北京市崇文区高三第二次模拟考试数学理科试题

崇文区2021－2021学年度第二学期统一练习〔二〕 高三数学〔理科〕2021.5本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷1至2页，第二卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一卷〔选择题共40分〕考前须知：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。3．答题卡上第一卷必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第二卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．〔1〕“关于的不等式的解集为〞是“〞〔A〕充分非必要条件〔B〕必要非充分条件〔C〕充分必要条件〔D〕既非充分又非必要条件2侧〔左〕视图2侧〔左〕视图2正〔主〕视图4俯视图2(A)(B)〔C〕〔D〕〔3〕设函数假设，，那么(A)(B)0〔C〕1〔D〕2〔4〕把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕点是抛物线上的一个动点，那么点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为〔A〕3

〔B〕

〔C〕

〔D〕〔6〕假设非零向量满足，那么(A)(B)〔C〕〔D〕〔7〕用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为〔A〕120〔B〕72〔C〕48〔D〕36〔8〕圆的方程，过作直线与圆交于点，且关于直线对称，那么直线的斜率等于〔A〕〔B〕

〔C〕

〔D〕

崇文区2021－2021学年度第二学期统一练习〔二〕 高三数学〔理科〕2021.5第二卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．〔9〕函数的定义域为

．〔10〕如图，⊙中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，假设，，，，那么

．〔11〕甲、乙、丙三名射击运发动在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名运发动这次测试成绩的平均数，那么的大小关系为

；分别表示甲、乙、丙三名运发动这次测试成绩的标准差，那么的大小关系为

．〔12〕假设直线的参数方程为〔为参数〕，那么直线的斜率为

；在极坐标系中，直线的方程为，那么点到直线的距离为

______．〔13〕给定以下四个命题：①假设，那么；②直线，平面为不重合的两个平面．假设，且，那么∥；③假设成等比数列，那么；④假设，那么．其中为真命题的是

．〔写出所有真命题的序号〕〔14〕设不等式组，所表示的平面区域的整点个数为，那么

．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔15〕〔本小题共12分〕如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．的横坐标分别为．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的值．〔16〕〔本小题共14分〕正方体的棱长为，是与的交点，是上一点，且．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求异面直线与所成角的余弦值；〔Ⅲ〕求直线与平面所成角的正弦值．〔17〕〔本小题共13分〕某学校高一年级开设了五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．〔Ⅰ〕求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；〔Ⅱ〕求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；〔Ⅲ〕设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数，求的分布列与数学期望．〔18〕(本小题共14分〕设函数〔〕．〔Ⅰ〕当时，求的极值；〔Ⅱ〕当时，求的单调区间.〔19〕〔本小题共14分〕椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．〔Ⅰ〕〔ⅰ〕假设圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；〔ⅱ〕假设椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；〔Ⅱ〕设直线与轴、轴分别交于点，，求证：为定值．〔20〕(本小题共13分)设集合，对于，记且，由所有组成的集合设为．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕设集合，对任意，试求；〔Ⅲ〕设，试求的概率．〔考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效〕

崇文区2021－2021学年度第二学期统一练习〔二〕 高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2021.5一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕题号〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答案ABDBBCDA二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕〔10〕〔11〕；〔12〕；〔13〕①，③〔14〕三、解答题〔本大题共6小题，共80分〕〔15〕〔共12分〕解：〔Ⅰ〕由得：．∵为锐角∴．∴．∴．--------------------6分〔Ⅱ〕∵∴．为锐角，∴，∴．-----------12分〔16〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕如图，以为原点建立空间直角坐标系．那么，，，，EOC1D1CBEOC1D1CB1A1BAD，又与交于点，∴平面．------------4分〔Ⅱ〕设与所成的角为．，，．∴，．∴．所求异面直线与所成角的余弦值为．---------------9分〔Ⅲ〕设平面与直线所成的角为．设平面的法向量为．，，，，．令，那么．．所求平面与直线所成角的正弦值为．--------------------14分〔17〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，故共有〔种〕．〔Ⅱ〕三名学生选择三门不同选修课程的概率为：．∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：．〔Ⅲ〕由题意：．；；；．的分布列为数学期望=．----------------13分〔18〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕依题意，知的定义域为.当时，，．令，解得.当变化时，与的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减由上表知：当时，；当时，.故当时，取得极大值为.-------------------5分〔Ⅱ〕假设，令，解得：；令，解得：.假设，①当时，令，解得：；令，解得：或.②当时，，③当时，令，解得：；令，解得：或.综上，当时，的增区间为，减区间为；当时，的增区间为，减区间为，；当时，的减区间为,无增区间；当时，的增区间为，减区间为，.-------------14分〔19〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕〔ⅰ〕∵圆过椭圆的焦点，圆：，∴，∴，∴，∴．〔ⅱ〕由及圆的性质，可得，∴∴∴，．----------------6分〔Ⅱ〕设，那么整理得∴方程为：，方程为：．∴，∴,直线方程为，即．令，得，令，得，∴，∴为定值，定值是．----------------14分〔20〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕由题意知，，，首先考虑中的二元子集有，共1