2015高考福建理科数试题及答案(word解析)

年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年福建，理1，5分】若集合（是虚数单位），，则等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由已知得，故，故选C．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）（A）11（B）9（C）5（D）3【答案】B【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）（A）11.4万元（B）11.8万元（C）12.0万元（D）12.2万元【答案】B【解析】由已知得（万元），（万元），故，所以回归直线方程为，当社区一户收入为15万元家庭年支出为（万元），故选B．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量满足约束条件，则的最小值等于（） （A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）（A）2（B）1（C）0（D）-1【答案】C【解析】程序在执行过程中的值依次为：；；；；；，程序结束，输出，故选C．（7）【2015年福建，理7，5分】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或，若，又垂直于平面，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．（8）【2015年福建，理8，5分】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）（A）6（B）7（C）8（D）9【答案】D【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得；当是等差中项时，，解得，综上所述，，所以，故选D．（9）【2015年福建，理9，5分】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）（A）13（B）15（C）19（D）21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以当，即时取等号，的最大值等于13，故选A．（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D不确定；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A，B无法判断，故选C．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】的展开式中，的系数等于（用数字填写答案）．【答案】80所以．解法二：（1）同解法一．（2）（i）同解法一．（ii）因为，是方程在区间内的两个不同的解，所以，，当时，，即；当时，，即，所以于是．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数，．（1）证明：当时，；（2）证明：当时，存在，使得对任意的恒有；（3）确定的所以可能取值，使得存在，对任意的，恒有．解：解法一：（1）令，则有，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，．（2）令，则有，当时，，故在单调递增，，故对任意正实数均满足题意当时，令，得，取，对任意，有，从而在单调递增，所以，即．综上，当时，总存在，使得对任意，恒有．（3）当时，由（1）知，对于，故．令，则有故当时，，在上单调递增，故，即．所以满足题意的不存在，当时，由（2）知，存在，使得当时，，此时，令，则有，当时，，在上单调递增，故，即．记与中的较小者为，则当时，恒有，故满足题意的不存在．当时，由（1）知，当时，，令，则有，当时，，所以在上单调递减，故，故当时，恒有，此时，任意正实数均满足题意，综上，．解法二：（1）解法一．（2）解法二．（3）当时，由（1）知，对于，故，令，解得．从而得到，当时，对于，恒有，故满足题意的不存在．当时，取，从而，由（2）知，存在，使得，此时，令，解得，，记与的较小者为，当时，恒有，故满足题意的不存在．当时，由（1）知，，令，则有，当时，，所以在上单调递减，故．故当时，恒有，此时，任意正实数均满足题意，综上，．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵．（1）求的逆矩阵；（2）求矩阵，使得．解：（1）因为，所以．（2）由得，故．（21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．（1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）设圆心到直线的距离等于2，求的值．解：（1）消去参数，得到圆的普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为．（2）依题意，圆心到直线的距离等于2，即