2023年高数第二章导数与微分知识点与习题

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高数其次章导数与微分学问点总结

第一节导数

1．基本概念（1）定义

0000000000

()()()()()|(|)'()limlimlimxxxxxxxfxxfxfxfxdydfxy

fxdxdxxxxx==?→?→→+?--?====??-或

注：可导必延续，延续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数

0'00000

0()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx-

--?→→+?--==?-.0

'00000

0()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx+

++?→→+?--==?-.0'()fx存在''00()()fxfx-+?=.

（3）导数的几何应用

曲线()yfx=在点00(,())xfx处的切线方程：000()'()()yfxfxxx-=-.

法线方程：0001

()()'()

yfxxxfx-=-

-.2．基本公式

（1）'0C=（2）'

1

()aaxax-=

（3）()'lnx

x

aaa=（特例()'x

x

ee=）（4）1

(log)'(0,1)lnaxaaxa

=

>≠

（5）(sin)'cosxx=（6）(cos)'sinxx=-

（7）2(tan)'secxx=（8）2

(cot)'cscxx=-（9）(sec)'sectanxxx=（10）(csc)'csccotxxx=-

（11）2

1(arcsin)'1xx

=

-（12）2

1(arccos)'1xx

=-

-

（13）21(arctan)'1xx=

+（14）2

1

(arccot)'1xx=-+（15222

2

1[ln()]'xxaxa

+

+=

+

3．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则

()'''uvuv±=±()'''uvuvuv=+2

''

()'uuvuvvv

-=（2）复合函数求导法则--链式法则

设(),()yfuux?==，则(())yfx?=的导数为：[(())]''(())'()fxfxx???=.

例5求函数2

1

sinx

ye

=的导数.

（3）反函数的求导法则

设()yfx=的反函数为()xgy=，两者均可导，且'()0fx≠，则

11

'()'()'(())

gyfxfgy=

=.（4）隐函数求导

设函数()yfx=由方程(,)0Fxy=所确定，求'y的办法有两种：直接求导法和公式法'

''xy

FyF=-.

（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4．高阶导数

二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）()

()

ln(0)xnxnaaaa=>特殊地，(n)()xxee=

（2）()

(sin)sin()2nnkxkkxnπ

=+

（3）()

(cos)

cos()2nnkxkkxnπ

=+

（4）()

1

(1)!

[ln(1)]

(1)(1)nnn

nxx--+=-+

（5）()

()

(1)(2)

(1)knknxkkkknx-=+

（6）莱布尼茨公式：()

()()

()

n

nknkknkuvCuv-==∑，其中(0)(0),uuvv==其次节微分

1．定义

背景：函数的增量()()yfxxfx?=+?-.

定义：假如函数的增量y?可表示为()yAxox?=?+?，其中A是与x?无关的常数，则称函数

()yfx=在点0x可微，并且称Ax?为x?的微分，记作dy，则dyAx=?.

注：,ydyxdx?≠?=2．可导与可微的关系

一元函数()fx在点0x可微，微分为dyAx=??函数()fx在0x可导，且0'()Afx=.3．微分的几何意义4．微分的计算

（1）基本微分公式'()dyfxdx=.（2）微分运算法则

②四则运算法则

()duvdudv±=±duvvduudv=+2

()uvduudv

dvv-=

②一阶微分形式不变

若u为自变量，(),'()'()yfudyfuufudu==?=；

若u为中间变量，()yfu=，()ux?=，'()'()'()dyfuxdxfudu?==.

练习题

1、求下列函数的导数。

（1）

223)1(-=xxy；（2）x

xysin=

；（3）bxeyax

sin=；（4）)ln(2

2axxy++=；（5）11arctan-+=xxy；（6）xx

xy)1(+=。

2、求下列隐函数的导数。（1）

0)cos(sin=+-yxxy；

（2）已知,exyey

=+求)0(y''。3、求参数方程???-=-=)

cos1()sin(tayttax)0(>a所确定函数的一阶导数

dxdy

与二阶导数2

2dxyd。

4、求下列函数的高阶导数。（1）

,αxy=求)(ny；（2）,2sin2xxy=求)50(y。

5、求下列函数的微分。（1）

)0(,>=xxyx；（2）2

1arcsinx

xy-=

。

6、求双曲线122

22=-b

yax，在点)3,2(ba处的切线方程与法线方程。

7、用定义求

)0(f'，其中

?????=,

0,1sin)(2

x

xxf.0,0=≠xx并研究导函数的延续性。答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='xxxxxxy]))(1(2[)1(3223222'-+-=xxxxxxxxxx2)1(2)1(323222?-+-=

)37)(1(222--=xxx。

（2）解：

2

sincos)sin(

x

x

xxxxy-='='。（3）解：

bxbebxaebxeyaxaxaxcossin)sin(+='='

)cossin(bxbbxaeax+=。

（4）解：

][1])[ln(222222'++++=

'++='axxaxxaxxy

])(21

1[1222

22

2'+++

++=axaxaxx

]2211[12

2

2

2

xa

xa

xx?++++=

]1[122

2

2

a

xxa

xx++++=2

2

1a

x+=

。

（5）解：

)11

()

1

1(11)1

1

(arctan

2'-+-++='-+='xxxxxxy

1

1

)1()1()1()1(2)1(2222+-

=-+--?+-=xxxxxx。（6）解：)(])1[(1ln'='+='+xx

xx

ex

xy]1ln)

1()1()1([)1(2

xxxxxxxxxxx+-+-+?++=)1ln11()1(x

xxxxx+-++=。

2、（1）解：两边直接关于x求导得

0)1)(sin(cossin='++++'yyxxyxy)

sin(sin)

sin(cosyxxyxxyy++++-

='。

（2）解：将0=x

代入原方程解得,1=y

原方程两边直接关于x求导得0='++'yxyyey，

上方程两边关于x再次求导得,02)(2=''+'+''+'yxyyeyeyy

将0=x

，,1=y代入上边第一个方程得1)0(--='ey，

将0=x，,1=y1)0(--='ey代入上边其次个方程得2)0(-=''ey。

3、解：

),cos1(tadtdx-=tadtdysin=；2

cot)cos1(sint

tatadtdxdtdydxdy=-==；2csc41)cos1(1)212csc()(422

2tatatdxdtdxdydtddx

yd-=-?-=?=。4、（1）解：

1-='ααxy；2)1(--=''αααxy；……

依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-nxnynnαααα。

（2）解：设,,2sin2xvxu

==

则)50,,2,1)(2

2sin(2)

(=?+=kkxu

kkπ

，

),50,,4,3(0,2,2)(===''='kvvxvk

代入萊布尼茨公式，得

2)2

482sin(2!249502)2

492sin(250)2502sin(2)2sin(4849250)

50(2)50(??+??+

??+?+??+==π

π

πxxxxxxxy)2sin2

1225

2cos502sin(2250xxxxx+

+-=。5、（1）解：

),1(ln)(ln+='='xxeyxxxdxxxdyx)1(ln+=.

（2）解：

]122arcsin111

[

112

22

2x

xxxxxy--?

=

'

2

322)

1(arcsin1xxxx-+-=

；

=

'=dxydydxxxxx2

322)

1(arcsin1-+-。

6、解：首先把点)3,2(ba代入方程左边得1343422

222222=-=-=

-b

baabyax，即点)3,2(ba是切点。对双曲线用隐函数求导得,,0222222y

ax

bybyyax='?='-

过点)3,

2(ba的切线的斜率为,3232)3,2(2

2a

bb

aa

bbay=

=

'

故过点)3,

2(ba的切线方程为)2(323axa

bby-=

-；

过点)3,

2(ba的法线方程为)2(233axb

a

by--

=-。7、解：

,01sin1

sin

0)

0()()0(limlimlim

200===--='++

+

→→→+xxxxxxfxffxxx同理0)0(='-f；故0)0(='f。

明显

x

xxxxxxxxf1

cos1sin211cos1sin2)(22-=?-='在0≠x点延续，因此只需考查)(xf'在

0=x点的延续性即可。

但已知x

1

cos在0=x点不延续，由延续函数的四则运算性质知)(xf'在0=x点不延续。

研究习题：1、设

,)3()(-=xxxxf求)(xf'。

2、求和nnxnxxxS2322232++++=。

3、设函数

)(xf在]1,1[-上有定义，且满足,11,)(3≤≤-+≤≤xxxxfx

证实

)0(f'存在，且1)0(='f。

研究习题参考答案：

1、解：由于

??

?

??=),3(),3(),3()(222xxxxxxxf.0,30,3<<≤≥xxx

易知

)(xf在开区间),3()3,0()0,(+∞??-∞内都是可导的；又

对于分段点0=x，3=x，有

00

)3(0)0()()0(20

0limlim

=--=--='++

→→+xxxxfxffxx，

00)3(0)0()()0(20

0limlim

=--=--='--

→→-xxxxfxffxx，即0)0(='f；

930

)3()3(2323limlim==='+

+→→+xxxxfxx，

9)(30

)3()3(2323limlim-=-=='-

-→→-xxxxfxx，即)3(f'不存在；

所以除3=x

之外)(xf在区间),3()3,(+∞?-∞內均可导，且有

??

?

??--=',36,0,63)(22xxxxxf).3,0(,

0),,3()0,(∈=+∞?-∞∈xxx2、解：由于x

xxxxnn

--=

+++++1111

2

，

2

1

2

)1()1(1)1(xnxxnxxxnnn

-++-=

'++++?+，

2

11

2)1()1(1321xnxxnnx

xxnnn-++-=

++++?+-；

]1)1()122([)

1(])1()1([})

1()1(1[])321([)32()321(32212223

2

2

12

1

123212132223222--++-+--='-++-='-++-?='++++='++++=++++=++++=?+++++xxnxnnxnxxxnxxnxxxnxxnxxnxxxxxnxxxxxxnxxxxnxxxSn

nnnnnnnnnnn

3、证：由,11,)(3≤≤-+≤≤xxxxfx可知当0=x时，0)0(0≤≤f，

即

0)0(=f。又

)0,11(,0)0()()(3≠≤≤-