2022-2023学年苏教版高一数学新教材教学讲义7.2.3 三角函数的诱导公式解析

文档来源网络侵权删除7．2．3三角函数的诱导公式【知识点梳理】知识点一：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题题型二：利用诱导公式求解给值求值问题题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用题型五：诱导公式的综合应用题型六：利用互余互补关系求值【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题例1．（2022·全国·高一专题练习）______．【答案】【解析】.故答案为:.例2．（2022·全国·高一）______．【答案】【解析】.故答案为：.例3．（2022·西藏拉萨·高一期末）（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】.故选：B变式1．（2022·全国·高一课时练习）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.变式2．（2022·全国·高一课时练习）的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.变式3．（2022·广西桂林·高一期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D变式4．（2022·云南昆明·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B．【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．题型二：利用诱导公式求解给值求值问题例4．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知，若是第二象限角，则的值为（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以，所以．故选：C.例5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）若且是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，又由为第二象限角，所以．故选：B.例6．（2022·广东·饶平县第二中学高一阶段练习）设，若则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.变式5．（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，平方得，，因为A为三角形的一个内角，所以，，所以，，所以，结合，可得，，所以.故选：A.变式6．（2022·全国·高一课时练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.故选：A.变式7．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A变式8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由诱导公式得：，所以.则.故选：D变式9．（2022·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以；故选：A【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知.(1)化简；(2)若是第四象限角，且，求的值.【解析】(1)根据诱导公式可得：,所以.(2)由诱导公式可知,则由可得,

又是第四象限角,所以,

所以.例8．（2022·陕西渭南·高一期末）（1）计算的值；（2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值.【解析】（1）原式；（2）因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，所以，则.例9．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，且.(1)求的值；(2)求'的值.【解析】(1)因为，故，即，且，则为第三象限角，故，因此，.(2)原式.变式10．（2022·广西梧州·高一期末）已知，且为第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【解析】(1)由，得．因为为第二象限角，所以，故．(2)变式11．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）已知，且在第三象限，(1)和(2).【解析】（1）已知，且在第三象限，所以，（2）原式【方法技巧与总结】三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成，，的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（2022·全国·高一专题练习）求证：．【解析】左边==–tanα=右边，∴等式成立．例11．（2022·全国·高一课时练习）求证：＝．【解析】左边.右边.∴左边＝右边，故原等式成立．例12．（2022·全国·高一课时练习）证明：，．【解析】证明：当n为偶数时，令，，左边．右边，∴左边=右边．当n为奇数时，令，，左边．右边，∴左边=右边．综上所述，，成立．变式12．（2022·全国·高一专题练习）求证：=.【解析】左边===，右边===，所以等式成立.变式13．（2022·全国·高一课时练习）设.求证：.【解析】证明：左边把代入，得原式右边，故原等式成立.【方法技巧与总结】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）若，则__________．【答案】0【解析】，故答案为：0.例14．（2022·全国·高一课时练习）已知是第四象限角，且，则___________.【答案】【解析】由题设，，.故答案为：例15．（2022·全国·高一课时练习）若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意得，，由诱导公式知，显然满足题意，解得.故答案为：（答案不唯一）.变式14．（2022·江苏省如皋中学高一期末）的值为__________．【答案】1【解析】原式＝．故答案为：1．变式15．（2022·全国·高一课时练习）已知，求的值.【解析】因为，所以.变式16．（2022·全国·高一课时练习）(1)设,求使成立的整数k应满足的条件;(2)对于怎样的整数n,能由推出?【解析】(1)要使成立,必须且只需使,即满足条件的整数.(2),故使成立的整数为.变式17．（2022·河南驻马店·高一期中（理））（1）求值：（2）已知，求的值．【解析】（1）原式.（2）∵，∴，∴.变式18．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知，且函数．(1)化简；(2)若，求和的值．【解析】(1)．(2)由，平方可得，即．∴．又，∴，，∴，∵，∴．变式19．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数．(1)求；(2)若，求的值．【解析】(1)，．(2)由得，，所以．【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知，则________．【答案】【解析】由，，所以原式.故答案为：例17．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知，则的值是___________.【答案】【解析】因为，故，故答案为：例18．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知，则__________．【答案】【解析】由.故答案为：变式20．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.【答案】－【解析】因为，所以.故答案为：变式21．（2022·江西省万载中学高一期中）若，则的值为_____.【答案】【解析】由，则，故答案为：.变式22．（2022·全国·高一课时练习）当时，若，则的值为_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．故答案为：变式23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案为：0.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等．【同步练习】一、单选题1．（2022·北京昌平·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则cos()=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，故选：A3．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：C.4．（2022·浙江温州·高一期末）如图，在Rt中，点是斜边的中点，点在边上，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，点是斜边的中点，设，则，由勾股定理得：，因为在Rt中，，所以，而，因为，所以，解得：或（舍去），所以故选：C5．（2022·河南驻马店·高一期中（文））若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，．故选：A．6．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，故选：C7．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知角终边上一点P的坐标为，则角的一个可能值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，因此是第四象限角，，因此，所以，只有B符合．故选：B．8．（2022·全国·高一课时练习）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，∴.故选：D.二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，若角与角的始边均与轴的非负半轴重合，终边关于轴对称，则下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】不妨令，，由题意知或，∴，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确，故选：BD10．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）在△ABC中，下列关系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A中，由，所以A正确；对于B中由，所以B正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，，所以D错误．故选：ABC.11．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则以下结论恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】函数，因为，所以选项A正确，选项B错误；因为，所以选项C正确；因为，，所以选项D错误.故选：AC.12．（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，点，，，则下列说法正确的是（

）A．线段与的长均为1 B．线段的长为1C．当时，点，关于轴对称 D．当时，点，关于轴对称【答案】ACD【解析】由勾股定理可得，同理可得，故A正确；由题意得，由勾股定理得，故B错误；当时，即，即，点，关于轴对称，故C正确；当时，，即，即，故点，关于轴对称，故D正确.故选:ACD.三、填空题13．（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）已知钝角终边上一点的坐标为，则________.【答案】【解析】因为，又因为角为钝角，所以.故答案为：14．（2022·全国·高一课时练习）若，且，则_____.【答案】【解析】因为，所以即，∴解得或（舍去）．，，因此．故答案为：15．（2022·辽宁沈阳·高一期末）已知角的终边上的一点，则的值为___________.【答案】【解析】因为角的终边上的一点，所以，所以.故答案为：.16．（2022·安徽合肥·高一期末）在平面直角坐标系中，已