管理研究方法讲义人大4因子分析新

因子分析中国人民大学劳动人事学院徐世勇2023/6/52因子分析变量之间往往存在相关性，变量之间为何会有相关性呢？这是因为往往有一些共同的因子支配着这些相关的变量。例如，随着年龄的增长，儿童的身高、体重会随着变化，具有一定的相关性；身高和体重之间为何会有相关性呢？因为存在着一个同时支配或影响着身高与体重的生长因子。那么，我们能否通过对多个变量的相关系数矩阵的研究，找出同时影响或支配所有变量的共性因子呢？因子分析就是从大量的数据中“由表及里”、“去粗取精”，寻找影响或支配变量的多元统计方法。因子分析主要用于：1、减少分析变量个数；2、通过对变量间相关关系探测，将原始变量进行分类。即将相关性高的变量分为一组，用共性因子代替该组变量。2023/6/5(C)中国人民大学3本讲目标

因子分析是多元分析中数据缩减的一种主要方法，本章讨论基于统计软件的因子分析以及主成分分析方法和一般步骤。其中包括：

1．因子分析的基本思想

2．因子分析的过程

3．SPSS的因子分析

4．小结

2023/6/5(C)中国人民大学4因子分析的基本思想

在实际中，人们往往希望收集到更多的有关研究对象的数据信息，进而能够得到一个更加全面的、完整的和准确的把握和认识。于是描述一个对象就会有许多指标，这些指标数量繁多、重复、类型复杂，给统计分析带来许多麻烦。因子分析正是基于信息损失最小化而提出的一种非常有效的方法。它把众多的指标综合成几个为数较少的指标，这些指标即因子指标。因子的特点是：第一，因子变量的数量远远少于原始变量的个数；第二，因子变量并非原始变量的简单取舍，而是一种新的综合；第三，因子变量之间没有线性关系；第四，因子变量具有明明解释性，可以最大限度地发挥专业分析的作用。2023/6/5(C)中国人民大学5基本思想使用

问题：假设我们要研究影响人们对生活满意度的潜在因子，为此对有关项目进行了问卷调查，其中各包括三项工作方面（WORK_1、WORK_2、WORK_3）和家庭方面（HOME_1、HOME_2、HOME_3）的满意度调查。下表为对100人调查后所计算的相关系数矩阵。

Correlations(n=100)VariableWORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_3WORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_31.00.65.65.14.15.14.651.00.73.14.18.24.65.731.00.16.24.25.14.14.161.00.66.59.15.18.24.661.00.73.14.24.25.59.731.00由表可以看出，3项工作满意调查项目之间具有较高的相关性，3项家庭满意调查项目之间也具有较高的相关性，而工作满意调查项目与家庭满意项目之间相关性则较低。假定可用变量间的相关性把它们分组。也即假设在一个特定组内的所用变量之间是高度相关的，而与不同组内的变量却有较小的相关性。于是可以想象，各组变量可以找到潜在的单一因子对观察到的相关负责。2023/6/5(C)中国人民大学6因而，上述相关性表明，一组变量存在一个潜在的因子“工作满意度”，另一组变量对应另一潜在因子“家庭满意度”，且两因子相对独立。对于问卷的回答显然有赖于所找到的两个潜在因子。而且，每一调查项目线性依赖于这两个潜在的因子，以及每一调查项目独有的特殊因子。据此，将这一分析推广至p个变量，存在m个潜在的公共因子，可建立以下数学模型：矩阵形式为：且满足：2023/6/5(C)中国人民大学7F=(F1,…,Fm)’称为X的公共因子，A为因子载荷矩阵，aij为因子载荷。数学上可以证明，因子载荷aij就是第i变量与第j因子的相关系数，反映了第i变量在第j因子上的重要性。因子载荷的估计方法要建立实际问题的因子模型，关键是要根据样本数据估计因子的载荷矩阵，其中使用最为普遍的方法是主成分法。设随机向量X的协差阵为Σ，为Σ的特征根，为对应的标准正交化特征向量，则根据线性代数知识Σ可分解为：当因子个数与变量个数一样多，特殊方差因子为0时，因子模型为：2023/6/5(C)中国人民大学8因子载荷矩阵A的第j列为，也就是说出常数外，第j列因子载荷恰是第j个主成分的系数ej，因此该方法成为主成分提取法。

实际应用时通常根据因子的累积贡献率达于80%或85%以上，决定所取因子的个数。

利用SPSS软件进行实例计算及分析对于前述生活满意度分析，利用SPSS软件进行因子分析。具体步骤如下：

1、在SPSS中输入数据

2、按Analyze→DataReduction→Factor顺序点击菜单项，打开Factor对话框。

3、在对话框中指定分析变量，如图1所示。图12023/6/5(C)中国人民大学94、在图1对话框点击Extraction…按钮，出现图2对话框，选择主成分提取法。图25、在图1对话框点击Rotation…按钮，出现图3对话框，选择varimax方法进行因子载荷旋转。6、在图1对话框点击ok按钮，给出计算结果，见表1、表2。2023/6/5(C)中国人民大学10表1Ccomponents

MatrixVariableFactor1Factor2WORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_3.654384

.715256

.741688

.634120

.706267

.707446.564143

.541444

.508212

-.563123

-.572658

-.525602表2RotatedcomponentsMatrix

VariableFactor1Factor2WORK_1WORK_2WORK_3HOME_1HOME_2HOME_3.862443

.890267

.886055

.062145

.107230

.140876.051643

.110351

.152603

.845786

.902913

.869995变量与两因子之间的相关性（因子载荷）：由表1可以看出，第1因子（Factor1）与原始变量的相关系数均高于第二因子与原始变量的相关系数。这应该是预料之中的，因为，两个因子是连续提取，所能解释的方差渐次递减。坐标值会发生改变，也就是因子载荷将发生变化。旋转之后，因子1在工作满意度调查项目上具有高载荷，而因子2在家庭满意度调查项目上具有高载荷。因此，可以得出这样的结论：生活满意度调查问卷包括两个方面，调查项目也可以分为两类。图32023/6/5(C)中国人民大学11因子分析的基本步骤因子分析的核心问题有两个：一是如何构造因子变量；二是如何对因子变量进行命名解释。因此，因子分析的基本步骤和解决思路就是围绕这两个核心问题展开的。因子分析常常有以下四个基本步骤：（1）确认待分析的原有干变量是否适合作因子分析。（2）构造因子变量。（3）利用旋转方法使因子变量更具有可解释性。（4）计算因子变量得分。2023/6/5(C)中国人民大学12巴特利特球度检验

（Bartletttestofsphericity）

巴特利特球度检验是以变量的相关系数矩阵为出发点。它的零假设是Ho：相关系数矩阵是一个单位阵，即相关系数矩阵对角线上的所有元素都为1，所有非对角线上的元素都为零。巴特利特球度检验的统计量根据相关系数矩阵的行列式计算得到。如果该统计量值比较大，且其对应的相伴概率值小于用户心中的显著性水平，则应拒绝Ho，认为相关系数矩阵不太可能是单位阵，适合作因子分析；相反，如果该统计量值比较小，且其对应的相伴概率值大于用户心中的显著性水平；则不能拒绝Ho，可以认为相关系数矩阵可能是单位阵，不适合作因子分析。2023/6/5(C)中国人民大学13反映象相关矩阵检验

（Anti-imagecorrelationmatrix）

反映象相关矩阵检验以变量的偏相关系数矩阵为出发点，将偏相关系数矩阵的每个元素相反，得到反映象相关阵。不难理解，由于偏相关系数是在控制了其他变量对两变量影响的条件下计算出来的净相关系数，如果变量之间确实存在的相互重叠传递影响，也就是说，如果变量中确实能够提取出公共因子，那么控制了这些影响后的偏相关系数必然很小。因此，如果反映象相关矩阵中的有些元素的绝对值较大，则说明这些变量可能不适合作因子分析。2023/6/5(C)中国人民大学14KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)KMO统计量是用于比较变量间简单相关系数和偏相关系数的一个指标，计算公式如下：

式中：rij是变量和变量之间的简单相关系数，pij是它们之间的偏相关系数。可见，KMO统计量的取值在0和1之间，当所有变量之间的简单相关系数平方和远远大于偏相关系数平方和时，KMO值接近1。KMO值越接近1，则越适合作因子分析，KMO越小，则越不适合作因子分析。Kaiser给出了一个KMO的度量标准：0.9以上非常适合；0.8适合；0.7一般；0.6不太适合；0.5以下不适合。2023/6/5(C)中国人民大学15因子分析的过程单击Analyze→DataReduction→Factor。于是出现下面的窗口。

2023/6/5(C)中国人民大学16Extraction对话框

2023/6/5(C)中国人民大学17小结

因子分析是数据缩