高数课堂讲义第一章

[定义]：若$M0x˛I,fx)£M则称fx)在I上有界.xx2xabfa0,fbfx在ab必有( f(x)在3x1x2fx1fx2单调不减：x1x2fx1£fx2(1）f'x>0,x˛I，fx)在I上单调递增；(2fx‡0,x˛If'x=0只有有限个解，fx)在I上单调递增4

f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)0x0x

f(x)‹

奇偶性相反fi

t5fxfxTfx)以T为周期.TfxfxTT

x

fx6limf(x)= 0<|x-x0|<d,|f(x)-A|<xfilimf(x)= |x|>X,|f(x)-A|<xfi71limfxxfio

x0

,

2limf(x)=xfi80A>0fx>0,x˛0

x

)（去极限fx>0,x˛

x

A0（添极限91limf(x)= xfilimf(x)= limf(x)=limf(x)=xfi1

xfi+¥ xfi-limexxfi xfi

,limex,limarctanx,xxfi xfi xfi 设limfx),lix)B1x)=2lim[f(x)g(x)=A

f(x)=AB„g( g( 1 1lim1+x 1 =lim1+n xfi¥

xfi

nfi¥ limax1limbx¥ xbx

x-x1axbxxfi xxfi 1当xfifx)及Fx)0（或2fx)及Fx)都存在且Fx)0F(F( xfiF(

f(

¥

f(

1定义：limfxo(¥)fx)为xfixn 2xfi+¥,lnxn 31limax)0ax)bx)高阶无穷小，b(2°limax)¥，ax)是bx)b(3°limax)c0，ax)与bx)b(b(

b(5°若limax)l0存在,ax是bx的kb(4x,x,xax) ax)x)x) ex - exxlna,1-cosxlna,1-cos 1x2,(1+x)a-2nxfi0,fxnk

fk)x

+oxnex=1+x+1x2+1x3+x3 ln(1+x)=x-1x2+1x3+o(x3 cosx=1-1x2+1x4+o(x4) (1+x)a=C1x+C2x2+C3x3+o( sinx=x +ox3

ox3x3xtanx=x

+x

xcx

+ox3 o(kxm)=o(xm)=o(xm nfi1 yn£xn£zmynlimznnfi nfi则limxnnfi3 i lim

n

fx1nfi¥i 141=x

lim

n

filimxxfi x1.[fx在xx0xfilimf(x)=f(x0 lim[f(x0+Dx)-f(x0)]xfixfifx在xx0fx0fx0fx0x1fx00，fx0都存在fx00=fx00)fx00fx02x0，fx0 fx=¥或 fx=xfix0 xfix0振荡间断点： fx或 fx与小强xfix0 xfix01limfx¥xx0xfi2limfxayaxfi3limfxAxByAxBxfixx为偶函数的是（）xxx

ft

f2t0xCtxx

t

t

t

1.2xsin1在(0,+¥)x当xfi0时1sin1x2

x x（D）1sin1在(0,+¥) 1.3fx)在[a,b]上连续，f(a)0f¢至少有一点x0˛(ab)fx0f(a)至少有一点x0˛(ab)fx0f1

nxxfi

4x2+x-4x2+x-

x-x2x2+sinxfi-

+x+1.5

limxfxsin6x0xfi x3limcxsf( 6coxfi x2（A）

3sinx+x2coslim x1x[t2(e

t1.7】求极限xfi

xetanx-esinxfi

- 1-x1-x-xxfi

ex-1-

1-2xfi xfi

1-cos

xfi01- l1+xx2-xlim x2+x2-x

2xxfi+¥ arcsinn 12nlimne2-1+

【例1.14】把xfi 时的无穷 x2

cost b0

tdt 0 sint

1.15】xfi0时下列无穷小中阶数最高x3+sin(x42ex

0

1

t2例1.16】当xfi0，fx=x-sinax与gx=x21-bx等价无穷小，则( a=1,b=-1 Ba=1,b= Ca Da

+=+xfi

1

-)1.18fx在x0

sin3+

fx

xfi0 f

'

xxfi 1.19fxlnxsinx- f(x)断点个数是（

x

xxxx-1.21n满足xn+1

22

3x+xnx13,证明数列n1.22】①证明对任意正整数n，都有 ln(11)1 =1+1+...+1-lnn证明数列a 敛n