高中数学人教B版必修一学案第三单元疑难规律方法

1指数与指数运算疑点透析一、如何理解n次方根的概念假设一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝eq\r(n,a)吗？这个答复是不完整的．正确表示应如下：x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)，n为奇数，,±\r(n,a)，n为偶数，a＞0，,不存在，n为偶数，a＜0，,0，a＝0，))主要性质有：①当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；②当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))二、如何理解分数指数幂的意义分数指数幂不行以理解为eq\f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新的写法．规定＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的详细数而定．三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂，都可以利用有理指数幂的运算性质进行运算．其运算形式为ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r、s∈Q，对于这三条性质，不要求证明，但需记准．不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表示的是根式．四、指数幂的运算在这里要留意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1化简解原式例2求的值．解原式＝＝(3)＝3＝3＝3eq\r(6,3).例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应当把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.2解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习把握．难点之一：概念指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.以上是指数函数的个数是________．分析依据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查，推断是否满意指数函数的定义．解析对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的选项是③，只有③符合指数函数的定义．答案1难点之二：争论指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．例2函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，求a的值．分析遇究竟数是参数时，应优先分类争论，此题应先对a进行分类争论，再列出方程并求出a.解当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(3a,2)，所以a＝eq\f(3,2)；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题意得a－a2＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(a,2)，所以a＝eq\f(1,2).综上可知，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).难点之三：复合指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特殊是争论单调性时，应把握好“同增异减〞法那么．例3求函数y＝(eq\f(1,3))的单调递减区间．分析指数函数与指数型复合函数的区分在于，指数自变量是x还是x的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减〞法那么求解．解由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)，那么y＝(eq\f(1,3))eq\r(u)，当x∈[－1，eq\f(1,2)]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为[－1，eq\f(1,2)]．难点之四：图象指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排．当0＜a＜1时恰好相反．例4利用指数函数的图象比拟－与－的大小．分析可在同一坐标系中作出y＝x及y＝x的图象，从图象中得出结果．解如下图，作出y＝x、y＝x及x＝－的图象，易知－＜－.评注图象应记忆精确?????，在其次象限中靠近y轴的函数应是y＝x，而不是y＝x，这一点应留意．3对数与对数运算学习讲解1．对数的定义一般地，假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．解读：(1)由对数定义可以知道，当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN，也就是说指数式与对数式实际上是表示a、N之间的同一种关系的两种形式，因此可以相互转化；(2)依据对数定义可以知道，alogaN＝N，即a的logaN次方等于N，对数恒等式也是化简或计算的重要公式．2．对数的性质(1)零和负数没有对数．由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N总是正数；(2)1的对数为0.由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以loga1＝0；(3)底数的对数等于1.由于a1＝a对于任何非零实数都成立，所以logaa＝1.3．对数的运算性质假设a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)logaMn＝nlogaM，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中．例1将以下对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log3eq\f(1,27)＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝eq\f(1,27)；(2)25＝32；(3)log6216＝3；(4)log10＝－3，也可写成＝－3.评注此题考查了对数式与指数式的互化．解题所用学问都是依据对数的定义，要留意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数．例2求以下各式的值：(1)3log72－log79＋2log7eq\f(3,2\r(2))；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7(eq\f(3,2\r(2)))2＝log7eq\f(23×\f(3,2\r(2))2,9)＝log71＝0；(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝3.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，表达了利用对数运算的优越性．4换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，盼望对同学们的学习能有所关心．一、换底公式及证明换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab).证明设logbN＝x，那么bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.∴x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).二、换底公式的应用举例1．乘积型例1(1)计算：log89·log2732；(2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．解(1)换为常用对数，得log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,3)＝eq\f(10,9).(2)由换底公式，得logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝logad.评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．2．知值求值型例2log1227＝a，求log616的值．分析此题可选择以3为底进行求解．解log1227＝eq\f(log327,log312)＝a，解得log32＝eq\f(3－a,2a).故log616＝eq\f(log316,log36)＝eq\f(4log32,1＋log32)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．3．综合型例3设A＝eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)，B＝eq\f(1,log2π)＋eq\f(1,log5π)，试比拟A与B的大小．分析此题可选择以19及π为底进行解题．解A换成以19为底，B换成以π为底，那么有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.评注一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝eq\f(1,logba).5精析对数函数一、对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．由对数的定义简洁知道对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．假设对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．二、对数函数的图象和性质1．对数函数性质的记忆与运用的考前须知(1)数形结合——利用图象记忆性质．x＝1是“分水岭〞；(2)函数的单调性打算于底数a大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的概念、图象、性质，既有亲密的联系又有本质的区分．2．对数函数图象分布规律如下图，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x＝1的右边区域，在x轴上方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越大，且底数均大于1；在x轴下方，对数函数的图象越靠近x轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a，b，c，d的大小关系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在详细解题时，还可利用特殊值法．例1函数y＝log(x－1)(4－x)的定义域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,x－1≠1，,4－x＞0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,x≠2，,x＜4，))所以函数的定义域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．答案{x|1＜x＜4，且x≠2}评注函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的集合，假设消失对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如下图，那么a、b、c、d与正整数1的大小挨次是()A．1＜d＜c＜a＜b B．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b解析作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.答案B评注利用特殊值的方法解决有关对数函数的图象问题，可减轻记忆的负担，使问题得到快速的解决．

6对数函数中化难为易三策略对数函数是最重要的一类初等函数，解对数函数问题时常因方法不当或没有充分挖掘隐含条件而导致错误．这主要是由于对数函数的制约条件简单，参变量的潜在约束比拟隐晦，因此在解题时，不易理清思路，抓不住关键，往往半途而废．下面从三个方面谈谈对数函数学习中化难为易的求解策略，盼望能对同学们的学习有所关心．一、数形结合策略例1假设不等式2x－logax＜0在x∈(0，eq\f(1,2))时恒成立，求实数a的取值范围．解要使不等式2x＜logax在x∈(0，eq\f(1,2))时恒成立，即函数y＝logax的图象在(0，eq\f(1,2))内恒在函数y＝2x的图象上方，如下图．而y＝2x的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，即需logaeq\f(1,2)≥eq\r(2)，明显这里0＜a＜1，那么函数y＝logax递减．又由于logaeq\f(1,2)≥eq\r(2)＝logaaeq\r(2)，所以aeq\r(2)≥eq\f(1,2)，即a≥(eq\f(1,2)).故所求a的取值范围为评注数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的熟识、数形结合的转化，可以培育思维的敏捷性、形象性，使问题化难为易．二、合理换元策略例2设y＝log[a2x＋2(ab)x－b2x＋1]，a，b∈(0，＋∞)，求使y为负值的x的取值范围．解∵0＜eq\f(1,2)＜1，y＜0，∴由对数函数的性质知a2x＋2(ab)x－b2x＋1＞1，即a2x＋2(ab)x－b2x＞0.①把①式两边同时除以b2x，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2x＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x－1＞0，②令eq\f(a,b)＝t，那么②式可化为t2x＋2tx－1＞0，解得tx＞eq\r(2)－1或tx＜－eq\r(2)－1(舍去)，再给两边取以t为底的对数，但需分t＞1，t＝1,0＜t＜1三种状况进行争论．当t＞1，即a＞b＞0时，x＞log(eq\r(2)－1)；当t＝1，即a＝b＞0时，x∈R；当0＜t＜1，即0＜a＜b时，x＜log(eq\r(2)－1)．评注对某些对数函数问题，奇妙地进行变量代换，可使问题转化为一次或二次函数等常规函数问题来解，往往能化难为易．三、别离参数策略例3设f(x)＝lgeq\f(1＋2x＋…＋n－1x＋nxa,n)，其中a∈R，n是任意给定的自然数，且n≥2，假如f(x)在(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．解由f(x)有意义，得1＋2x＋…＋(n－1)x＋nxa＞0，x∈(－∞，1]，n≥2，把上式看作关于a的不等式，解得a＞－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))x＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))x))，令g(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))x＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))x))，∵y＝－(eq\f(m,n))x(m＝1,2，…，n－1)在(－∞，1]上是增函数，∴g(x)在(－∞，1]上也是增函数，故有g(x)≤g(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)＋\f(2,n)＋…＋\f(n－1,n)))＝－eq\f(n－1,2)，即[g(x)]max＝－eq\f(n－1,2)，故a＞eq\f(1－n,2)，∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－n,2)，＋∞)).评注有些数学问题构思新奇，同时有其实际背景，按固有的思维习惯，把留意力集中在某些醒目的“主元〞上，往往陷入逆境．假如打破思维定势，反“客〞为“主〞，把原来处于相对次要地位的“客元〞突显出来，经常能收到出人意料的效果．当一个题目中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，逐步削减参数，使问题获解．7巧解指数、对数函数综合题指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0＜a＜1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指、对函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．一、共享底数对数式与指数式互化，其底数全都，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．例1方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.解析将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝eq\f(1,3)，故x＝－1.答案－1二、亮出底数在有些指数、对数函数问题，特殊是图象问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，依据函数的单调性，就可解决．例2当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝logax的图象的是()解析由a＞1时，有0＜eq\f(1,a)＜1，那么指数函数y＝a－x＝(eq\f(1,a))x在R上是减函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，故排解B、C、D.答案A三、变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．例3假设loga2＜logb2＜0，那么()A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1解析化为同底，有eq\f(1,log2a)＜eq\f(1,log2b)＜0，从而log2b＜log2a＜0，即log2b＜log2a＜log21.∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜b＜a＜1.答案B四、争论底数当底数不定时，常分0＜a＜1与a＞1两种状况进行争论．例4函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，那么a＝________.解析由题意知，a＞0，且a≠1.①当a＞1时，有a1－a0＝5，即a＝6；②当0＜a＜1时，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．综上知，a＝6.答案6五、消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来肯定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．例5设0＜x＜1，a＞0且a≠1.试比拟loga(1－x)与loga(1＋x)的大小．解作商eq\f(loga1－x,loga1＋x)＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.∴loga(1－x)＞loga(1＋x).8三种数学思想在幂函数中的应用一、分类争论的思想例1假设(a＋1)－eq\f(1,3)<(3－2a)－eq\f(1,3)，试求a的取值范围．分析利用函数y＝x－eq\f(1,3)的图象及单调性解题，留意依据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．解分类争论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0，))解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).评注考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，此题是依据a＋1,3－2a是否在同一单调区间去分类．用分类争论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．二、数形结合的思想例2x2>xeq\f(1,3)，求x的取值范围．解x2与xeq\f(1,3)有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα(其中α＝2，eq\f(1,3))，所以同一坐标系内作出它们的图象比拟函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如下图，可得x的取值范围是x<0或x>1.评注数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使简单的问题一目了然．三、转化的数学思想例3指出函数f(x)＝eq\f(x2＋4x＋5,x2＋4x＋4)的单调区间，并比拟f(－π)与f(－eq\f(\r(2),2))的大小．解由于f(x)＝eq\f(x2＋4x＋4＋1,x2＋4x＋4)＝1＋eq\f(1,x＋22)＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如下图．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又由于－2－(－π)＝π－2，－eq\f(\r(2),2)－(－2)＝2－eq\f(\r(2),2)，所以π－2<2－eq\f(\r(2),2)，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－eq\f(\r(2),2))．评注通过化简、变形等，可将简单的、不熟识的函数转化为简洁的、熟识的函数形式，进而运用其性质来解题．9函数应用问题“讲〞与“练〞讲解一求函数模型例1某地方政府为爱护地方电子工业开展，打算对某一进口电子产品征收附加税．这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，假设政府增加附加税率为每百元收t元时，那么每年销售量将削减eq\f(8,5)t(t＞0)万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．解设每年销售量为x万件，那么每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·eq\f(t,100)＝eq\f(5,2)tx.依题意，知x＝40－eq\f(8,5)t＞0，即t＜25.故所求的函数关系式为y＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(8,5)t))t＝－4t2＋100t(0＜t＜25)．评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要留意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．练习1将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，这种商品每个涨价1元时，其销售量就削减15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式．答案y＝－15x2＋50x＋15000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(100,3)))讲解二函数模型的选用例2某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植本钱Q(万元)与上市时间t(天)的关系如下表所示：种植本钱Q(万元)150100上市时间t(天)50150模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．种植本钱Q＝万元时，上市时间t＝200天，那么用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．分析依据题目给定的两组Q，t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a，b，k，m.解设f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b为常数，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．由，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f50＝150，,f150＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g50＝150，,g150＝100.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a50－1502＋b＝150，,a150－1502＋b＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100.)