2023年高考数学一轮复习（学生版）：14-5　古典概型与几何概型

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸§14.5古典概型与几何概型(对应答案分册第54页)1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.(3)如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A包括的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=m3.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数4.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.5.几何概型的概率公式P(A)=构成事件A(1)对古典概型的理解①一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关键.②古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型.(2)在几何概型中,如果A是确定事件,①若A是不可能事件,则P(A)=0肯定成立;若随机事件所在的区域是一个单点,由于单点的长度、面积和体积都是0,则它出现的概率为0,显然它不是不可能事件,因此由P(A)=0不能推出A是不可能事件.②若A是必然事件,则P(A)=1肯定成立;若随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点,则它出现的概率是1,但它不是必然事件,因此由P(A)=1不能推出A是必然事件.【概念辨析】1.判断下列结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的,其基本事件个数都有限.()(3)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事件是等可能事件.()(4)在古典概型中,若事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,则事件A的概率为card(A)card(【对接教材】2.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为.

3.设不等式组0≤x≤2,0≤y≤2表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点【易错自纠】4.掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B−发生的概率为5.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为56,则m=古典概型的概率计算【典例迁移】(1)(2021年全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为().A.13 B.25 C.23 (2)(2022·山西月考)若10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.

(3)(2022·山东济南模拟)2020年,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情,众志成城克时难,社会各界支援湖北,共抗新型冠状病毒性肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A,B,C三个城市支援,若要求每个城市至少安排1名医生,则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为.

点拨古典概型中基本事件个数的探求方法(1)枚举法:适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题,注意在确定基本事件时(x,y)可看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同,有时也可看成是无序的,如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法:在求一些较复杂的基本事件个数时,可利用排列或组合的知识.【追踪训练1】为培养学生的综合素养,某校在高二年级开设了A,B,C,D四门选修课,并规定每位学生必须从这四门课中选修一门,则甲、乙、丙3名同学所选课程互不相同的概率为().A.38 B.827 C.116 古典概型与其他知识的综合问题【题组过关】1.(2022·安徽合肥高三质检)从幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1中任意选取两个函数,其中一个函数是奇函数,则另一个函数是增函数的概率为(A.310B.25C.352.(2022·陕西西安期末)在区间[-3,3]上随机取一个整数使得ln(x+2)-ln5<0成立的概率为().A.37 B.47 C.67 3.(2022·重庆第五次月考)斐波那契数列又称黄金分割数列,因为数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子引入,故又称为“兔子数列”.在数学上斐波那契数列被以下递推方法定义:数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*).现从该数列的前10项中随机地抽取一项,则该数除以3余数为1的概率为().A.18 B.14 C.38 点拨求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤如下:(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;(2)判断事件是否为古典概型;(3)选用合适的方法确定基本事件个数;(4)代入古典概型的概率公式求解.几何概型【考向变换】考向1与长度(角度)有关的几何概型已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[-1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为.

点拨与长度、角度有关的几何概型的求法:解答关于长度、角度的几何概型问题,只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度,即可利用几何概型的概率计算公式求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).【追踪训练2】(1)从区间[-2,2]中随机选取一个实数a,则函数f(x)=4x-a·2x+1+1有零点的概率是().A.14 B.13 C.12 (2)如图,扇形AOB的圆心角为120°,点P在弦AB上,且AP=13AB,延长OP交弧AB于点C,现向扇形AOB内投一点,则该点落在扇形AOC内的概率为考向2与面积有关的几何概型(2022·陕西西安仿真模拟)已知a,b是区间[0,4]上的任意实数,则函数f(x)=ax2-bx+1在[2,+∞)上单调递增的概率为().A.18 B.38 C.58 点拨求与面积有关的几何概型的概率的方法:(1)确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型;(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率计算公式求解.【追踪训练3】(2022·江西八校联考)小华爱好玩飞镖,现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形,若O点正好是正方形ABCD的中心,而正方形OPQR可以绕点O旋转,则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是().A.13 B.14 C.19 考向3与体积有关的几何概型(2022·陕西咸阳高三模拟)已知一只小飞虫在一个长、宽、高分别为4,5,6的长方体容器内任意飞行,若小飞虫离所有顶点距离均大于1,称小飞虫为“安全飞行”,则小飞虫“安全飞行”的概率是().A.π180 B.C.1-π180 D.1-点拨与体积有关的几何概型的求法:对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解.【追踪训练4】一个多面体的直观图和三视图如图所示,M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为.

古典概型与数学文化的交汇问题数学文化是一种命题的载体,命题者常常从《九章算术》等中国古代数学名著中挖掘素材,如古典概型中的数学文化.(2022·江苏联考)《周髀算经》中给出了冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为10.5尺和4.5尺,现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计,则所选取的2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为().A.37 B.47 C.1321 概率与古典概型的结合问题,要先读懂题意,然后利用排列组合求出总的基本事件