高中数学北师大版选修11讲义第一章2充分条件与必要条件

§2充分条件与必要条件eq\a\vs4\al([对应同学用书P5])充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争吵不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．设：A：洛孝主动归还所拾银两．B：洛孝无赖银之情．C：洛孝拾到30两银子，失主丧失50两银子．D：洛孝所拾银子不是失主所丢．问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件．问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件．充分条件和必要条件假如“假设p，那么q〞形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件：p：前年在里约热内卢进行第31届夏季奥运会．q：前年是2016年．问题1：“假设p，那么q〞为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“假设q，那么p〞是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．充要条件(1)假如既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．(3)假如p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．(4)假设p⇒q，但q⇒/p，那么p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(5)假设p⇒/q，且q⇒/p，那么p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的推断，即对命题“假设p，那么q〞与“假设q，那么p〞进行真假推断，假设是一真一假那么p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；假设是两真那么p是q的充要条件；假设是两假那么p是q的即不充分又不必要条件．eq\a\vs4\al([对应同学用书P6])充分条件、必要条件的推断[例1]以下各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝eq\r(ac)；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨]可先看p成立时，q是否成立，再反过来假设q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．[精解详析](1)假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac，b＝±eq\r(ac)，那么p⇒/q；假设b＝eq\r(ac)，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q⇒/p，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p⇒/q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一：假设△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/q；假设△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/p，故p是q的既不充分也不必要条件．法二：如下图：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．[一点通]充分必要条件推断的常用方法(1)定义法：分清条件和结论，利用定义推断．(2)等价法：将不易推断的命题转化为它的逆否命题推断．(3)集合法：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，假设x具有性质p，那么x∈A；假设x具有性质q，那么x∈B.①假设AB，那么p是q的充分不必要条件；②假设BA，那么p是q的必要不充分条件；③假设A＝B，那么p是q的充要条件；④假设A⃘B且B⃘A，那么p是q的既不充分又不必要条件．1．设p：x<3，q：－1<x<3，那么p是q成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由于(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C2．对任意实数a，b，c给出以下命题：①“a＝b〞是“ac＝bc〞的充要条件；②“a＋5是无理数〞是“a是无理数〞的充要条件；③“a>b〞是“a2>b2〞的充分条件；④“a<5〞是“a<3〞的必要条件．其中，真命题的序号是________．解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不肯定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数〞可得“a为无理数〞，由“a为无理数〞可得“a＋5为无理数〞，②为真命题；③由“a>b〞不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5〞不能得“a<3〞，而由“a<3〞可得“a<5〞，④为真命题．答案：②④3．指出以下各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)在△ABC中，p：sinA＞eq\f(1,2)，q：A＞eq\f(π,6).解：(1)由于|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．(2)由于0＜A＜π时，sinA∈(0,1]，且A∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，sinA单调递增，Aeq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，sinA单调递减，所以sinA＞eq\f(1,2)⇒A＞eq\f(π,6)，但A＞eq\f(π,6)sinA＞eq\f(1,2).所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.充要条件的证明和求解[例2]数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.[思路点拨]此题可分充分性和必要性两种状况证明，即由q＝－1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满意Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q＝－1.[精解详析](充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．于是eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．由于p≠0且p≠1，所以当n≥2时，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，可知等比数列{an}的公比为p.故eq\f(a2,a1)＝eq\f(pp－1,p＋q)＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．[一点通]充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性〞和“必要性〞两个方面来证明．在证明时，要留意：假设证明“p的充要条件是q〞，那么“充分性〞是q⇒p，“必要性〞是p⇒q；假设证明“p是q的充要条件〞，那么与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．假设不易直接证明，可依据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[留意]证明时肯定要留意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是____________．解析：假设x2－ax＋1>0的解集为R，那么Δ＝a2－4<0，即－2<a<2.又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2<a<2.答案：－2<a<25．等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，那么数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)⇔(n＋1)a＋eq\f(nn＋1,2)d＞na＋eq\f(nn－1,2)d(n∈N＋)⇔dn＋a＞0(n∈N＋)⇔d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0.答案：d≥0且d＋a＞06．证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.证明：(1)充分性：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0，eq\f(c,a)<0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根．设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，那么x1·x2＝eq\f(c,a)<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．(2)必要性：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝eq\f(c,a)<0，∴ac<0.故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件的应用[例3]p：关于x的不等式eq\f(3－m,2)＜x＜eq\f(3＋m,2)，q：x(x－3)＜0，假设p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[思路点拨]求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．[精解详析]记A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(3－m,2)＜x＜\f(3＋m,2)))，B＝{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，假设p是q的充分不必要条件，那么AB.留意到B＝{x|0＜x＜3}≠∅，分两种状况争论：(1)假设A＝∅，即eq\f(3－m,2)≥eq\f(3＋m,2)，解得m≤0，此时AB，符合题意；(2)假设A≠∅，即eq\f(3－m,2)＜eq\f(3＋m,2)，解得m＞0，要使AB，应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3－m,2)＞0，,\f(3＋m,2)＜3，解得0＜m＜3.,m＞0，))综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．[一点通]将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是精确?????把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．7．条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值．解：解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，∵q是p的充分不必要条件，∴BA.当－eq\f(1,m)＝2时，m＝－eq\f(1,2)；当－eq\f(1,m)＝－3时，m＝eq\f(1,3).所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3).8．p：实数x满意x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满意x2－x－6≤綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．解：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．由于綈q⇒綈p，所以p⇒q，所以A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))⇒－eq\f(2,3)≤a<0，所以a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)).1．充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)假设p是q的充分条件，那么原命题“假设p，那么q〞及它的逆否命题都是真命题；(2)假设p是q的必要条件，那么逆命题及否命题为真命题；(3)假设p是q的充要条件，那么四种命题均为真命题．2．涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系．eq\a\vs4\al([对应课时跟踪训练二])1．“1＜x＜2〞是“x＜2〞成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2〞是“x＜2〞的充分不必要条件．答案：A2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称⇔－eq\f(m,2)＝1⇔m＝－2.答案：A3．a，b是实数，那么“|a＋b|＝|a|＋|b|〞是“ab>0〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由于|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，应选B.答案：B4．“a＞3〞是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点〞的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；不肯定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a＞3〞是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点〞的充分不必要条件，应选A.答案：A5．条件p：1－x<0，条件q：x>a，假设p是q的充分不必要条件，那么a的取值范围是________．解析：p：x>1，假设p是q的充分不必要条件，那么p⇒q，但eq\a\vs4\al(q⇒/p)，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)6．在以下各项中选择一项填空：①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，那么“p＝3〞是“A∩B＝B〞的________；(2)“a＝1〞是“函数f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数〞的________．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；假设A∩B＝B，那么必有p“p＝3〞是“A∩B＝B〞的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间[eq\f(1,2)，＋∞)上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数．因此“a＝1〞是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[eq\f(1,2)，＋∞)上为增函数〞的充分不必要条件．答案：(1)③(2)①7．指出以下各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)假设a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sinA≠eq\f(1,2).解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＜0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之假设