2022-2023学年北京市昌平区高二下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市昌平区高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由等差数列通项公式计算即得.【详解】依题意，等差数列通项，所以.故选：C2．已知、、成等比数列，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等比中项的性质计算可得；【详解】解：因为、、成等比数列，所以，解得；故选：C3．已知等差数列，，则等于（

）A．6 B．10 C．12 D．15【答案】A【分析】由题意，根据等差数列性质，即可求解.【详解】由题意，等差数列中，，故选：【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题.4．数列中，，，则等于（

）A．18 B．27 C．36 D．54【答案】D【分析】由题意可得是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可求出.【详解】由题意可得出，即可证明是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：D.5．函数的导数（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数公式可得.【详解】由知故选：B6．等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等比数列的公比为，利用题意得到，即可求出答案【详解】设等比数列的公比为，所以，所以，所以故选：C7．根据历年的气象数据，某市月份发生中度雾霾的概率为，刮四级以上大风的概率为，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，由题意知：，，，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为.故选：C.8．已知数列的前项和，则是（

）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列【答案】A【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.【详解】因为，所以当时，有，，得，当时，适合上式，因为，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A9．函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作答.【详解】依题意，，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，所以曲线在点处的切线方程为.故选：D10．设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，又因为在上为增函数，，所以，即.故选：B.11．从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【分析】根据题意，分别设十二个节气为，再运用等差中项求解.【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，依题意有：，，，公差，则，所以谷雨这一天的日影长度为尺，故选：A12．已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解：因为的定义域是，所以，当时，，在上为增函数.所以在上为增函数，是充分条件；反之，在上为增函数或，不是必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于中档题.13．已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（

）A．在上单调递增 B．在处取得极小值C．在处切线斜率取得最大值 D．在处取得最大值【答案】C【分析】本题首先可根据导函数图像分析出函数的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据导函数值的几何意义即可得出C正确.【详解】结合图像易知，当时，函数是减函数，当时，函数取极小值，当时，函数是增函数，当时，函数取极大值，不一定是最大值，当时，函数是减函数，结合上述易知，A、B、D错误，因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.14．等比数列满足，，记，则数列（

）A．无最大值，有最小值B．无最大值，无最小值C．有最大值，无最小值D．有最大值，有最小值【答案】D【分析】求出等比数列的通项公式，进而求出，再由数列最大项、最小项的意义判断作答.【详解】依题意，等比数列的通项公式，，，由知，时，数列是递增的，时，数列是递减的，于是得数列的最大项为，而n为奇数时，，n偶数时，，所以和分别是数列的最大项和最小项.故选：D.15．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”是公比为的等比数列，进而结合题意可知数列是公比为的等比数列，由此可得，即可得解.【详解】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，即正项数列是公比为的等比数列，因为，因此，.故选：B二、双空题16．①已知事件与事件相互独立，如果，，那么_______；②已知，，则______【答案】//0.75【分析】①由相互独立事件的乘法公式求解即可；②由条件概率公式求解即可.【详解】①事件与事件相互独立，；②，所以.故答案为：；.17．①设函数，则______；②已知，则______【答案】【分析】①求导，再令即可；②求导，再令即可.【详解】①，则；②，则.故答案为：；.18．在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则___________；当___________时，数列的前n项和有最大值．【答案】【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案.【详解】成等比数列，故，即，解得或（舍）.，,，，故时，有最大值.故答案为：；三、填空题19．学校需要在报名的2名男教师和3名女教师中，选取2人参加无偿献血，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为______【答案】/【分析】先分别求出基本事件的总数和符合题意的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式即可得解.【详解】先选一名男教师，有种，再选一名女教师，有种，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为.故答案为：.四、双空题20．①某班植树小组今年计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_______；②______【答案】6/【分析】①利用等比数列的前项和公式，计算求解；②利用裂项相消法求和.【详解】①设每天植树的棵树为，数列是等比数列，首项，公比，数列的前项和为，，得，所以至少需要6天；②.故答案为：；.21．日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的___________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.【答案】快【分析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果，进而能够判断水的纯净度越高，净化费用增加的速度的快慢．【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，所以，，所以，所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快.故答案为：，快.五、解答题22．已知数列是等差数列，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）利用等差和等比数列的通项公式求和.【详解】（1）由等差数列中设首项为，公差为，由于：，.则：，解得,所以.（2），则23．在数列和中，，，，，等比数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求的值．【答案】(1),；(2).【分析】（1）根据等差和等比数列通项的求法得到，；（2），，可得到，进而求出参数值.【详解】（1）解：因为，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即．

因为，，且，，

所以，．

因为数列是等比数列，

所以数列的公比，

所以，即．（2）解：因为，，所以．

所以．

因为，所以，解得．所以24．已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最值.【答案】(1)在、上是增函数，在上是减函数；(2)在区间，上的最大值为2，最小值为．【分析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值．【详解】（1）根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；（2）由（1）可知，函数在，，上为增函数，在上为减函数，，（1），，，在区间，上的最大值为2，最小值为．25．牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排数量/盒20302030(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，则；（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，将频率视为概率，用样本估计总体可得，从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，，．所以X的分布列为X0123P所以．26．已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若和有相同的最小值，求a的值．【答案】(1)(2)答案见解析；(3)【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；（3）结合（2）得，求得，进而构造函数，研究其零点即可得答案.【详解】（1）解：因为，，所以，所以，，所以，曲线在点处的切线方程，即．（2）解：函数的定义域为，所以，，所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，当时，时，，单调递减；时，，单调递增，综上，当时，增区间为，无减区间；当时，减区间为，增区间为.（3）解：由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.所以，因为，得，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，因为和有相同的最小值，所以，即，令，，令，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，所以，在上单调递增，因为，所以，等价于27．已知为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设(1)判断数列，是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合；(2)若具有性质，证明：【答案】(1)不具有性质,具有性质,(2)证明见解析【分析】（1）根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;（2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元