数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第76课特征值与特征向量

第76课特征值与特征向量【自主学习】第76课特征值与特征向量(本课时对应同学用书第196~198页)自主学习回归教材1.(选修42P72习题1改编)设A为二阶矩阵，A=3，A=2，求矩阵A的特征值.【解答】由特征值与特征向量的定义即可得到λ1=2，λ2=3.2.(选修42P72习题2改编)设矩阵A=，求矩阵A的特征向量.【解答】f(λ)==λ21=0，得λ1=1，λ2=1，对应的一个特征向量分别为α1=，α2=.3.(选修42P72习题1改编)矩阵M=，求矩阵M的特征向量.【解答】矩阵M的特征多项式为f(λ)==(λ2)(λ1)6，令f(λ)=0，得矩阵M的特征值为λ1=4，λ2=1.将λ1=4代入二元一次方程组解得x=y，不妨设x=3k，k∈R，且k≠0，于是矩阵M属于特征值4的一个特征向量为.将λ2=1代入二元一次方程组解得x=y，不妨设x=m，m∈R，且m≠0，于是矩阵M属于特征值1的一个特征向量为.因此矩阵M的特征值为4和1，对应的一个特征向量分别为，.4.(选修42P72习题3改编)矩阵M=，向量α=，求M3α.【解答】f(λ)=(λ+1)(λ3)5，令f(λ)=0，得λ1=4，λ2=2.λ1=4对应的一个特征向量α1为，λ2=2对应的一个特征向量α2为.由于α1与α2不共线，又α==3+=3α1+α2，所以M3α=M3(3α1+α2)=3M3α1+M3α2=3α1+α2=3×43+(2)3×==.5.(选修41P67例1改编)矩阵A=，其中a∈R，假设点P(1，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P1(0，3)，求实数a的值及矩阵A的特征值和特征向量.【解答】由=，得a=4，令f(λ)=(λ1)·(λ1)4=0，得λ=1或3.当λ=1时对应的一个特征向量为，当λ=3时对应的一个特征向量为.1.设A是一个二阶矩阵，假如对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.留意，特征值与特征向量肯定要强调它们的对应关系，一个特征值对应的特征向量并不唯一，它有无穷多个特征向量.2.设A=是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)==λ2(a+d)λ+adbc称为A的特征多项式.假设λ是f(λ)=0的一个根，那么λ是A的一个特征值，用这种方法可以把A的特征值全部求出来.3.求特征向量和特征值的步骤：(1)f(λ)==0；(2)解(λa)xby=0；(3)取x=1或y=1，写出相应的向量.【要点导学】要点导学各个击破求矩阵的特征值和特征向量例1矩阵A=，求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2.【思维引导】依据矩阵的特征值与特征向量的概念，直接计算即可，需要留意的是，矩阵的特征向量不唯一.假设α为一个矩阵的特征向量，那么tα(t∈R，t≠0)也为该矩阵的特征向量.【解答】设A的一个特征值为λ，由题意知f(λ)==0，那么(λ2)(λ3)=0，解得λ1=2，λ2=3.当λ1=2时，由=2，得矩阵A属于特征值2的一个特征向量α1=；当λ2=3时，由=3，得矩阵A属于特征值3的一个特征向量α2=.【精要点评】计算矩阵M=的特征值和特征向量的步骤如下：(1)由矩阵M得到特征多项式f(λ)=；(2)求特征多项式的根，即求f(λ)=λ2(a+d)λ+(adbc)=0的根；(3)将特征多项式的根，即特征值代入特征方程组求得非零解对应的向量，即矩阵M对应的特征向量.变式(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)设是矩阵M=的一个特征向量，求实数a的值.【解答】设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，那么=λ，故解得故实数a的值为1.例2(2015·江苏卷)x，y∈R，向量α=是矩阵A=的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.【思维引导】由矩阵特征值与特征向量可列出关于x，y的方程组，再依据特征多项式求出矩阵的另一个特征值.【解答】由得Aα=2α，即==，那么即所以矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.变式(2015·南京调研)矩阵A=的属于特征值λ的一个特征向量为α=.(1)求实数b，λ的值；(2)假设曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C'：x2+2y2=2，求曲线C的方程.【解答】(1)由于矩阵A=属于特征值λ的一个特征向量为α=，所以=λ，即=，从而解得b=0，λ=2.(2)由(1)知A=.设曲线C上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下变为曲线C'上一点P(x0，y0)，那么==，从而由于点P在曲线C'上，所以+2=2，即(2x)2+2(x+3y)2=2，从而3x2+6xy+9y2=1，所以曲线C的方程为3x2+6xy+9y2=1.特征值及特征向量的应用例3(2014·苏州、无锡、常州、镇江、连云港、徐州二调)矩阵M=，β=，计算M6β.【思维引导】首先求出矩阵M的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2，然后用特征向量线性表示向量，再利用Mnβ=mα1+nα2进行计算.【解答】矩阵M的特征多项式为f(λ)==λ22λ3.令f(λ)=0，解得λ1=3，λ2=1，对应的一个特征向量分别为α1=，α2=.令β=mα1+nα2，得m=4，n=3.M6β=M6(4α13α2)=4(M6α1)3(M6α2)=4×363×(1)6=.【精要点评】求Mnβ的一般步骤：(1)求Mα=λα，即M的特征值λ和特征向量α；(2)用特征向量α1，α2线性表示向量β=，即β=mα1+nα2，m，n是常数，但一般不是λ1，λ2；(3)代入Mβ=M(mα1+nα2)=mMα1+nMα2，由于Mα1=λ1α1，Mα2=λ2α2，mMα1+nMα2=mλ1α1+nλ2α2，因此Mnβ=mα1+nα2.变式矩阵A=，向量α=.(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)计算A5α的值.【解答】(1)由于|A|==6≠0，故A1==.(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ25λ+6，由f(λ)=0，解得λ1=2，λ2=3.当λ1=2时，解得对应的一个特征向量α1=；当λ2=3时，解得对应的一个特征向量α2=.设α=mα1+nα2，得解得m=3，n=1，那么A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(α1)+α2=3×25+35=.1.(2015·常州期末)矩阵M=满意Mαi=λiαi，其中λi(i=1，2)是互不相等的实常数，αi(i=1，2)是非零的平面列向量，λ1=1，α2=，求矩阵M.【解答】由题意知λ1，λ2是方程f(λ)==λ2ab=0的两个实数根.由于λ1=1，所以ab=1.又Mα2=λ2α2，所以=λ2，从而所以=ab=1.由于λ1≠λ2，所以λ2=1，从而a=b=1，故矩阵M=.2.求矩阵M=的特征值和特征向量，并计算M8的值.【解答】矩阵M的特征多项式f(λ)=(λ1)(λ+1).令f(λ)=0，得λ1=1，λ2=1.矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为α1=，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为α2=.又=2α1+3α2，所以M8=M8(2α1+3α2)=2(M8α1)+3(M8α2)=2+3×(1)8=.3.(2016·苏州一模)二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成点(9，15)，求矩阵M.【解答】设M=，那么=3=，故=，故联立以上两方程组，解得a=1，b=4，c=3，d=6，故M=.4.(2014·淮安、宿迁摸底)矩阵A=，假设矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=，属于特征值1的一个特征向量为α2=.求矩阵A，并写出A的逆矩阵.【解答】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=，可得=6，即c+d=6.①由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=，可得=，即3c2d=2.②联立方程①②解得即A=，故A1=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第151~152页.【检测与评估】第76课特征值与特征向量1．(2015·南京、盐城、徐州二模)矩阵A=，A的逆矩阵A1=.(1)求a，b的值；(2)求矩阵A的特征值.2．(2015·盐城三模)假设矩阵M=属于特征值3的一个特征向量为α=，求矩阵M的逆矩阵M1．3．(2014·南京、盐城二模)矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α=.(1)求矩阵A；(2)假设A=，求x，y的值.4．矩阵A的逆矩阵A1=.(1)求矩阵A；(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.5．二阶矩阵A=，矩阵A属于特征值λ1=1的一个特征向量为α1=.(1)求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2)假设向量M=，求A4M.6．二阶矩阵M属于特征值λ=5的一个特征向量是e=，且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换为点(2，4)，求矩阵M.7．(2015·宿迁一模)二阶矩阵A属于特征值λ1=1的一个特征向量为e1=，属于特征值λ2=2的一个特征向量为e2=，试求矩阵A.8．矩阵M=，β=，试计算M9β.【检测与评估答案】第76课特征值与特征向量1．(1)由于AA1===，所以解得(2)由(1)得A=，那么矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ3)(λ1).令f(λ)=0，解得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=3．2．由题意得=3，解得所以M=.设M1=，那么MM1==，解得x=，y=，z=，w=，即M1=.3．(1)由题意得=2，即解得a=2，b=4，所以A=.(2)方法一：由于A=，即=，所以解得方法二：由(1)知A=，所以A1=.由于A=，所以=A1=·=，所以4．(1)设矩阵A=.由AA1=E，得=，所以解得所以A=.(2)矩阵A1的特征多项式为f(λ)==λ24λ+3=(λ1)(λ3).令f(λ)=0，得矩阵A1的特征值为λ1=1，λ2=3．所以ξ1=是矩阵A1的属于特征值λ1=1的一个特征向量；ξ2=是矩阵A1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.5．(1)由题意得=1×，所以=，所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ2)(λ1)6．令f(λ)=0，解得λ1=1，λ2=4，所以特征值λ2=4对应的一个特征向量为α2=.(2)M==2，所以A4M=2A4A4=2×(1)444=44=.6．设M=.依题意得=，且=，所以解