《高等数学》教案 03 格林公式及其应用_第1页
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第三节格林公式及其应用内容分布图示★区域的连通性 ★格林公式★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5★利用格林公式计算平面图形的面积★例6 ★例7★关于曲线积分的几个等价命题★二元函数的全微分求积★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★例14 ★例15★内容小结 ★课堂练习★习题10—3 ★返回讲解注意：一、格林公式定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有(3.1)其中L是D的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令得，上式左端是闭区域D的面积的两倍，因此有二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2设开区域是一个单连通域，函数及在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1）曲线积分在内与路径无关；（2）表达式为某二元函数的全微分；（3）在内恒成立；（4）对内任一闭曲线，.由定理的证明过程可见，若函数，满足定理的条件，则二元函数(3.3)满足，我们称为表达式的原函数.或例题选讲：例1（讲义例1）求，其中为圆周依逆时针方向（图10-3-5）例2计算其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.例3（讲义例2）求，其中为由点到点的上半圆周（图10-3-6）.例4计算其中是以为顶点的三角形闭区域.注：本例中，我们通过添加一段简单的辅助曲线，使它与所给曲线构成一封闭曲线，然后利用格林公式把所求曲线积分化为二重积分来计算.在利用格林公式计算曲线积分时，这是常用的一种方法.例5（讲义例3）计算其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例6（讲义例4）求椭圆，所围成图形的面积.例7计算抛物线与轴所围成的面积.例8计算其中为由点到点的曲线弧平面曲线积分与路径无关的定义与条件例9（讲义例5）计算其中L为如图10-3-11所示的圆弧段例10（讲义例6）计算积分沿不通过坐标原点的路径.例11试求常数,使与路径无关,并求的值.验证:在整个面内,是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.例13（讲义例7）设函数在平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意t,总有求例14（讲义例8）设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算例15选取使表达式为某一函数的全微分,并求出这个函数.课堂练习1.计算

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