为等边三角形.

在△MNB中，|前|=|疝V|=|麻|=10,：.ZBMN=6Q°,而NCMN=30。,

：.ZCMB=30°,

所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°.

厂.....•成思领悟.........................

解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题一转化为数

学问题f正确画出示意图f用向量表示实际量f向量运算f回扣实际问题f作出

解答.

第2课时向量的减法

知识点向量的减法

（1）向量减法的定义

若方+x=a,则向量x叫作a与》的差，记为a—b,求两个向量差的运算，

叫作向量的减法.

/bBx

0aA

（2）向量的减法法则

如图所示，以。为起点，作向量为=。，OB=b,则放=a—），即当向量a,

b起点相同时，从幺的终点指向生的终点的向量就是a-b.

思考K.向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减

法，a~b=。+（—6）是否一定恒成立？

［提示］向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点

指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任

意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向

量；类比实数的减法，。一方=。+（一。）一定恒成立.

重点题型

类型1向量减法的几何作图

【例1】（对接教材Pi2例3）如图，已知向量a,b,c,求作向量a—分一c.

［解］法一：先作a—力，再作（a—万）一c即可.

如图①所示，以A为起点分别作向量篦和危，使麴=a,AC=b,连接CB,

得向量西，再以C为起点作向量前，使⑦=c,连接08,得向量力及则向量方方

即为所求作的向量a—8—c.

法二:先作一b,—c,再作a+(—6)+(—c),如图②.

（1）作协=-b和册=-c;

（2）作。X=a,则次7=a一万一c.

「......,应思领悟............................

求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终

点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先

通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.

D类型2向量减法法则的应用

【例2】（1）化简下列式子：

@NQ-PQ-NM-MP；

②（屈一⑦）一（危一防）.

⑵如图所示，四边形ACDE是平行四边形，8是该平行四边形外一点，且屈=

a,AC=b,AE=c,试用向量a,b,c表示向量⑦，BC,BD.

［解］（1）①原式=版+0＞一（而/+宓）=种一标=o.

②逐一诙）一乘一曲

=AB-Cb-AC+BD

=AB+DC+G\+BD

=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=(i.

(2)因为四边形ACDE是平行四边形，

所以前=A^=c;BC=AC-AB=b-a,

故防=比+⑦=〃-a+c.

厂.....cS思领悟.........................

(1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必

须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字

母为终点.

(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧

①观察待表示的向量位置；

②寻找相应的平行四边形或三角形；

③运用法则找关系，化简得结果.

类型3一例与)之间的关系

【例3】已知⑷=6,制=8,且|a+5|=|a—3|,求|Q—

结合向量加、减的运算法则，你能发现向量a,8间存在怎样的位置关系？如

何借助该关系求得|。一例.

［解］如图，设屈=a,

AD=b,以AB,A。为邻边作QABCD.

则庆=a+b,DB=a-b,

因为|@+加=|a一例，

所以1nl=|加

又四边形ABC。为平行四边形，

所以四边形ABC。为矩形.

故4DLAB.

在RtZXDAB中，|4阴=6,以。=8,

由勾股定理得|加|=、/|■郡+|屐)[2=^62_|_82=]0,所以|“一臼=1().

厂......反思领悟.............................

1.以平行四边形A8CD的两邻边AB,AD分别表示向量拔=a,AD=b,则

两条对角线表示的向量为庆=a+b,DB=a-b,这一结论在以后应用非常广泛，

应该加强理解并记住.

2.若|a+旬=|°一回，则以a,方为邻边的平行四边形是矩形.

9.2.2向量的数乘

知识点1向量的数乘定义

一般地，实数人与向量a的积是一个向量,记作％a,它的长度和方向规定如

下：

(lW=|z||a|；

(2)若a#0,则当2>0时，九i与a方向相同;当丸<0时，■与a方向相反.

实数人与向量。相乘的运算，叫作向量的数乘.

特别地，当4=0时，0a=0；当a=0时，20=0.

向量的数乘Aa的几何意义：当A>0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩

小；当/IV0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小.

量重j1.za=0,一定能得到2=0吗？

[提示]不一定.痴=0,则2=0或a=0.

知识点2向量数乘的运算律

设a,8为向量，九〃为实数，则

(1)她G=(〃)“；

(2)(2+〃)a=；

(3)A(a+6)=za+AZ>.

向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.

知识点3向量共线定理

一般地，对于两个向量a(aWO),方，设a为非零向量，如果有一个实数人使

b=Xa,那么8与a是共线向量；反之，如果〃与a是共线向量，那么有且只有一

个实数人使8=痴.

垦红2.向量共线定理中，为什么规定aWO.

［提示］当a=O时，显然白与a共线，此时若b=0,则存在无数实数九使b

=〃；若方W0,则不存在实数A使得力=曲.

重点题型

□类型1向量数乘的基本运算

【例1】计算：

(1)6(3。—26)+9(—2a+b)；

(2),(3a+2彷等一办］一翡Q+蓑时制;

(3)6(。-b+c)-4(a-2Z>+c)-2(—2a+c).

［解］(1)原式=18。-126-18a+明=-36

(2)原式=g(3a+2方_：“一))一看$+%>+5］

(3)原式=6。-6)+6c—4@+8。一4c+4a—2c=6a+2》.

厂......cS思领悟.............................

向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公

因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也

可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.

类型2向量的共线问题

【例2】已知非零向量ei,e2不共线.

(1)如果屈=ei+e2,BC=2ei+8ei,CD=3(e\-e2),求证：A,B,D三点共

线.

(2)欲使氏i+e2和ei+&2共线，试确定实数k的值.

(1)欲证4B,。三点共线，能否证明麴与屐)或防共线？

(2)若ke\+e2与e\+kei共线，则两向量间存在怎样的等量关系？

［解］(1)证明：'：AB=e}+e2,防=比+⑦=2ei+8e2+3ei—3e2=5(ei+e2)

=5AB,

：.AB,筋共线，且有公共点8,B,。三点共线.

(2),.,&i+e2与ei+Ze2共线，，存在实数2,使kei+e2=%(ei+Ze2),K'］(k,—A)ei

7：—2=0,

=(M—l)e2,由于ei与e2不共线，只能有.*./：=±1.

z«—1=0,

1......(J5思领悟......................

1.证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共

线定理是解决向量共线问题的依据.

2.若A,B,。三点共线，则向量麴，AC,庆:在同一直线上，因此必定存在

实数，使得其中两个向量之间存在线性关系.而向量共线定理是实现线性关系的

依据.

类型3向量的表示

【例3】如图所示，已知AOAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称

点，。是把肉分成2：1的一个内分点，0c和OA交于E,设倒=“，OB=b.

(1)用a和分表示向量近，DC；

(2)若无=%醇，求实数2的值.

［解］(1)依题意，A是BC中点,

：.2OA=OB+OC,

即次?=2/一为=2。―仇

—►—►—►—►2―►

DC=OC-OD=OC-^OB

25

=2a—〃一gb=2a-/

⑵若无=%见

则徐=无一定=觞一(24一方)=。一2)。+4

•.•丽与比共线，

，存在实数左，使在=豉，

.,.(%—2)a+》=42a—布)，解得见=f•

厂......反思领悟.............................

用已知向量表示未知向量的求解思路

(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；

(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向

量表不未知向量；

(3)求解过程体现了数学上的化归思想.

9.2.3向量的数量积

知识点1向量的数量积

已知两个非零向量a和b,它们的夹角是0,我们把数量㈤依cos8叫作向量a

和b的数量积，记作ab,即a-b=\a\\b\cos6.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(1)两个向量的数量积是向量吗？

(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？

［提示］(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量.

(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定.

知识点2两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a,b,作为=<z,OB=b,则NA08称为向量a

与b的夹角.

B

b

0

0aA

(2)范围：0°WeW180°.

(3)当。=£时，a与力同向；当。=180。时，。与)反向.

(4)当。=缪时，则称向量a与8垂直，记作aJ_b.

⑸两个非零向量a和b的夹角仇可以由cos。=就求得•

知识点3投影向量

设a,方是两个非零向量，如图，/表示向量a,为表示向量b,过点A作彷

所在直线的垂线，垂足为点Ai,我们将上述由向量。得到向量次।的变换称为向量

a向向量8投影，向量Ei称为向量。在向量方上的投影向量.

所以dAi=(㈤cos。血，a-b=OA\b.

投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量a在向量力

上的投影向量与向量。的数量积.

知识点4向量的数量积的运算律及性质

(1)向量数量积的运算律：已知向量a,b,c和实数九

®ab=ba-,

®(Aa)-b=a-Ub)=A(a-b)=Xab；

③(a+》)-c=a-c+be

(2)数量积的性质：

®a-a=|a|2或|a|；

②|a切W|a|血，当且仅当向量a,8为共线向量时取“=”号；

③a_L)台a,5=Q.(向量a,〜均为非零向量)

垦卷限2.向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？

［提示］向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量.

重点题型

□类型1向量数量积的运算

【例1】(对接教材P20例1)已知闷=2,\b\=3,a与分的夹角为120。，求：

(1"(2)标一52；(3)(2a-*).(a4-3Z»).

［解］(l)a-6=|a||6|cos120°=2X3X(—£|=一3.

(2)/一方2=同2—向2=4—9=-5.

(3)(2。—b>(a+3。)=2a2+5a-b-3b2

=2⑷2+5⑷制cos120。-3向2

=8-15-27

=-34.

厂....成思领悟........................

1.求平面向量数量积的步骤：①求a与力的夹角仇。@［0,兀］;②分别求同

和步I；③求数量积，即05=同派OSa要特别注意书写时,。与万之间用实心圆

点连结，而不能用“X”连结，也不能省去.

2.较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化

简.

口类型2求向量的模

【例2】已知向量醇=a,OB=b,乙408=60。，且⑷=|加=4.求|a+Z>|,

\a-b\j\3a~\~b\.

[解]山=|研|例cosNAOB=4X4X；=8,

\a+b\=y(a+b，=^a2+2a-6+Z>2

='16+16+16=4小,

\a-b\=yl(a—b)2=y]a2-2a9b+b2=*\J16-16+16=4,

|3a+"=*\/(3a+))2=y]9a2+6a-b+b2

=、9义16+48+16=4vB.

厂.....•成思领悟................

1.求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a・a=|a|2,

勿忘记开方.

2.一些常见的等式应熟记，如（°士〃）2=。2±2。.方+）2,（a+5）.（a—））=，一b2等.

类型3求向量的夹角

【例3】已知Q,b都是非零向量，且。+3〃与la—5b垂直，a-4b与7a

一2万垂直，求a与力的夹角.

由两组向量分别垂直可得出⑷，向同。小的关系，由此可借助公式cos。=编

求a与分的夹角.

［解］由已知，得（a+3，）-（7a-5Z＞）=0,

即7屋+16。/-15明=0,①

（。一孙（7。-26）=0,即7a2—30a.》+8》2=0,②

①②两式相减，得2a仍=加，,,.ab=^b2,

代入①②中任一式，得，=62,设出的夹角为。，

.ab2^1

川cos夕=丽=而=手

•.•0°WeW180°,.•.9=60°.

厂成思领悟.....S

求a与8夹角的思路

（1）求向量夹角的关键是计算a6及同步|,在此基础上结合数量积的定义或性质

rt*h

计算cos9=j^jj而，最后借助。6［0,兀］,求出0的值.

（2）在个别含有⑷，囱及。协的等量关系式中，常利用消元思想计算cos。的值.

提醒：注意两向量的夹角。e［0,兀］.

9.3向量基本定理及坐标表示

9.3.1平面向量基本定理

知识点1平面向量基本定理

(1)定理：如果ei,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内

的任一向量a,有且只有一对实数为，方，使a=/hgi+乃£2.

(2)基底：两个不共线的向量0,62叫作这个平面的一组基底.

小£如果ei,e2是两个不共线的确定向量，那么与0,e2在同一平面内的任

一向量a能否用ei,e2表示？依据是什么？

［提示］能.依据是数乘向量和平行四边形法则.

知识点2平面向量的正交分解

由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e\,e2表示成a

=为0+2262的形式.我们称4⑹+4262为向量a的分解.当幻,€2所在直线互相垂

直时，这种分解也称为向量a的正交分解.

重点题型

□类型1对向量基底的理解

【例1】如果a,e2是平面a内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是

()

A.若实数力,42,使210+2262=0,则21=22=0

B.空间任一向量。可以表示为a=/bei+丸202,这里力，上为实数

C.对实数21,丸2,为61+2202不一定在该平面内

D.对平面内任一向量。，使4=2⑻+七02的实数力，上有无数对

A［平面a内任一向量都可写成ei与62的线性组合形式，而不是空间内任一

向量，故B不正确；对任意实数为，后，向量Aiei+人262一定在平面a内，故C不

正确；而对平面a内的任一向量a,实数无，上是唯一的，故D不正确.］

厂......成思领悟・•••.................

考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.止匕外，一

个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表

示出来.

口类型2用基底表示向量

【例2】如图所示，在△ABC中，点M是A8的中点，且俞=家，BN与

CM相交于点E,设油=a,AC=b,试用基底a,A表示向量能.

［解］法一：由已知，在△ABC中，AM=MB,且病=；近，已知BN与CM

交于点跳过N作A3的平行线，交CM于。，如图所示.

在△ACM中，税=翳-3,

NDNEDE2

所以砺=丽=丽=予

//-2一

所以NEqNB,

AE=AN+NE=^AC+^NB

=1■庆+,（隔+油）

法二：易得俞=|■庆=g。，AM=^AB=^a,

由N,E,3三点共线知存在实数相，满足

——,—1

AE=mAN+(l—m)AB=2^b+(l—m)a.

由C,E,M三点共线知存在实数外满足

AE=nAM+(1~n)AC=^na+(\~n)b.

所以;〃力+(1—m)a=+(1—ti)b.

I1-m=；n,

因为％b为基底，所以＜]一

2m=]一〃，

r3

m=g,

解得＜4所以能=]a+1b.

、〃=予

厂........反思领悟.............................

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用

向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是

通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.

D类型3平面向量基本定理与向量共线定理的应用

【例3】如图，在△A8C中，点M是BC的中点，N在AC上且AN=2NC,

AM与BN交于点P,求AP：PM的值.

［解］设6=a,AC=b,

则与f=1(a+Z>),BN=~a+^b.

VA,P,M共线，

Z.设协=加拓

fA,

.,.AP=2(a+b).

同理设丽=〃丽,

.,.BP=—/tia+^ib.

\"AB=AP+PB,

/.a=2（«+b）―（一〃a+7

,'（1_1_4}=修一岗，,

•：a与b不共线,

.伊，=1,

"\X2

匕下

•"=5,〃=予

.'.AP=^AM,BP=^BN,

：.AP：PM=4：1.

厂......成思领悟.............................

1.充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的

应用.

2.用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练

掌握.

9.3.2向量坐标表示与运算

第1课时向量的坐标表示

知识点1向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与X轴、v轴正方向相同的两个单位向量i,j作

为基底，对于平面内的向量。，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实

数(x，y),使得a=xi+yj.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标，记

作a=(x,y).

1.在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(l,1),则A点位置确

定了吗？给定向量。的坐标为4=(1,1),则向量"的位置确定了吗？

［提示］对于A点，若给定坐标为A(l,1),则A点位置确定.对于向量a,

给定的坐标为a=(l,1),此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和

终点确定，且向量可以任意平移，因此。的位置还与其起点有关.

知识点2向量线性运算的坐标表示

(1)已知向量。=(xi,yi),b=(x2,*)和实数九那么a+/>=(xi+x2,yi+y2),

a—1=(XLX2,yi—y2),7la=(Axi>Ayi).

(2)已知A(xi,yi),B(X2,”)，O为坐标原点，则油=①一宓=52,也)一(加，

yi)=(x2—xi,V2—yi),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.

思考k2.设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a=(xi,巾),

b=(x2,>2),则a=xii+yj,b=x2i+yy,根据向量的线性运算性质，向量a十5，

a-b,SR)如何分别用基底用j表示?

［提示］a+6=(Xi+x2)i4-(ji+y2)j,

a-b—{x\—X2)i+(>'i~yi)j,痴=Axii+肛ij.

重点题型

□类型1平面向量的坐标表示

【例1】(对接教材P28例1)在直角坐标系xOy中，向量a,方的位置如图，

⑷=4,\b\=3,且NAQx=45。，NOAB=105。，分别求向量a,方的坐标.

［解］设a=(ai,«2),b=(b\,bi),由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°,

所以ai=|a|cos45°=4X乎=2啦，a2=|a|sin45。=4乂乎=26.

可以求得向量。相对于无轴正方向的转角为120。,

3

所以勿=|〃cos120。=3X［一］

b2=\b\sin120°=3义坐=曰3.

故。=(2隹2^2),8=［一|,驾目・

厂.......思领悟•••.............................

求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角

函数的定义和性质进行计算.

类型2平面向量的坐标运算

【例2】已知平面上三个点A(4,6),8(7,5),C(l,8),求屈，AC,AB+

AC,2AB+^AC.

［解］VA(4,6),8(7,5),C(l,8),

：.AB=(3,-1),AC=(-3,2),

AB+AC=(O,1),

一1一

2AB+^AC=(6,-2)+

厂......近思领悟.............................

平面向量坐标的线性运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进

行.

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量

的坐标运算.

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

类型3平面向量线性运算的坐标应用

【例3】已知点。(0,0),A(l,2),3(4,5)及种=/+方及试问：

(1)当7为何值时，P在x轴上？P在y轴上？

(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值.若不能，说

明理由.

以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解/的值；结合平行四边形的向量表达式

建立参数f的表达式.

［解］⑴油=（3,3）,

OP=OA+tAB=（l+3t,2+3。，

则P（l+3t,2+3/）.

2

若P在x轴上，则2+3/=0,所以/=一§;

若P在y轴上，则1+3，=0,所以/=一

（2）因为次=（1,2）,PB=（3~3t,3-30,

若。ABP是平行四边形，则昂=而，

3—3r=l,

所以，此方程组无解；

、3—3r=2,

故四边形OABP不可能是平行四边形.

［母题探究］

1.（变条件）在本例条件下，若P在第三象限，求r的取值范围.

1+3/<0,2

［解］由本例解知，若P在第三象限，则J解得/<一与，所以/的取

、2十3r<0,。

值范围为（一8,—1j.

2.（变条件）在本例条件下，r为何值时，P在函数y=-x的图象上？

［解］由P点坐标（1+332+3。在），=一刀上，

得2+3f=-1-3f,解得尸一；.

即/=一；时，P在y=­x的图象上.

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已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算

的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐

标满足的条件，建立关于参数的方程（组）或不等式（组），求解即可.

提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量

终点的坐标减去始点的坐标.

第2课时向量数量积的坐标表示

知识点1平面向量数量积的坐标运算

若两个向量为a=(xi,y),b=(x2,”)，则a6=xix2+yiy2,即两个向量的数

量积等于它们对应坐标的乘积的和.

知识点2向量的长度、夹角、垂直的坐标表示

(1)向量的模：设a=(x,y),则/=f+y2,即㈤二、仔丘.

(2)向量的夹角公式：设两个非零向量。=(汨，yi),b=(x2,yi),它们的夹角为

仇则cos'—MM厂演明5m-

特别地，若。，万，则xiX2+yiy2=0；反之，若xi无2+yiy2=0,则a_LZ>.

昼造！若A(»,yi),8(X2,刈，如何计算向量油的模？

［提示］'：AB=OB—OA=(xi—x\,y2-y\),

**­|AB|=7(X2-龙+-y.

重点题型

□类型1数量积的坐标运算

【例1】已知。=(1,3),6=(2,5),c=(2,1),求：

(l)a如(2)(a+b>(2a+b)；⑶(a协)-c.

［解］(l)a山=1X2+3X5=17.

(2)'.—(3,8),

2。+。=(4,11),

/.(a+6)-(2a+6)=12+88=100.

(3)(a山)-c=17c=(34,17).

厂......思领悟■..........................

利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然

后根据题目中已知的条件，找