基本不等式（林国炜比赛）

3.4基本不等式：*112

数学家们为了数学交流、展示、研讨数学的发展,会见老朋、结交新朋友的国际性会议。会议组织的大会报告,一般被认为代表了近期数学科学中最重大的成果与进展。3

每次大会的开幕式都同时举行菲尔茨数学奖颁奖仪式InternationalCongressofMathematicians(ICM)

国际数学家大会由国际数学联盟（ＩＭＵ）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次。除两次世界大战期间外，未曾中断过。它是最高水平的全球性数学科学学术会议。1丘成桐2陶哲轩3陈省身菲尔兹奖（FieldsMedal，全名TheInternationalMedalsforOutstandingDiscoveriesinMathematics）是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。它每四年颁奖一次，颁给二至四名有卓越贡献的年轻数学家。

得奖者须在该年元旦前未满四十岁。我拿的是“沃尔夫”数学奖，虽然我在微分几何上是泰斗菲尔兹奖拿了沃尔夫奖拿了！哥读书早

中间那个小兄弟14岁进大学，16岁拿到理学学位，17岁拿到硕士学位，21岁博士学位关键我还帅第一个是我徒弟，17岁进大学，22岁拿博士学位2002年国际数学家大会会标三国时期吴国数学家赵爽*4*5思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，问3：S与S’有什么样的大小关系？从图形中易得，s>s’,即探究1ab*6探究2问题：s,S’有相等的情况吗？何时相等？

图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

形的角度数的角度a2+b2－2ab

=(a－b)2=0∴a=b*7结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有

当且仅当a=b时，等号成立此不等式称为重要不等式探究3问题：当a,b为任意实数时，成立吗？*8

类比联想推理论证

（特别的）如果

a＞0,b＞0,

当且仅当a=b时“＝”号成立

此不等式称为基本不等式也可写成*9算术平均数几何平均数*10

以上的不等式是我们从几何图形中的面积关系得出的，能否利用不等式的性质直接推导出来呢？证明:要证只要证

①

②要证②，只要证

③

要证③，只要证（－

)

④显然:

是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.探究３*11基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。*12

如果把看作是正数a、b的等差中项，把看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

基本不等式代数意义

为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.*13oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?*14oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?*15*探究例1．(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园,问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?解:(1)设矩形菜园的长为,宽为,则,篱笆的长为.

*17由因此,这个矩形的长和宽都是10m时,所用的篱笆最短,最短为40m等号当且仅当时成立,此时得即结论1.两个正数积为定值，则和有最小值例一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2x+2y=36,即x+y=18，矩形菜园的面积为xym2当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。因此，这个矩形的长为9m、宽为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2。结论2：两个正数和为定值，则积有最大值.*18最值定理：若x、y皆为正数，则（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，

x+y有最小值_______.注意：①各项皆为正数；