广东高考理数真题模拟汇编08：圆锥曲线

广东高考理数真题模拟汇编

08：圆锥曲线

真题部分:

1（2004广东）若双曲线2炉—>2=乂攵>0）的焦点到它相应的准线的距离是2,则A=

(A)6(B)8(C)1(D)-4

r221

2(2005广东)若焦点在x轴上的椭圆——+1v=1的离心率为一，则m=()

2m2

3「8D.2

A.V3nB.-C.一

233

_c_1._V2

2【答案】B解：•.,焦点在x轴上，.,•。二五，•/e=-=-，••c=—

a22

3

/.m=b2=a2—c2=—,故选B.

2_

3、（2006广东）已知双曲线3x2=9,则双曲线右支上的点p到右焦点的距离与点p到右准线的距离

之比等于

A.B.----C.2D.4

3

3、依题意可知a=V3,c=yla2+b2=73+9=273,e=£=2=2,故选C.

aV3

2（2007广东理数）在直角坐标系xOy中,有一定点A（2,1）。若线段0A的垂直平分线过抛物线y2=2Px（p>0）

的焦点，则该抛物线的准线方程是；

2答案：x=-2;解析：0A的垂直平分线的方程是y-1=-2（x-l）,令y=0得到x=2;

424

11（2004广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到

一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s,已知各观测点到中心的距离都是1020〃?，

试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340zn/s,各相关点均在同一平面上）

11.解：如图，

以接报中心为原点0,正东、正北方向为X轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北

观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)

设P(x,y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线P0上，P0

的方程为丫=一x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故;PB|一|PA1=340X4=1360

>2-]

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线—2~1上，依题意得a=680,c=1020,

ab

22

:.b=c=102()2-68()2=5X34()2

故双曲线方程为一三=1

68025x340?

用丫=一*代入上式，得x=±680行，•JPB©|PA

x=-68075,y=680其即P(-680百6806,故P。=6805M

答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680，诏”处.

2

v-v2

*12(2004广东)设直线/与椭圆石+金=1相交于A,8两点，/又与双曲线/一＞2=1相交于3D两

点，C,。三等分线段AB,求直线/的方程。

12.解：首先讨论1不与x轴垂直时的情况，设直线1的方程为

y=kx+b,如图所示，1与椭圆、双曲线的交点为：

DX

4区，%),B(%2，y2)，C(》3，为)，(4，%)

依题意有AC=OB,A3=3CZ),由

y=kx+h

“2V2得(16+25M)%2-2Hx+(25庐-400)=0…⑴

—+—=1

12516

50bk

.**Xi+Xy--------------

16+25r

y=kx+b,

由＜\.得(1一d)》2一2"工一(庐+1)=0…(2)

x2-y=1

2hk

若女=±1,则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k0±l.・.X3+X4=匕S

l-k2

由AC=DB=九3-%1=/2一工4n/+工2=+工4

50bk

------nbk=。nk=0或b=0

16+25公\-k2

(j)当k=0时,由⑴得X].2=±jJ16-12，由(2)得%3,4=土+1

2

由AB=3CD=>x2—x1=3(X4—X3),即=J16-/=6^Jb+1=>b=

故i的方程为),=±

70i

(ii)当b=0时，由⑴得32=±/，由(2)得X34=+.

J16+25攵2'J1—公

—*,,40616

由AB=3CD=>x-%.=3(%4一均)即/=/=>k=±——

2J16+25-VTF25

故1的方程为丁=±1|工

再讨论1与x轴垂直的情况.

设直线1的方程为X=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

22

yi2=±yV25-c,y34=±Vc-1

由IAB|=3ICO|=>|y2-|=31y4-y3|

SP-V25-C2=67c2-1=c=±25^1

5241

故/的方程为金

241

综上所述，故1的方程为？=±3、y=±—x^x=+25^

•1325241

*13（2005广东）在平面直角坐标系xoy中，抛物线》二产上异于坐标原点与用两不同动点/、夕满足

4

AOIBO(如图4所示)

(I)求AA08得重心G(即三角形三条中线的交点)

的轨迹方程；

(II)MOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出

最小值；若不存在，请说明理由.

13【答案】解法一：

(I)•••直线4B的斜率显然存在，.•.设直线AB的方程为旷=履+匕，

2

A(Xl,y.),B(x2,y2),依题意得由"消去为得x-kx-b=O,①

y=x2

/.+x2=k,②xxx2--b③

OA±OB,，+M%=0，即x\x2+^I2A：2=0,④

由③④得，一b+〃=0,・・・2=1或力=0(舍去)・,.设直线48的方程为y=履+1

・••①可化为工?一履一1二0,七工2=-1⑤，

设AAO8的重心G为(儿y),则

、=/+4+0=%⑥、=y+乃+0=收、+4)+2J+2⑦

3，，—3-33

由⑥⑦得y二I；，即丁=3工2+；,这就是AA08得重心G的轨迹方程.

(II)由弦长公式得|AB|=+入2)2—4中二

把②⑤代入上式，得|4B|="2+1.42+4,

设点0到直线A8的距离为d,则d=，

“J2+—1.

1J〃2+4

:.5刖08=]•IA8卜[=，当氏=0，有最小值，

・・・AAO8的面积存在最小值，最小值是1.

解法,

(I)AOIBO,直线OA,的斜率显然存在,

.♦.设AO、BO的直线方程分别为y=丘，y=x,设B(x2,y2),依题意可得

y=kxy

由<,得A(k,kD，由

y=x2

y

设AA08的重心G为(x,y),则

,1,,1

k——42+

x_xl+x2+O__卜①%+%+0_P

3333

2

由①②可得，),=3/+*,即为所求的轨迹方程.

3

(II)由(I)得，|OA|=JR+心,|。8=Jj+击,

•••SM0B=~\0A\-\0B\=^4k^J^+^

乙乙\KK

=-Jk2+—+2>-72+2=1,

2Vk22

当且仅当&2=_L,即女=±1时，S.OB有最小值，

k2

AA08的面积存在最小值，最小值是1.

解法三：(I)设aAOB的重心为G(x,y),A(A1,%),BCfe,必)，则

J_X|+X2

3••­(1)

yj+为

3

不过：OA_LOB,

k0A,kOB=-1>即》/2+%为=一1，…⑵

又点A,B在抛物线上，有为=$2,乃，

代入(2)化简得匹々=-1>

222

•*-y=)1；乃=；(x：+X；)=；[(X1+x2)-2X]X2]=^x(3x)+-|=3x+-|)

2

所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+§,

（II）SMOB=gI%U081=g+y；）（x；+y；）=gJx；x；+x；y；+x；y；+y；y；,

由(I)得1Jx&+x(+22，J2Jx*x?+3=L12g+2=工义2=1,

当且仅当x：=x；即玉=一/=T时，等号成立，

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1.

10.(2007广东理数)在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2播的圆C与直线y=x相切于

坐标原点0,椭圆£+工=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

a29

(1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段0F的长，若存在

求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。

10解析:(1)圆C：(X+2)2+(>-2)2=8；

(2)由条件可知a=5,椭圆《■+t=1,；.F(4,0),若存在，则F在0Q的中垂线上，又0、Q在圆C

259

上，所以0、Q关于直线CF对称；

y_4

——3x——

直线CF的方程为yT=-1(x-l),即x+3y-4=0,设Q(x,y),贝1]卜，解得，5

3x3y..12

—H----4=0y=——

[2215

所以存在，Q的坐标为(土装)。

8.(2008广东文、理数)设6>0,椭圆方程为赤+2=1,抛物线方程为x2=8(y-。).如图6所

示，过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过

椭圆的右焦点片.

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

(2)设4B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点尸，使得aABP为直角

三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这四点的坐标).

.1)

8【解析】(1)由/=8(丁一。)得y=—丁+匕，

8

当？=匕+2得％=±4,r.G点的坐标为(42+2),

V=%，y1=4=i,

图6

过点G的切线方程为y-3+2）=x—4即y=x+b-2,

令y=0得X=2-匕，，耳点的坐标为(2-AO),由椭圆方程得片点的坐标为(6,0),

2—b=b即A=1,即椭圆和抛物线的方程分别为］+y2=1和f=8(y一1)；

(2)•.•过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点尸，.•.以NPAB为直角的RfA48P只有一个，

同理以NPB4为直角的RfAABP只有一个。

若以NAP6为直角，设尸点坐标为(x—F+l),A、8两点的坐标分别为(—J5,0)和(、/5,0),

8

PA/^=x2-2+(-x2+l)2=—x4+-x2-l=0o

8644

关于f的二次方程有-大于零的解，,x有两解，即以NAP8为直角的RrAABP有两个，

因此抛物线上存在四个点使得AA8P为直角三角形。

*14(2010广东理数)21.(本小题满分14分)

设A(西,yJ,B(X2，＞2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的种折线距离p(A,B)

为P(A,8)=|々一玉|+1%—hI•

对于平面xQy上给定的不同的两点Ai々,_yj3ix2,y2)

il)若点C(%?)是平面xOy上的点，试证明P(AC)-P(C,B)N?(A3);

I-)在平面xQy上是否存在点Cix：：、)同时满足

①？(A,C)-P(C,②？(AC)=?(C,B)

若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明

证明：(1)由绝对值不等式知，

P(A,C)+P(C,B)=\x-x1\+\X2-X\+\y-y1\+\y2-y\

斗(x-Xi)+(x2-x)I+1(^-7I)+O2-y)I

=\x2-x1\+\y2-y1\=P(A,B)

当且仅当(x-玉)(X2-x)20,(y-x)(%-刃？0时等号成立，即A,8,C三点共线时等号成立.

(2)当点C(x,y)同时满足①P(A,C)+P(C,B)=P(A,B),②P(A,C)=P(C,8)时，点C是线段A8的

中点.x=直1强,),="！，即存在点满足条件。

15(2010广东理数)一条双曲线万一y2=l的左、右顶点分别为"Az,点。(%,一%)是双曲

线上不同的两个动点。

(1)求直线A,P与A2Q交点的轨迹E的方程式；

(2)若过点H(0,h)(h>l)的两条直线和L与轨迹E都只有一个交点，且4^/2-求h的值。

解：⑴由为双曲线的左、右顶点知，4(-0,0),4(0,0).

1

4尸:y=—~-j=(x+'j2'),A2Q:"=",六(x-贬):两式相乘得

再+y2演一(2

而点尸氏,如在双曲线上，所以工一义=1,即孚:=工，

亦］一22再一22

2

1x1

22

故)/=——(%-2),即---Fy=1o(2)设/［：y=Zx+/z,则由/1_!_/)知，Z2:y=——x+力。

22k

尤2r2

将4:y=fcc+/?代入y+丁=1得耳+(履+6)2=1,即(1+2/)/+软版+2/12-2=0,

由4与E只有一个交点知，A=16抬〃2_4(1+2公)(2力2_2)=0,即

1+2/="。同理，由4与E只有一个交点知，1+2-3=力2,消去/得4=炉，即公=1,从而

kk

h2=l+2k2=3,即％=百。

16(2010广东文数)21已知曲线C“：y=zu?,点Pn(xn,yn)(x„>0,%>0)是曲线C“上的点(〃=1,2,...),

(1)试写出曲线6在心点处的切线人的方程，并求出与J轴的交点

。”的坐标；

(2)若原点。(0⑨到7”的距离与线段4值的长度之比取得最大值，试

求点尸“的坐标(X”①)；

(3)设次与k为两个给定的不同的正整数，/与%是满足(2)中条

件的点打的坐标，

证明：2-^k+r)yn<\4ms-=1,2....).

解：

(1)•:y=2nx：.k=2nxr

切线。的方程：y-yn=2y(xr。

令x=0得y=-2nx^+yn=-2nx；+nx*=一百；，即。式。「高)

(2)切线方程可写成：2nx.x-y-2nx：+%=0

二，｝-2丘|思

:

7(2nxM)+1"〃胃+1

I欧=Jx：+(2nx；)：=x“Jl+4/x；

d_nx”_1/1

|尸21l+4f_l_+4也不

当且仅当J_=4%,即x“=L时取”=

此时yn=nx.1=—

点鸟的坐标为（3，3）

即卜/加+1_dk+1]•—V^|

,:-f=<-7=--r=2(枳--1)

y/S«s+Js一1

故有

>■--7==—(—7^---广+…+—y=-)<(1—0)+(->/2-1)+…+(&-•yjs-1)=y[s

仁2后2y/1y/2加

又•.,pw+1-Jk+l|<|7w-6I恒成立

所以有卜/»J+1-Jk+1|-£vx/jpwj-恒成立

即:甲S'+Jx”_J(k+l)y“<|7w7-7fa|(5=1,2,.-)

»1

17、（2011•广东理数）设圆C与两圆（x+V5）2+y2=4,（x-依）？+y2=4中的一个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M（&5&近），F（代，0）,且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.

55

考点：圆方程的综合应用。

专题：综合题；转化思想。

分析：（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相

减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心Fi的距离加2与圆心C到圆心F2的

距离减2或圆心C到圆心F|的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2,得到圆心C到两圆心的距离之差

为常数4,且小于两圆心的距离2dm可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据

a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；

（2）根据点M和F的坐标写出直线I的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，

求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线I的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线

1与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现「在线段MF外，12在线段MF内，根据图形可知IIMTil-

|FT|||=|MF|,利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|-|FT2||<|MF|,当动点

P不是直线1与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|-|FP|<|MF|,综上，得到动点P与Ti

重合时，||MP|-|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T］的坐标._

解答：解：（1）两圆的半径都为2,两圆心为Fi（-V5.0）、F2（遥，0）,

由题意得:|CFI|+2=|CF2|-2或|CF2|+2=|CFI|-2,

.".||CF2|-|CF|||=4=2a<|FiF2|=2V5=2c,_

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4,焦距为2旄的双曲线，

蛎-0

5

（2）过点M,F的直线1的方程为（X-遍）,

即y=-2（x-代入三--y2=l,解得：xX2="史匹，

4515_

故直线1与双曲线L的交点为Ti近，-2近），T2（超近，2近）,

551515

-遍））（华）七，

因此T在线段MF外,T2在线段MF内,故||MT1|-|FT1||=|MF|=

||MT2|-|FT2||<|MF|=2,若点P不在MF上，贝”MP|-|FP|V|MF|=2,

综上所述，|MP|-|FP|只在点Ti处取得最大值2,此时点P的坐标为（因I-2匹）.

55

点评：此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距

离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题.

21、(2011•广东理数)在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=lx2.实数p,q满足p2-4qM,xp

4

X2是方程x?-px+q=0的两根，记(p(p,q)=max{|xi|,如|}.

2

(1)过点，A(p0,-ipo)(p(/0)，作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的任一点Q(p,q),

4

后,>lpo।

(2)设M(a,b)是定点，其中a,b满足a?-4b>0,a#).过M(a,b)作L的两条切线h，12,切点

2

分别为E(pi，lp2),E'(p2,lp2),h，I2与y轴分别交于F,F'.线段EF上异于两端点的点集记

|pi|

为X.证明：M(a,b)eXo|P||<|P2|=(p(a,b)=~.

⑶设D={(x,y)|y<x-1,y>A(x+1)2--}.当点(p,q)取遍D时，求<p(p,q)的最小值(记

44

为(Pmin)和最大值(记为甲max)

考点：直线与圆锥曲线的综合问题。

专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义；数形结合；函数思想。

2

分析：(I)求导，写出过点A(po,Apo)(po/O)L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；

4

(2)求出过M(a,b)作L的两条切线h，b，根据9(P，q)=max{|xi|,问},比较」gL|a-今|、[孑1

Ia-4|的大小，即可证得结论；

(3)联立y=x-1,产1(x+1)2求得交点坐标，利用导数求过点(p,q)抛物线L的切线方程，求得

切点坐标，转化为求函数的最值问题.

/

解答：解：(1)kAB=ylx=Po=-1po>

直线AB的方程为y--1po2^Po(x-po),即y=^1pox-/o-

q=—pop'—po2>方程/-px+q=O的判别式△=p?-4q=(p-po)2.

24

两根X〃P士E-Ple或p-W

222

而IP-岑挈II，又叱IPIWIPOI，

•--I-^KIPI-I^KI^P得IP-号网吁啰<的,

乙乙乙乙乙乙

PO

..(p(p,q).=I^―I；

(2)由a2-4b>0知点M(a,b)在抛物线L的下方,

①当a>0,bK)时，作图可知，若M(a,b)ex,则pi>p2K),

得|pi|>|p2];显然有点M(a,b)GX；AM(a,b)GX«>|P||<|P2|.

②当a>0,b<0时，点M(a,b)在第二象限，作图可知，若M(a,b)GX,则pi>0>p2,

且|pi|>|p2|;

显然有点M(a,b)GX,

.•.显然有点M(a,b)eXo|Pi|<|P2|.

根据曲线的对称性可知,当aVO时，M(a,b)eX»|Pi|<|P2|.

综上所述，M(a,b)GX»|Pi|<|P2|.(*)

由(1)知点M在直线EF上，方程x2-ax+b=O的两根X|,2=^^■或a-—,

22

同理知点M在直线E'F'上，方程x2-ax+b=O的两根xi.2上或a-也，

22

若<p(a,b)=■।P.J,则不比|a一士』、-"2!、|a-

22222

.,•|P1|>|P2|;又21nM(a,b)GX；

MI

A(p(p,q)=-----=M(a,b)£X；

|p<I

又由(1)知，M(a,b)£X=(p(p,q)=-----；

|piI、、

AM(a,b)£X=(p(p,q)=---—,综合(*)式，得证.

(3)联立y=x-l,y=q(x+1)2-1得交点(0,-1),(2,1),可知屿£2,

12_

1)4X0~Q1

2

过点(p，q)抛物线L的切线，设切点为(xo,Axo),则^---------=-Xn,

4x0-Q20

2

得xo-2pxo+4q=O,解得xo=p+Jp2_

又q>—(p+1)2--,即p?-4q*-2p,

44

2=2

xoWp+44—2p，设也-2pfx0<-At+t+2--j(t-1)+|<|，

._5

,,Qmax——-；

4

而x0>p+^p2_4p+4=p+|p-2|=2,

点评：此题是个难题.本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综

合运用知识解决问题的能力.其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析

问题、解决问题的能力.

20.（2012广东理数）（本小题满分14分）

X2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:於+=1（。>b>0）的离心率6=J|,且椭圆C上的点到点

0（0,2）的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程

(2)在椭圆C上，是否存在点加(根,〃)，使得直线/:/nx+wy=1与圆。+丁=1相交于不同的两点A、

B,且A0A8的面积最大？若存在，求出点”的坐标及对应的△04?的面积；若不存在，请说明

理由.

解：(1)由6=，|得/=3从，椭圆方程为f+3y2=3/

椭圆上的点到点Q的距离d=信+(/_2)2=，3._3血+()-2)2

=J_2y2_4y+4+3/(_b<y<b)

当①一bW—l即匕Nl,dmax=J6+3b2=3得8=1

当②一：>一1即Z?<l,dmax=J^+4匕+4=3得6=1(舍)

/.b=l

2

椭圆方程为土+V=i

3

(2)SMOB=^\0A\\0B\smZA0B^^sinZA0B

当乙4。8=90。，S4IOB取最大值;，

1/?

点0到直线/距离d=/==—

J/+〃22

/.m2+n2=2

又•.•仁+〃2=1

3

31

解得：m~=—,n2——

22

.J_.tVtAlAk-f6yf6V2V6V2

(22)(22J[22)[22)

A4O8的面积为,

2

分析：本题相对于往年难度有所增大，第一问求椭圆方程可能会让不少考生头疼，主要考察解析几何的分

析能力和方法的灵活性。

广州一模、二模

10.(2010广州二模理数)已知椭圆C的离心率0=日，且它的焦点与双曲线2),2=4的焦点重合，则

椭圆。的方程为

10-T+f=1

20.(2010广州模理数)已知点/(0,1),直线/：y=-1,P为平面上的动点，过点P作直线/的垂线，

垂足为。，且行炉=而而.

(1)求动点尸的轨迹C的方程；

(2)已知圆M过定点0(0,2),圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点、,设

1^1=/1，\DB\=l2,求人+.的最大值.

4*1

20.(本小题满分14分)

(本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想

方法，以及推理论证能力和运算求解能力)

(1)解：设尸(x,y),则Q(x,-1),

,：QPQF=~FP~FQ,

，(O,y+l)(-x,2)=(x,y-l)(x,-2).

即2(y+l)=x2-2(y—l),即/=4y,

所以动点尸的轨迹C的方程/=4)，.

(2)解：设圆用的圆心坐标为加(。为)，则。2=4。.①

圆M的半径为|MZ)|=Ja2+(b-2)2.

圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+e-21

令y=0,贝|」@一。)2+。2=。2+(》—2)2,

整理得，-2ax+4沙-4=0.②

由①、②解得，x=a±2.

不妨设A(a—2,0),8(a+2,0),

••.[=J(a—2)+4,(=J(a+2y+4.

当且仅当a=±2五时，等号成立.

当a=0时，由③得，*+2=2.

“2h

故当a=±2夜时，乙+乙的最大值为2&.

1、A

19.(2010广州二模理数)已知抛物线C"2=2py(p>0)的焦点为尸，A、8是抛物线C上异于坐标原点

。的

不同两点，抛物线C在点A、8处的切线分别为/广12,且4_L4，4与4相交于点o.

(1)求点。的纵坐标；

(2)证明：A、8、/三点共线；

(3)假设点。的坐标为问是否存在经过A、B两点且与/r4都相切的圆，

若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分14分）

（本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数

学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

解:设点、的坐标分别为（王，%、

（1）48）（x2,y2）,

；4分别是抛物线。在点A、6处的切线，

直线乙的斜率L=y门=五，直线4的斜率月=>门=至.

'P2P

*//）

J_/2,

k1k2=-1,得玉》2=-0・①…2分

•.•A、8是抛物线C上的点，

.%：xf

­­3=社，力=丁・

2P2P

直线4的方程为y-上-=±（x—%,直线Z的方程为y-——(x—x)•

2PP22

y一尹=土（》一王），X：_Xj+x2

由:P解得，2，

y_f^U（XT2）'y=_£

2-

...点。的纵坐标为一K.…4分

2

,••・小,"

（2）证法1：・••尸为抛物线C的焦点

A__p_

V上

_2p2_x；-p-

/•直线Ab的斜率为左"=——-——,

X]—0x}2px]

-P

」

V~_2p~2_x^-p2

直线BF的斜率为kBF=——

x2-0x22px2

2222

••k-k一」一〃x「p

•KAFKBFCC…6分

2px}2px2

2px]x2

（再

XxX2-%2）+（M-X2）

2pxxx2

=-p2&-々）+/（%-々）

2pxyx2

=0.

・・・A、B、/三点共线.,•,8分

证法2：・・・/为抛物线C的焦点,

2pp“一X2—x；玉

,•,6分

p~X；p__芍—X1%2—^2^2

2P

・・・AF//~BF.

・・・A、B、/三点共线.,，,8分

证法3：设线段A3的中点为E,则E的坐标为（号”,）号三

抛物线。的准线为/:>=—£.

作"±Z,垂足分别为

•/由（1）知点0的坐标为「土玉，一

I22）

：.DELI.

：.OE是直角梯形44月"的中位线.

二阿=;（河+网）.

…6分

根据抛物线的定义得忸闻=|昉I，

•••|£）同=；（|。|+忸用）=；他尸|+忸尸|）.

VAD1DB,E为线段的中点，

・•.|OE|=g网.

即

•••；|A8|=；（|AF|+|BF|）,\AB\=|AF|+|BF|.

...A、B、f三点共线.-8分

（3）解：不存在.证明如下：

假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M,

依题意得的4,4。,“8_1」。，且|加川=阿却,

由得A。，8。.

二四边形MAOB是正方形.

|AD|=|BD|.•••10分

•.•点力的坐标为（1•,一1）,

一■%=-1,得p=2.

把点O仁,一11的坐标代入直线4,得一1—五=工信一为

l2）142（2।

解得玉=4或玉=一1,

.•.点A的坐标为（4,4）或1—1,；）.

同理可求得点8的坐标为（4,4）或（一1,；1

.,•,IS分

：.\AD\^\BD\,这与|AD|=|BD|矛盾.

经过A、B两点且与4、4都相切的圆不存在•••,14分

22l(a>g)的离心率e=；.直线x=

19.(2011广州一模理数)已知椭圆+2t(?>0)与曲

a23

线E交于

不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,8,求AABC的面积的最大值.

19.(本小题